Le symétrique de l'orthocentre et des tangentes à un cercle

Posté par kelianwib kelianwib

Bonjour tout le monde,
je vous écris la suite des exercices que j'ai à faire parce que ce sont des exercices d'approfondissements et comme j'ai déja du mal avec un exercice basique, je me suis dit que quelqu'un aurait l'aimabilité de m'aider.
Voici les deux exos:

Exercice1
(O;;) est un repère orthonormal.
a) Vérifier que l'ensemble C des points M(x;y)vérifiant x²+y²-2x-2y-8=0 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b) Le cercle C coupe l'axe des abscisses en A et B, et l'axe des ordonées en C et D ( D est le point d'ordonnée négative).
Calculer les coordonnées de A,B,C,D.
c) Démontrer que le symétrique H de D par rapport à la droite (AB) est l'orthocentre du triangle ABC.

Exercice 2
Dans une repère orthonormal, C est ke cercle d'équation: x²+y²-2x+4y+1=0.
T est le point de coordonnées (3;4).
1)a) Déterminer les coordonnées du centre du cercle C et son rayon.
b) Tracer le cercle C et placer le point T sur la figure.
2) On mène du point T, les deux tangentes au cercle C et on note A1, A2 les points de contact de ces tangentes avec C.
a)Démontrer que A1 et A2 appartiennent au cercle C' de diamètre [T].
b) Donner une équation du cercle C'.
c) Détreminer les coordonnées de A1 et A2.
d) Trouver une équation de chaque tangente.

J'espère avoir de votre aide pour pouvoir regagner confiance dans cette année scolaire assez difficile en maths . Merci d'avance.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Kelianwib,

Pour regagner confiance en toi (plutôt qu'en l'année scolaire), rien de tel que de t'attaquer toi-même et avec volonté au problème posé. Tu reviendras ici quand tu auras avancé et que tu seras réellement bloqué .

Posté par kelianwib kelianwib

Bonjour Pierre,
le problème c'est que je n'ai jamais fais des exercices sur les cercles auparavant alors si tu pouvais me dire s'il y a des formules pour trouver le centre et le rayon ça serait sympa !

Posté par Priam Priam

Essaie de mettre le premier membre de l'équation du cercle sous la forme  (x - a)² + (y - b)² = R².
Tu auras alors les coordonnées de son centre (a, b) et son rayon (R).

Posté par kelianwib kelianwib

x²+y²-2x-2y-8=0
x²-2x+y²-2y-8=0
(x-1)²-1+(y-1)²-1-8=0
(x-1)²+(y-1)²=10
centre(1;1) rayon R=10 je ne suis pas très sûr du rayon

Posté par Priam Priam

C'est juste.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Parfait, Kelianwib.

Pour la suite, pense que les points qui appartiennent à la fois au cercle et à l'axe des abscisses vérifient les équations de l'un et de l'autre, soit le système :

qu'il n'y a plus qu'à résoudre.

Idem pour l'intersection avec Oy, d'équation .

H étant sur la hauteur CO, il suffit de montrer que AH est une deuxième hauteur, c'est-à-dire que AH est perpendiculaire à BC. Cela peut se faire de différentes façons :
- la plus rapide est probablement de constater la nullité du produit scalaire , si tu connais, ou le produit des pentes des deux droites AH et BC, ce qui est en fait le même calcul.
- la plus jolie est purement géométrique en se basant sur la symétrie, par rapport à la première bissectrice (y=x), de l'ensemble de la figure "cercle et axes de coordonnées", avec tous les angles de 90^{\circ} et de 45^{\circ} que cela entraîne, plus l'égalité des triangles AOH et AOD par définition de H.
- ...

Posté par kelianwib kelianwib

merci pierre, franchement tu m'impressionnes avec cette facon avec laquelle t'expliques, chapeau ! merci encore ! toi aussi priam !

Posté par kelianwib kelianwib

par contre j'ai un ptit soucis sur l'exercice 2 question 2 , est-ce-que vous pourriez me donner un coup de pouce? svp

j ai calcule les coordonnées des points d'intersections mais je trouve:
x²-2x-8=0
y²-2y-8=0 comment je pourrais simplifier parce qu il n y a pas d identite remarquable (a-b)²=a²-2ab+b²
pour la suite c'est bon.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Kelianwib

Je n'arrive pas à ça. Les équations des deux cercles sont :

La soustraction des deux aquations donne (c'est l'équation de la droite qui joint les deux points d'intersection cherchée), et le système se réduit par exemple à :

qui n'est pas bien difficile à résoudre ...

Remarque : le point (celui d'abscisse positive) est évident géométriquement.

Posté par kelianwib kelianwib

je ne vois pas comment t'as trouvés le premier système, il faut bien faire

(x-1)²+(y-1)²-10=0                  (x-1)²+(y-1)²-10=0
                y=0                                 x=0

     x²-2x+1+1-10=0                      1+y²-2y+1-10=0
                y=0                                 x=0

          x²-2x-8=0                           y²-2y-8=0
                y=0                                 x=0

voila ce que j'ai fais comme tu m'as dis quelques messages plus haut mais je n'arrive pas à continuer à moins qu'il faut faire autrement.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Rebonjour,

"Quelques messages plus haut", on cherchait les intersections d'un cercle avec l'axe Ox (d'équation y=0). Ici, on cherche les intersections de deux cercles.

Posté par kelianwib kelianwib

ah ok, mais je voulais savoir comment terminer les deux systèmes pour trouver les coordonnées des points d'intersections avec y=0 et x=0 .

Pour trouver l'equation du 2eme cercle , tu as utilisés les coordonnées de et T pour calculer son diamètre et son centre ?
Pour faire ca, il faut que j'introduises un point M qui à C'(2ème cercle) et que MTM M.TM=0
(x-1)(x-3)+(y-(-2))+(y-4)=0 x²-3x-x+3+y²-4y+2y-8=0 x²-4x+y²-2y-5=0 (x-2)²-4+(y-1)²-1-5=0(x-2)²+(y-1)²-10=0

(x-1)²+(y+2)²-4=0
(x-2)²+(y-1)²-10=0

x²-2x+1+y²+4y+4-4=0
x²-4x+4+y²-2y+1-10=0

2x+6y+6=0x+3y+3=0

(x-1)²+(y+2)²-4=0
x+3y+3=0

x²-2x+1+y²+4y+4-4=0
x+3y+3=0

9y²+9+6y+6+1+y²+4y=0
x=-3y-3

10y²+10y+16=0          10y²+10y=-16  je suis un petit peu coince, HELP !!!
x=-3y-3                     x=-3y-3

J'ai une petite question, est-ce-que c'est grave que nous ne suivions pas l'ordre des questions ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Kelianwib,

1) Je suppose que tu sais résoudre une équation du second degré en y ! (attention, tu as fait une faute de calcul quelque part, la bonne équation est 10y²+28y+16=0)
2) Dans un problème, très souvent la réponse à une question utilise les résultats obtenus aux questions précédentes, mais ce n'est pas une règle absolue. L'énoncé annonce même parfois "Les questions X, Y, ... sont indépendantes" : dans ce cas, il n'y a aucun inconvénient à y répondre dans l'ordre qui te plait.

Posté par kelianwib kelianwib

ok, je te demandes ça parce qu'on a pas vraiment répondu à la question 2 a) où il faut prouver que A1 et A2 appartiennent au cercle C' de diamètre [T]

Est-ce-que tu peux m'aidés pour trouver le résultat du système que j'ai écris deux messages plus haut où il faut trouver les coordonnées de A,B,C et D.

Posté par kelianwib kelianwib

j'ai regardé l'équation du second degré en y mais je ne trouve pas l'erreur, j'ai refais le calcul 3 fois mais je trouves toujours 10y²+10y+16=0, t'es sûr de toi ? même avec (x-2)²+(y-1)²-10=0  x²-4x+4+y²-2y+1-10=0  9y²+9+12y+12+4+y²-2y+1-10=0  10y²+10y+16=0

Posté par Pierre_D Pierre_D


2)2)a) Que valent les angles   et    ?

1)b)   Soit le système :
          
Je remplace y par 0 dans la première, d'où .

Même procédé pour l'autre système :
          

Posté par kelianwib kelianwib

2)2)a)les angles sont inconnus et ils n'ont pas du tout l'air de faire 90° mais ils sont égaux. Il y a un moyen pour les calculer ?

1)b)ok j'ai pas pensé à ne pas développer pourtant c'était plus simple, je suis vraiment bête !

Posté par Pierre_D Pierre_D


"2)2)a)les angles sont inconnus et ils n'ont pas du tout l'air de faire 90° "...
Voyons, Kelianwib, quel angle fait la tangente à un cercle avec le rayon qui passe par le point de tangence ?

Posté par kelianwib kelianwib

aucune idée ! à vrai dire, c'est la première fois qu'on travaille sur les cercles au lycée donc ce n'est pas vraiment ma faute de ne pas savoir. Mais ça varie selon la distance à laquelle se trouve T, non ? Sinon, d'après le schéma, je dirais aux alentours de 20° ?

Posté par kelianwib kelianwib

je suis vraiment désolé de te faire perdre autant de temps !

Posté par Pierre_D Pierre_D

Kelianwib,

Lis avec attention : je ne t'ai pas parlé des angles (TA₁) et (TA₂), mais des angles (A₁T) et (A₂T) ...