Moindres carrés, existances..

Posté par Floghi Floghi

Bonjour a tous,

j'ai un peu de mal a étudier l'existence de solutions lors d'une relaxation linéaire,
pour rappel: on a un nuage de points, des couples (xi,yi),

la relaxation lineaire tq y^2 = ax^2 + b,  ou a b sont solutions.

J'obtiens en derivant a partir de la sommation(ax^2 - y^2 + b)^2
un systeme d'equation avec un determinant qui ressemble a ca:
les sommations vont de 1 a n

sommation(xi^4) * N - sommation(xi^2) * sommation(xi^2)

je dois trouver quand le systeme risque d'etre impossible, donc quand est ce que son determinant egale 0.

Et la j'essaye de distingué deux cas, soit les xi sont distincts, soit ils sont tous egaux.

Si le xi sont egaux: on obtient N * N * x^4  -  N * N * x^4 = 0  donc on a en bien un systeme impossible..
sauf erreur de ma part.

Mais je ne sais pas aborder le cas ou les xi sont distincts..


Merci d'avance

Posté par JJa JJa

salut,

méfie-toi, le nombre n de points intervient dans la réponse (en fait, le nombre de points distincts)
Pour des généralités voir par exemple le paragraphe 1 de l'article "Régressions coniques, quadriques, circulaires, sphériques" et le paragraphe 3 pour les cas de régressions linéaires proprement dites. Par le lien :
http://www.scribd.com/people/documents/10794575-jjacquelin

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Floghi,

Si la fonction de perte (somme de carrés des écarts) est bien celle que tu dis, , il s'agit rigoureusement de la régression linéaire de sur .

Posté par Floghi Floghi

Il s'agit bien de cette fonction de perte,

mais malgres les liens que vous m'avez donné, ca ne m'aide pas a trouver pour quelle configuration de
points le systeme n'aurait pas de solution si les xi etait distincts..

Soit si les xi sont distincs on aura tjs une solution..
mais comment prouver que

sommation(xi^4) * N - sommation(xi^2) * sommation(xi^2)

est tjs different de zero.. ou egal zero dans certains cas..

Posté par pierrecarre pierrecarre

Bonjour !

Je n'ai lu que le dernier courrier.
S'agit-il bien de démontrer que, pour des distincts,
?

Cordialement,

r².

Posté par Floghi Floghi

Exactement,

j'ai déja trouvé que pour des xi egaux, ce n'est jamais different.
Maintenant pour des xi quelquonques je bloque..

Posté par pierrecarre pierrecarre

(Re)Bonjour !

En posant

,

cela revient à démontrer que, pour que des positifs distincts,

.

Or, l'inégalité entre les moyennes arithmétique et quadratique donne

,

l'égalité n'ayant lieu que si tous les sont égaux.

En élevant les deux membres (positifs) au carré, on obtient ce qu'on cherche (et même plus puisqu'on trouve une inégalité).

Cordialement,

r².

Posté par Floghi Floghi

Merci bcp,
c'est exactement le lien que je n'arrivais pas a trouver

bien a vous, bonne fin de journée

Posté par Floghi Floghi

\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}n\leq\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i^2}n},


une derniere chose, est-il possible de prouver cela formellement ?

Posté par Floghi Floghi

edit:

ce que je voudrais prouver formellement,

moyenne arithmetique <= moyenne quadratique

Posté par pierrecarre pierrecarre

Bonjour !

Oui, bien évidemment.

Cela peut se faire en appliquant le théorème de Jensen à la fonction , convexe sur .

Cordialement,

r².

Posté par Floghi Floghi

merci bcp,
on en apprend des choses ici :O