calcul intégral

Posté par timoth69 timoth69

Bonjour, je dois effectuer un exercice, mais je bloque, je sollicite donc votre savoir
soit f(x)= 100(2x-5)e^-x
il me faut premièrement calculer sa limite en +∞ : j'ai fait :
f(x)=100(2x-5)e^-x= 100(2x(e^-x)-5(e^-x)) = 100 ((2x/e^x)-(5/e^x)
or lim 2x = +∞  &  lim e^x = +∞        donc lim (2x/e^x) = +∞  (par quotient)
    x -> +∞              x-> +∞                          x-> +∞
et lim -5= -5   &     lim e^x = +∞     donc lim (5/e^x) = 0     (par quotient)
   x-> +∞                x-> +∞                      x-> +∞
Ainsi lim f(x) = 0  donc f(x) possède une asymptote horizontale d'équation x=0 correspondant a l'axe des abscisses
              x-> +∞
je ne sais pas si ma limite est juste ?

ensuite, il me demande de calculer  f'(x), j'ai fait :
f(x) = 100 ( 2x-5) e^-x = (e^-x)(200x-500)= UxV avec u = e^-x  u'= -e^-x  
                                                                                        v = 200x-500   v'= 200
donc f'(x) = U'V+ V'U = (-e^-x)(200x-500)+200(e^-x)
je ne sais pas si ma dérivée est juste, et si elle l'est, pouvez-vous me dire comment la simplifier svp ?

d'avance merci

Posté par Yzz Yzz

Salut,
Petite erreur sur la première limite (2x/e^x): c'est une forme indéterminée. Mais l'expo l'emporte sur le polynôme, donc cette limite est égale à 0. Le reste est OK
Pour la dérivée: f'(x)=-e^-x(200x-500)+200e^-x=e^-x(-200x+500+200)=e^-x(-200x+700).
pour son signe, on sait que e^-x est positif pour tout réel x, donc f'(x) est du signe de -200x+700.

Posté par timoth69 timoth69

merci pour votre réponse, je ne comprend juste pas une chose : la limite (2x/e^ e^x) est en effet une forme indeterminée, mais si l'expo l'emporte sur le polynome, ne devrait elle pas être égale à +∞ (car lim de e^x = +∞ en +∞) ?

Posté par Yzz Yzz

"L'expo l'emporte": ça veut dire en gros, "que c'est elle la plus balèze". et comme elle est au dénominateur, le résultat va tendre vers 0.
C'est comme si tu divisais 1000 par 1000000000000000000: un "gros" en haut, mais un "super méga énorme" en bas... Tu saisis?

Posté par timoth69 timoth69

a oui dsl j'avais pas vu les choses comme ça ;/ merci.

Posté par timoth69 timoth69

une autre question. il me fallait calculer l'intégral de la primitive de f(x) sur (3;6)
F(x) = 100(-2x+3)e^-x

donc j'ai calculé F(6)-F(3) = 100(-2x6+3)e^-6 - (100(-2x3+3)e^-3  
                                         = 100(-9)e^-6 - (100(-3)e^-3)
                                         = -900e^-6 - (-300e^-3)
                                         = -900e^-6 + 300e^-3

mais je ne parviens pas a simplifier plus ....