Puissance d'un point par rapport à un cercle

Posté par kelianwib kelianwib

Bonjour tout le monde,
j'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à faire parce qu'il faut utiliser un logiciel sur ordinateur et comme je suis loin d'être un pro en informatique, j'aurais besoin de votre aide, voilà l'exercice en question:

C est un cercle de centre O et de rayon r . M est un point du plan et d une droite passant par M qui coupe C en A et B.
On s'intéresse au produit scalaire MA.MB lorsque la droite d pivote autour de M.
1)a) Créer une figure avec un logiciel de géométrie de telle sorte que M soit un point libre du plan et A un point libre du cercle C.
Créer le réel p=MA.MB et afficher la valeur de p avec 3 décimales.

( C'est cette question que je n'arrive pas à faire et elle m'empêche d'effectuer la suite de l'exercice, je ne sais comment créer un réel sur le logiciel geogebra ).

b) Déplacer le point A sur C et modifier ainsi la position de la droite d. Qu'observe t-on ?
c) Reprendre la question b) avec d'autres points M.

2)a) On note A' le point diamétralement opposé à A sur C. Démontrer que MA.MB = MA.MA'.
b) En déduire que MA.MB = OM²-r²  ( MA et MB avec une flèche au-dessus et non sur OM et r )
c)La conjecture à la question 1. est-elle vérifiée ?

Voilà, j'espère que quelqu'un va pouvoir m'aider parce que je suis bien bloqué. Merci d'avance.

Posté par critou critou

Bonjour ,

Tu définis d'abord les vecteurs MA et MB --> Geogebra va probablement te les nommer u et v
Puis tu tapes dans la zone de saisie : p=u*v (u étoile v, c'est le code pour "produit scalaire")
Pour le nombre de décimales, c'est dans le menu Options.

Posté par kelianwib kelianwib

ok merci critou , je vais faire ca

Posté par critou critou

Ou alors si tu ne veux pas créer les vecteurs :
p=Vecteur[M,A]*Vecteur[M,B]

Posté par critou critou

Ah, posts croisés

Posté par kelianwib kelianwib

par contre est-ce-que tu pourrais me donner un coup de main pour les 3 dernières questions , s'il te plaît !

Posté par critou critou

Oups pardon, j'avais raté ton post ! si tu n'as toujours pas réussi :

2)a. MA.MB = MA.(MA'+A'B) = développe, et que peux-tu dire de MA.A'B ?
2)b. MA.MB = MA.MA' = (MO+OA).(MO+OA') = développe et simplifie
2)c. facile ça, non ? c'était quoi ta conjecture ?

Posté par kelianwib kelianwib

2)a) MA.MB= MA.(MA'+A'B)= MA.MA'+MA.A'B = MA.MA'
car MA.A'B=0 car AA'B est un triangle rectangle en B parce que si un point du cercle est relié aux extrémités d'un de ses diamètres alors ce triangle est rectangle en ce point
donc MAA'B et donc MA.A'B=0 donc MA.MB=MA.MA'

2)b) MA.MB=MA.MA'=(MO+OA).(MO+OA')=je ne suis pas sûr de la suite        MO²+R²= OM²-R²

2)c)j'ai un peu honte de te dire ça ,eh bien en fait je ne sais pas trop ce que je peux conjecturer à part le fait que si l'on bouge M, la valeur de p change et non quand on bouge A.

Posté par critou critou

a) d'accord

b) Ça se développe exactement comme avec des nombres réels (double-distributivité), tu peux y aller en deux étapes si tu veux de toute façon :
(MO+OA).(MO+OA')
= MO.(MO+OA') + OA.(MO+OA')
= MO²+MO.OA'+OA.MO+OA.OA'  (tu n'es pas obligé d'écrire l'étape précédente)
= MO² + MO(OA'+OA) + OA.OA'
Maintenant que peux-tu dire des vecteurs OA' et OA ?

c) OK, le truc intéressant est que, si M est fixé, la valeur de p ne dépend pas de la position de A (ie ne dépend pas de la droite passant par M qu'on choisit).

Posté par kelianwib kelianwib

oh je suis bête franchement pour la b), les vecteurs OA' et OA sont 2 rayons opposés du cercle qui forment un diamètre mais je ne vois pas pourquoi tu me demandes ça, ce n'est pas demandé.
Pour le c) ,si on déplace A ,forcément M se déplace aussi car ils sont sur la mm droite, alors pourquoi tu écris M fixé ? je ne comprends pas, à moins qu'il faut fixer M et non B comme je l'ai fais sur la figure.

Posté par critou critou


Pour terminer le calcul, on en est à MA.MB = MO² + MO(OA'+OA) + OA.OA', et on veut obtenir OM²-R²...

Je n'ai pas très bien compris de quelle manière la figure a été construite, mais peu importe :

donc on fait varier la droite passant par M (suffit de faire bouger le point A sur le cercle) et p reste constant

Posté par kelianwib kelianwib

je suis d'accord avec tout ce que tu dis mais je ne comprends toujours pas pourquoi tu me demandes ce que je peux dire des vecteurs OA et OA' et en quoi ca va me servir dans le calcul. Est-ce-que tu pourrais juste m'expliquer le calcul, c'est le plus important.

Posté par critou critou

MA.MB
= ...
= MO² + MO(OA'+OA) + OA.OA'
Or on a (en vecteurs) : OA'=-OA, donc
MA.MB = OM² + MO.0 + OA.(-OA)
= OM² - OA²
= OM²-R².

Posté par kelianwib kelianwib

ok d'accord , merci pour tout le temps que t'as pris pour m'expliquer critou je t'en remercie.

Posté par kelianwib kelianwib

dernière petite question dans le calcul, tu marques
MA.MB = OM² + MO.0 + OA.(-OA)  pourquoi c'est OM² parce que MO.MO= MO²
et c'est quoi ce O ?  

Posté par critou critou

Comment ça c'est quoi O ?
[quote]C est un cercle de centre O et de rayon r{/quote]

OM² ou MO², c'est pareil... (c'est la distance entre les points M et O, au carré).

Posté par critou critou

Hum c'est le zéro qui t'embête peut-être ? c'est le vecteur nul.

Posté par kelianwib kelianwib

oui c'est ça, je te remercie critou, j'aurais vraiment pas réussi sans ton aide, merci encore.

Posté par critou critou

De rien