probabilités suite

Posté par courlis courlis

bonjour j'ai de grosses difficultés avec mon exercice de probabilités.J'ai cependant fait toutes les questions sauf la 2 b. et la partie B. Mais je ne suis pas sûr de mes résultats.


Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette.
Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible
au lancer suivant est égale à 1/3. Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité
qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4/5. On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants :
An : « Alice atteint la cible au ne coup ».
B_n : « Alice rate la cible au ne coup ».
On pose P_n = p(An).
1b. quelle est la probabilité qu'elle atteigne la cible à tous les coups ?
j'ai trouvé 1/6
c.déterminer p2=P(A2)
j'ai trouvé 4/15
d.on suppose que alice  a atteint la cible au second lancer.Quelle est la probabilité qu'il est atteint la cible au premier lancer?
j'ai trouvé 5/8
2.On s'intéresse maintenant au nième lancer
justifier que l'on a p_n+1=2/15 p_n+1/5
PARTIE B
monter par récurrence que l'on a p_n=7/26*(2/15)^n-1+3/13
Déterminer la limite de pn lorsque n tend vers +

MERCI

Posté par courlis courlis

personne?? juste la question 2 et la dernière question de la partie B  SVP

Posté par Labo Labo

Bonjour,
OK 1b) p=1/6 si 2 lancers
2 soit pn la probabilité de réussite au nième lancer
P_n+1=\(1/3)p_n+(1-p_n)(1/5)= (2/15)p_n+(1/5)
partie B
vrai pour p¹=1/2
supposons vrai pour p_n
p(n+1)=2/15[(7/26)(2/15)^(n-1)+(3/13)]
.....

Posté par Labo Labo

je reviens en fin de soirée et en latex sur un autre ordi ,car je ne suis pas sur mon ordi et  avec safari le latex ne marche pas....

Posté par Marcel Marcel

Bonjour,

p₁ = 1/2
p₂ = 4/15

p(A_n+1 sachant A_n) = 1/3
p(A_n+1 sachant B_n) = 1-(4/5) = 1/5

2)
p_n+1 = p(A_n+1)
= p(A_n+1 inter A_n) + p(A_n+1 inter B_n)
= p(A_n+1 sachant A_n).p(A_n) + p(A_n+1 sachant B_n).p(B_n)
= (1/3)p_n + (1/5)(1-p_n)
= (1/3)p_n + (1/5) - (1/5)p_n
= (2/15)p_n + (1/5)

B]
Montrons par récurrence que p_n = (7/26).(2/15)^n-1 + (3/13) pour tout n N :

Vrai au rang 0 car (7/26).(2/15)^1-1 + (3/13) = (7/26) + (3/13) = (7/26) + (6/26) = 13/26 = 1/2 = p₁

Si Vrai au rang n
Alors p_n = (7/26).(2/15)^n-1 + (3/13)
Alors p_n+1 = (2/15)p_n + (1/5)
= (2/15).[(7/26).(2/15)^n-1 + (3/13)] + (1/5)
= (2/15).(7/26).(2/15)^n-1 + (2/15).(3/13) + (1/5)
= (7/26).(2/15)ⁿ + (2/65) + (13/65)
= (7/26).(2/15)ⁿ + (15/65)
= (7/26).(2/15)ⁿ + (3/13)
Alors Vrai au rang n+1

On a donc bien montré que p_n = (7/26).(2/15)^n-1 + (3/13) pour tout n N

p_n = (7/26).(2/15)^n-1 + (3/13) tend vers 3/13 quand n tend vers +

Posté par courlis courlis

merci!!