Intégrale généralisée de x à 3x quand x tend vers 0

Posté par Leonegres Leonegres

Bonjour à tous,

Je suis tout nouveau sur ce forum, il est donc possible que je fasse de mauvaises manipulations pour écrire mon présent message.
Si tel est le cas, je vous prie de bien vouloir m'en excuser et je réitérerai le cas échéant ma question autrement.

Voilà, je sèche depuis un très long moment sur une intégrale généralisée :
"Prouvez que : quand x tend vers 0, limite de l'intégrale de 0 à 3x de (cos(t)/t) dt existe, et calculez là."

x0  lim[x]integrale[/3x] (cos(t)/t)dt

Si quelqu'un peut m'éclairer afin que je puisse débloquer ma situation, je lui en saurais gré.
Cordialement.

Leonegres

Posté par Leonegres Leonegres

Pardon à tous, ça commence fort, j'ai fait une erreur :

"Prouvez que : quand x tend vers 0, limite de l'intégrale de x à 3x de (cos(t)/t) dt existe, et calculez là."

(et non pas de 0 à 3x)

Merci à tous.

Leonegres

Posté par Drysss Drysss

Prouve que |cos(t) -1|<= t^2/2.
Ca t'aidera surement.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour et Bienvenue sur l'

En fait il n'y a pas d'intégrale généralisée dans cet exo!
Commençons par x > 0.
Tu sais que pour tout t, donc


et les deux extrêmes sont faciles à calculer...

Posté par Camélia Camélia

Salut Dryss

Posté par Olivski Olivski

Bonjour....argggghhh encore trop lent :

Je te propose la même chose que camélia...enfin même principe sauf que pour l'inégalité j'aurais posé :
....dans tous les cas tu vas trouver une limite du genre ln(3) (en itilisant le théorème des gendarmes (à tient^^)

Et pour le cas ou x tend vers 0-...même principe et tu devrais trouver la meme limite.

Posté par Camélia Camélia

Oui, ça marche aussi pour x assez petit! (Ce n'est pas un concours de vitesse...)

Posté par Olivski Olivski

je sais mais je n'arrive pas à taper en latex....je suis trop trop lent...et ça me rend toute chose

Posté par Olivski Olivski

et surtout après la réponse de qualité que tu m'a fournie pour ma question...je me suis dis que j'allais participer un peu ici

Posté par Camélia Camélia

Mais tu es le bienvenu! je fais plein d'erreurs de calcul, et je ne suis pas là tout le temps... D'ailleurs je m'en vais!

Posté par Leonegres Leonegres

Re-bonjour,

Merci à Camelia pour ton souhait de bienvenu sur ce forum, et merci aussi ainsi qu'à Olivski et Dryss pour leur aide.
Je vais regarder cela d'un peu plus près.
Si j'ai bien compris, vous encadrez en fait la fonction en question par d'autres dont on connait (ou on peut trouver) la convergence.
C'est bien cela ?
Pardonnez-moi, mais je reprends tout juste mes études (en L2) après des années d'arrêt.
Vous risquez donc de me revoir encore sur ce forum avec des questions qui vous sembleront parfois quelque peu béotiennes ...
En tout cas merci beaucoup à vous.

Leonegres

Posté par Leonegres Leonegres

Re-bonjour,

Je me permets de réitérer ma question :
Si j'ai bien compris, vous encadrez en fait la fonction en question par d'autres dont on connait (ou on peut trouver) la convergence.
C'est bien cela ?
Merci

Leonegres

Posté par Drysss Drysss

Personnellement comme tu te rapproches de 0, j'ai fait un DL pour trouver la limite.

Apres une fois que t'as le DL, tu peux noter cos(t)=1-t^2/2 + t^2*epsilon(t) avec lim en 0 de epsilon =0.

Mais comme dans ce cas précis, des inégalités simples apparaissent (on connait en fait le signe de epsilon), on n'est pas obligé de l'introduire ce qui rend le raisonnement plus élégant.

D'ailleurs un DL à l'ordre 1 dans ce cas suffit :
cos(t)= 1 + t* epsilon (t) et c'est bon !

Posté par Leonegres Leonegres

Merci Drysss,

Je commence à mieux comprendre ton 1er message de 16:46.
Et bé, j'étais bien loin de saisir les raisons de l'amorce de ta démarche.
Je pense maintenant pouvoir creuser l'affaire.
J'avoue que je reste néanmoins encore quelque peu dubitatif au regard du fait que cette limite existe quand je vois la courbe de cos(t)/t ...
Je crois que je vais avoir du boulot pour cette reprise d'étude.
Merci encore à toi, et à bientôt sûrement sur ce forum.
Cordialement.

Posté par Camélia Camélia

C'est la limite quand x tend vers 0 de qui existe! L'intégrale est divergente!

Posté par Leonegres Leonegres

Oui tout à fait, je me suis aperçu ce matin d'où provenait ma difficulté initiale, et ce pourquoi tu mettais qu'il n'y a pas d'intégrale généralisée dans cet exo.
Ta remarque m'a pas mal travaillé et j'ai fini par comprendre mon erreur.
Tu as effectivement parfaitement mis le doigt sur mon blocage, je confondais la divergence et le calcul de la limite.
Et dire que j'ai tourné en rond pendant des heures ...

En tout cas je te remercie grandement.

J'ai mis un autre message sur un exercice où je galère pas mal aussi (Egalité entre 3 intégrales).
Pour l'instant je n'ai aucune réponse, si tu veux bien y jeter un coup d'oeil dans la mesure de ton possible, dès fois que tu aurais une piste, ce serait vraiment gentil.

En tout cas merci beaucoup.
(c'est dur de reprendre ses études de mathématiques après tant d'années d'arrêt ...)
Cordialement.