DM : calcul d'air

Posté par eleve-creusot eleve-creusot

Dans le plan muni du repère orthonormal (O ; i ; j ), on considère la parabole P d'équation y = x² .
On se propose de calculer l'aire A du domaine « delta » limité par la courbe P, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = 1.

1- Soit I, J, et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).
En remarquant que le domaine « delta » est inclus dans le rectangle OIJK, en déduire que 0 < A < 1

2- On partage le domaine « delta » en deux tranches verticales T' et T'' de même largeur ½ et d'aires respectives A' et A''.

Par un procédé analogue à celui de la question précédente, justifier les encadrements :

0 < A' < 1/8 et 1/8 < A'' < ½ .

En déduire que 1/8 < A < 5/8.

3- Soit n un entier supérieure à 2.

On partage le domaine « delta » en « tranches verticales » T1, T2, ..., Tn de largeur 1/n.

On désigne par Ak l'aire de la tranche Tk pour tout entier k compris entre 1 et n.

En encadrant la « tranche » Tk entre deux rectangles, justifier que (k-1)²/n(3) < A1 < k²/ n puissance 3

En déduire que:  1²+2²+....+(n-1)²  /  n puissance 3 < A < 1²+2²+....+n²  / n puissance 3

4- On désigne par (un) la suite définie, pour tout entier n>1, par
Un =1²+2²+...+n² / n puissance 3

En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que 0 < un-A <   1/n.

En déduire que la suite (un) converge vers le réel A.

5- Le but de cette question est de calculer un en fonction de n.

a) Déterminer un polynôme Q de degré 3 tel que, pour tout réel x, Q(x+1)-Q(x)=x²

b)  démontrer que :

1²+2²+...+n² = n (n+1) (2n+1)/6

c)En déduire que un = 1/6(1+1/n)(2+1/n)

6- En déduire la valeur de A.





ALors pour la premiere question, je pensait dire que l'aire du carée OIKJ est de 1cm², et qu'une aire ne pouvant etre nul, alors 0<A<1. Est-ce la bonne réponse? car je bloque deja pour la question 1 :s

Posté par eleve-creusot eleve-creusot

svp personne ne peut m'aider?

Posté par eleve-creusot eleve-creusot

j'ai réussi a répondre a la seconde question mais je bloque vraiment sur la 3ème.
Je pense qu'il faut calculer l'air de (k-1)/n   et de   (k+1)/n   mais n'aboutit a rien, quelqu'un aurait-il une piste svp?