Inéquation trigonométriques élémentaires.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Bonjour à tous, j'ai 3 petites équations trigonométriques à résoudre pour jeudi, et je bloque à certains moments pour certaine.

Les voici :

1) 2cos²(x) + cos(x) -1 0
2) cos(x) < - (3)/2
3) sin(x) - 2sin²(x) > 0

Alors voilà, je propose de les traité une par une.

Pour la première, j'ai posé X=cos(x), ce qui me donne 2X² + X - 1 0
Donc ensuite, calcul du discriminant, puis on trouve les deux solutions. Donc Le disciminant vaut 9, X₁ = 1/2 et X₂ = -1.
Avec factorisation, j'arrive à 2(X-1/2)(X+1) 0
Soit (cos(x)-1/2)(cos(x)+1) 0
On étudie ensuite chacun des termes.
[u][/u]
-> Cos(x)1/2 <=> cos(x) cos(/3) ou cos(x) cos(-/3)
soit :
x /3 -2k ou x-/3 +2k

x ]-;-/3[u]/3;[ C'est pour cet intervalle que je ne suis pas sure ...

-> Et ensuite j'étudie cos(x)1
<=> cos(x) cos()
x+2k ou x-+2k

x ]-;[ ...

Je ne sait pas comment conclure si tout ca est correcte, bien que les deux ensemble que je viens de determiner me semble faux !

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

Le terme cosx+1 est toujours positif ou nul, donc il n'y a qu'à étudier l'autre terme.
Ton étude est correcte pour cosx1/2, si on se restreint à [- +]

Posté par Priam Priam

Des deux facteurs obtenus après factorisation, il faut voir que le second (cosx + 1) est toujours positif ou nul. Ce n'est donc pas lui qui déterminera le signe du premier membre, mais le premier facteur ; cos x - 1/2.
Etudie donc le signe de ce facteur en fonction de x (dans les limites 0 à 2pi pour commencer).

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Comment sait-on que (cosx+1)est toujours 0 ?

Car en faisant : cos(x)-1 <=> cos(x)cos()
Soit x+2k ou x-+2k, Ceci n'est pas faux ?
Mais qu'est-ce que ca veut dire ?

Posté par Priam Priam

cosx peut varier de - 1 à + 1.
cosx + 1 varie donc de 0 à 2, soit une valeur positive ou nulle.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Mais c'est fuax si je le justifie en faisant apparaitre le calcul précédent ?

Posté par Priam Priam

Qu'est-ce que le calcul précédent ?

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Et pour cos(x) - 1/2 0
J'ai  :

cos(x) cos(/3)
x/3 - 2k ou x-/3 + 2k


Bilan total, 2cos²(x) + cos(x) -1 0
lorsque x]-;-/3[u]/3;[

Posté par thomas2-2 thomas2-2

J'entendais par calcul précédent :

Posté par thomas2-2 thomas2-2

bon donc ceci est correct ? : Bilan total, 2cos²(x) + cos(x) -1  0
lorsque x]-;-/3[u]/3;[

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Priam, est-ce que c'est correct ?

Posté par Priam Priam

L'expression cos x - 1/2 s'annule pour x = - pi/3, pi/3 et 5pi/3.
Quand x est compris entre - pi/3 et pi/3, elle est positive.
Quand x est compris entre pi/3 et 5pi/3, elle est négative.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

D'où viens le 5/3 ?

Posté par Priam Priam

C'est une valeur de x pour laquelle l'expression s'annule.
L'intervalle de - pi/3 à 5pi/3 est égal à 2pi, soit une période de  cos x - 1/2.