Constructions à partir d'une parabole

Posté par Eilee Eilee

Bonjour,
J'ai un DM de maths pour lundi et je bloque. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp?
(La figure nécessaire est attachée)

- Données de l'exo:
f est la fonction définie sur R par f(x)=1/4x²-x+2.
C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
On considère le point F de coordonnées (2;2), le point M de C d'abscisse 6 et le pont H de coordonnées (6;0).
La droite (FM) recoupe C en N. Les tangentes T et T' à C respectivement en M et N se coupent en I.
Enfin,  Г est le demi-cercle de diamètre [MN] représenté sur la figure.

- Questions:
a) Déterminer une équation de la tangente T et démontrer que T est la médiatrice du segment [FH].
b) Déterminer une équation de la droite (FM). En déduire les coordonnées de N, puis donner une équation de Г.
c) Démontrer que les tangentes T et T' sont orthogonales.
d) Calculer les coordonnées de point I et justifier que I appartient à  Г.
e) Calculer les coordonnées du milieu Ω de [MN]. Démontrer que l'axe des abscisses est tangent en I au demi-cercle Г.

- Mes réponses :
a) On cherche l'équation de la tangente T en en M d'abscisse 6. Donc, ici a=6.
f(x)=1/4x²-x+2 donc f'(x)= 1/2x-1
f'(a)= (1/2)*6-1
      = 3-1
      = 2
f(6)= (1/4)*6²-6+2
     = (1/4)*36 -4
     = 9-4
     =5
Donc, Y_T=f'(a)(x-a)+f(a)
             =f'(6)(x-6)+f(6)
             =2(x-6)+5
             =2x-12+5
             =2x-7  

Si T est la médiatrice de [FH] alors T coupe [FH] en son milieu que l'on appellera R.
Les coordonnées du milieu R de [FH] avec F(2,2) et H(6,0) sont:
x_R= (2+6)/2=(8/2)=4
y_R= (2+0)/2=1

Donc, R(4,1)

On cherche maintenant à savoir si T passe par R(4,1)
donc, pour x=4 on a:
y_T=2*4-7    
   =8-7
   =1
T passe bien par R(4,1) donc T est la médiatrice de [FH].

b) On cherche l'équation de la droite (FM) et F(2,2) et M(2,?)
M est un point de C, la courbe représentatrice de f donc:
f(6)=(1/4)*6²-6+2
     = 5 [déjà calculé en a)]
donc M(6,5)

|x_M-x_F=6-2=4
       |y_M-y_F=5-2=3
donc: |4
               |3
donc une équation de (FM) est
4x+3y+c=0

passe par le point appelé S, milieu de [FM]
x_S=(6+2)/2=4
y_S=(2+5)/2=7/2

donc on a:
4*4+3*(7/2)+c=0
16+(21/2)+c=0
c=-(53/2)
donc une équation de (FM) est 4x+3y-(53/2)=0

Voilà, c'est à partir de là que j'ai des problèmes pour le DM je n'arrive pas a en déduire les coordonnées de N et j'ai peur que tout ce que j'ai trouvé soit faux.

Eilee

Posté par Priam Priam

Je crois que tu t'es compliqué la vie pour l'équation de la droite (FM).
Les coordonnées des points F et M étant connues, l'équation de cette droite se calcule aisément en partant de  y = ax + b.

Posté par Eilee Eilee

Ah oui, exact je n'avais pas pensé à ça merci.
L'équation serait donc y=4x+3.
Le problème c'est que je ne vois pas comment l'appliquer au point N sachant que la seule info que j'aie le concernant c'est qui fait partie de la droite (FM) et du diamètre de Г dont je dois calculer l'équation. La seule option que j'aie c'est utiliser son abscisse qu'on peut voir sur le graphe (mais je sais pas si j'ai le droit de le faire...).
Ca ferait donc y_N=4*1+3
                         =7
Donc N(1,7) mais je ne trouve pas le bonnes coordonnées qu'on peut voir sur le graphe (y_N1).

Posté par Priam Priam

Ton équation est inexacte. Elle n'est pas satisfaite par les coordonnées de F !

Posté par Eilee Eilee

D'accord merci. Donc, je reprends, a est le coeff directeur donc :
a=(y_M-y_F)/(x_M-x^F)
=(5-2)/(6-2)
=3/4

Donc, y=(3/4)x+b

La droite passe par F(2,2) soit:
2=((3/4)x+b
b=2-(3/4)*2
=2-(3/2)
=1/2

Donc, la droite (FM) a pour équation y=(3/4)x+(1/2).

Et, si j'utilise l'abscisse de N qu'on peut voir sur le graphe je trouve:
y_N=(3/4)*1+(1/2)
  =(3/4)+(1/2)
  =5/4
Donc N(1;(5/4).
Mes resultats sont justes?

Posté par Priam Priam

Oui, justes.

Posté par Eilee Eilee

D'accord, merci beaucoup de m'avoir aidée.

Posté par moi-e-moi moi-e-moi

jusqu'à présent je n'ai pas eut de problèmes mais dés la question c je bloque ...
en effet pour montrer qu'elles sont orthogonales je doit utilisé le produit scalaire nan ??

Posté par Eilee Eilee

Bonjour,

Tu peux utiliser soit le produit scalaire soit la propriété des coefficients directeurs.

- Pour les produits scalaires, tu dois calculer les coordonnées des vecteurs directeurs de T et T'. Ensuite tu sais que si des vecteurs sont orthogonaux, le résultat de leur produit scalaire est nul. Tu n'as plus qu'à faire le calcul.

- Pour la méthode des coefficients directeurs: on sait que deux droites sont orthogonales si le produit de leurs coefficients directeur est égal à -1. Perso, c'est cette propriété que j'ai utilisé et la prof nous a expliqué l'autre.

Voilà

Posté par moi-e-moi moi-e-moi

ok merci je suis désolee de te re-embeter ^^ mais je bloque à la d) g trouver i(3,5;0) mais je ne sais pas comment prouver qu'il appartient a ...
je sais que : [mn] est le diametre du cercle et que MNI est un triangle mais ça ne suffit pas nan ??

Posté par Eilee Eilee

Désolée du retard, j'ai eu pas mal de boulot et j'ai pas vu ton message avant.

Je te mets ma méthode en entier comme ça tu pourra comparer:
On sait que I appartient à T et T'
aec les équations on peut donc écrire 2x-7=-(1/2)x+(7/4)
(T et T' se rencontrent en I)
En résolvant l'équation on trouve x=7/2 (Ne fait pas d'arrondi à 3,5 en général les profs n'aiment pas ça =D)

Ensuite tu peux remplacer x=7/2 dans une des équations ici:
y=2*(7/2)-7
y=0

Donc I(7/2;0) C'est ce que tu avais trouvé.

Ensuite, [IN] est perpandiculaire à [IM] donc le triangle IMN est rectangle en I.
On sait que Г est le demi-cercle de diamètre [MN] donc, I appartient au cercle.

C'est ce que tu avais trouvé je crois, je pense que ca suffit vu qu'en correction la prof nous en a pas dit plus.