DM : "Au sommet". Lieu de points, fonction

Posté par Marion93 Marion93

Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour un DM s'il-vous-plaît.

I) CONSTRUCTION
A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la configuration suivante :
- Tracer le cercle C de centre l'origine O et de rayon 3
- Placer sur le cercle C un point libre M
- Tracer la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par M que l'on nomme d
- Tracer la perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par M que l'on nomme t, on appelle N le point d'intersection de t avec l'axe des ordonnées
- Placer le point A de coordonnées (-3,0)
- Tracer la droite (AN) et placer le point P intersection de (AP) et d

On s'intéresse au lieu des points P lorsque le point M parcourt le demi cercle supérieur (les points du cercle dont l'ordonnée est positive ou nulle)
- En activant la trace de P, représenter le lieu des points P

II) CONJECTURES
On admet ici que le lieu des points P est la courbe représentative d'une fonction f.
1) Quelles coordonnées d'extremum peut-on conjecturer pour la fonction f ?
2) Que peut-on conjecturer concernant la dérivabilité de f à droite de -3 ?
3) Que peut-on conjecturer concernant la dérivabilité de f à gauche de 3 ?
4) Peut-on conjecturer l'existence d'un point de la courbe tel que la tangente en ce point traverse la courbe ?

III) DEMONSTRATION DES CONJECTURES
1) On considère le point M de coordonnées : (3cost ; 3sint), t étant un nombre réel. Quel est l'ensemble décrit par M lorsque t appartient [0, pi] ?
2) Démontrer que le lieu des points P est la courbe représentative de la fonction f définie par
f(x) = 1/3(x+3)V(9-x²) avec x appartient à [-3 ; 3]
3) Démontrer les conjectures du 1, 2, 3
4) Théorème : la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente en un point (x0 ; f(x0)) si et seulement si la dérivée seconde de f s'annule et change de signe en x0. On appelle alors ce point un point d'inflexion de la fonction f.
En utilisant ce théorème, démontrer la conjecture du 4).

Voilà.
J'ai donc réalisé la construction sur géogébra.
J'ai démarré, mais je ne suis pas très sûre de mes réponses et je bloque aux démonstrations.

II) 1) Coordonnées : (1.5 ; 3.9)
2) Sur [-3 ; P] f'(x) > 0
3) Sur [P ; 3) f'(x) < 0
4) Oui

Je ne suis pas certaine de ces réponses. De plus, pensez-vous que je dois les justifier ?

III) 1) Demi-cercle trigonométrique sur [0 ; pi]

Je n'arrive pas à faire la suite. Merci beaucoup si vous pouvez m'aider.

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

I) Un dessin pour les conjectures:



II)1) Extremum

2) Dérivable à droite de -3 et

3) Non dérivable à gauche de 3.

4) Oui: le point de la courbe d' abcisse -1.1

C' est un début...

Posté par Marion93 Marion93

Merci beaucoup pour votre aide. Quelqu'un aurait une piste pour la suite?

Posté par cailloux cailloux



Pas tout à fait, il s' agit du demi cercle de centre O et de rayon 3

Posté par Anne-us Anne-us

Bonjour Marion,

Les conjectures énoncées par cailloux semblent être correct, pour la suite:
Ne serait il pas intelligent de rechercher les coordonnées des points mobiles de la figure ( M, N et P ) ?
Pour ce qui est de la démonstration des conjectures, ça revient à une étude partielle de la fonction f.
Dérivation, recherche d'extremum en resolvant , continuité en -3 et 3 ( taux d'accroissement ) ...

Posté par Marion93 Marion93

Merci, je vais essayer ça

Posté par Marion93 Marion93

Alors j'ai trouvé :
M (3cos t ; 3 sin t)
N (0 ; 3sin t)
P (3 cost ; ??) Je ne trouve pas son ordonnée.
Après, pour l'étude de la fonction, j'ai le droit de partir de l'expression de f(x) que l'on m'a donné ?

Posté par Marion93 Marion93

Pardon, je pense que vous parliez de la question 3)

Posté par Anne-us Anne-us

Bien, malgré cela, petites erreurs




Pour l'ordonnée de P, ne vois tu pas la forme d'une fonction usuelle apparaitre ?
Une fonction affine par exemple ...

Posté par Marion93 Marion93

Hmm, je ne comprends pas pourquoi M (3sin (t) ; 3cos (t)) et non l'inverse ?
Le point P a ensuite la même absisse que M donc je pensais 3cos(t).
Pour l'ordonnée, je trouve sin(t).x + 3sin(t)

Posté par Anne-us Anne-us

je me suis trompée excuse moi boloss.
Détail ta démonstration pour l'ordonnée du point P

Posté par Anne-us Anne-us

T'es plutôt lente comme fille toi

Posté par Marion93 Marion93

boloss ?
Alors, je trouve déjà que l'ordonnée à l'origine (soit b dans y = ax + b) est égale à l'ordonnée du point N donc 3sin(t). Ensuite, pour trouver, je cherche le coefficient directeur de la droite. a = delta y / delta x
Je prends donc l'acroissement entre l'axe des abscisses et le point N. a = 3sin(t)/3 = sin(t)

Posté par Anne-us Anne-us

Ah ben enfin c'est pas trop tôt j'ai cru que j'allais mourir, oui c'est ça
reste a déterminer la fonction.
Aucune idée te vient ?

Posté par Anne-us Anne-us

Jvais checké Aziz il doit avoir la réponse, continue a chercher

Posté par Marion93 Marion93

Hmm, ça me fait : xP = 3 cos(t) et yP = sin(t).x + 3sin(t)
Peut-être faut-il exprimer t en fonction de xP et remplacer dans yP?

Posté par Anne-us Anne-us

Les coordonnées sont bonnes  

Posté par Baste965 Baste965

Il a dit quoi alors Aziz ? Moi j'ai checké Mohmout mais il a pas les réponses !

Posté par Anne-us Anne-us

Pas mal Baste965
mais cela ne solutionne pas le problème de Marion

Posté par Anne-us Anne-us

En revanche Marion, je suis allé faire un tour au B5, je n'ai pas trouvé Aziz mais j'ai réussi a trouver l'equation de ta fonction.
Tu y es presque

Posté par Marion93 Marion93

Quand j'ai cos(t) = xP/3 je ne sais pas comment modifier cette expression pour la remplacer dans l'expression de xP.

Posté par Baste965 Baste965

NOM DE DIEU,

Graul ?

Posté par Marion93 Marion93

Graul? T'es mort :p

Posté par Anne-us Anne-us

Il suffit de prendre un peu de farine et de t'en badigeonner les cheveux

Posté par Baste965 Baste965

Sale enfoiré de grauloss, donne nous tes calculs !

Posté par Marion93 Marion93

Oui allezzzz, grouille ^^

Posté par Baste965 Baste965

J'te fais un transfert paypal en pers' après !

Posté par Anne-us Anne-us

qu'est ce qu'un grauloss ?

Commence par essayer de multiplier tes coordonnées par 1/3 Marion

Posté par Baste965 Baste965

Bon Anne-us (Anne Leinot ?), peux-tu poster les calculs ?

Posté par Marion93 Marion93

Je vois pas en quoi ça m'aide de multiplier par 1/3 ?

Posté par Anne-us Anne-us

equation de cercle :  x²+y²=R² okay ? donc ici, R = 3 , x²+y² = 9
                                                        y²=9-x²
d'où
ça ne ressemble a rien ?

Posté par Anne-us Anne-us

multiplie ax par 1/3.
le reste vient tout seul

Posté par Marion93 Marion93

Et bien si, une partie de la fonction. Mais P appartient au cercle seulement pour x = 0 ?

Posté par Marion93 Marion93

Ah et -3 et 3

Posté par Marion93 Marion93

Au risque de paraitre complètement bête, peux-tu me réexpliquer ce que je dois faire une fois que j'ai l'équation du cercle stp?

Posté par Marion93 Marion93

Personne ?