Egalité de deux ensembles

Posté par Thursaz Thursaz

Bonjour

Je sèche sérieusement sur une partie d'exo de colle sur les espaces vectoriels...

Soit un K-ev. Soit f L(E).

Montrer que : f (ker f²) = im f ker f
Je me doute bien qu'il faut procéder par double inclusion mais je ne sais pas du tout comment exprimer l'appartenance d'un vecteur à l'un des deux ensembles...
Si vous avez des indications je suis preneur

Merci d'avance !

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Soit y dans . Alors il existe x dans tel que y=f(x). Ceci prouve déjà que . De plus donc .

Tu esayes l'autre sens?

Posté par Olivski Olivski

Bonjour, voici ce que je te propose,

*Montrons que f (ker f²) inclu dans im f inter  ker f
Soit x dans f(Kef(f²)) montrons que x est dans imf et dans kef f
   d'une part x dans f(Kef(f²)) implique qu'il existe un y dans Ker(f²) tel que x=f(y) autrement dis x appartient à Imf (c'est la définition de   Imf).
   d'autre part, montrons que x est dans Ker(f): regardons pour celà f(x):
    f(x)=f.f(y)=f²(y) avec y dans Kerf² donc f²(y)=0 d'où f(x)=0 ce qui implique que x appartient aussi à Ker(f), d'où l'inclusion

*Pour l'autre inclusion....je te laisse chercher

Posté par Olivski Olivski

nan mais nan mais nan....bon décidement je tape aussi lentement qu' un gendarme moi !!! Bon je vais aller me recoucher je pense^^

Posté par Thursaz Thursaz

Ah oui d'accord c'est tout bête en fait... Merci

Pour l'autre sens j'ai écrit :
Soit y im f ker f. Alors il existe x E tel que y = f(x) avec f(y) = 0, donc f²(x) = 0 ou encore x Ker f² d'où y f (ker f²)

Ca a l'air de marcher Merci beaucoup.

Posté par Camélia Camélia

Mais non... moi je tappe plus vite que mon ombre... et tu as très bien fait l'exo! Je te lasse l'autre sens!

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est bon! Affaire réglée...

Posté par Thursaz Thursaz

Euh... désolé mais j'ai essayé un atre exercice du même type pour m'entraîner et je bloque à un endroit

Montrer que : ker f = ker f² ker f im f = { 0_E } , où E est toujours un K-ev et f L(E)

J'ai essayé de prouver l'équivalence en prouvant les deux implications, implications qu'il faut prouver en procédant par double inclusion. je pense que la méthode est bonne mais je n'arrive pas à prouver ceci :

ker f im f = { 0_E } ker f² ker f.
En fait j'ai surtout du mal à exprmier l'hypothèse " ker f im f = { 0_E } "
Encore merci d'avance

Posté par Camélia Camélia

Il ne faut pas exprimer une hypothèse a priori. Il faut se lancer... Soit . Alors f(f(x))=0, donc . Mais de toute façon . Et voilà l'hypothèse: donc f(x)=0 et

Posté par Thursaz Thursaz

D'accord merci beaucoup Bonne journée