Polynome interpolant unique ??

Posté par Floghi Floghi

Bonjour,

j'ai deux liste de 5 couples de points (xi, yi),

de la je dois dire si il existe un ou plusieurs polynome passant par les points..

Je peux utiliser le théoreme de Lagrange, qui me dit qu'il existe un unique polynome de degré au plus 4 passant par chacune de mes listes..
J'utilise les differences divisées et je reformule mon polynome.. Mais ce qui est genant,
c'est qu'on demande si il existe plusieurs polynome alors en citer au moins 2..

y a t'il des configurations de points pour lesquels plusieurs polynome sont interpolant?

Mes deux listes sont : (0,0) (1,2) (2,8) (3,18) (12,288)

la deuxieme (0,1) (1,11) (-1,5) (2,119) (-2,59)

merci

Posté par frenicle frenicle

Bonsoir,

Si le degré n'est pas limité à 4, il y en a beaucoup.

Tu peux ajouter par exemple x(x - 2)(x - 8)(x - 18)(x - 288) au polynôme de Lagrange.

Posté par Floghi Floghi

Et si j'avais une configuration a 2 couples ou 3 couples,
est-ce envisageable de trouver plus d'un polynome de degré n-1 (avec n = le nombre de couple)?

Posté par frenicle frenicle

Ben non, le th. de Lagrange te dit que ce polynôme est unique.
Par deux points il passe une seule droite, par exemple.

Posté par Floghi Floghi

Oui j'y vois plus clair, merci bcp

Posté par frenicle frenicle

C'est facile à prouver d'ailleurs.
Si P et Q de degré n-1 sont égaux en n points leur différence P - Q s'annule en n points.
Or un polynôme de degré   n - 1 a au plus n - 1 racines, sauf s'il est nul.
Donc P - Q est nul et P = Q.

Posté par Floghi Floghi

Voici mes deux polynomes obtenus par Lagrange de degré au plus 4,
Mes deux listes sont : (0,0) (1,2) (2,8) (3,18) (12,288)

la deuxieme (0,1) (1,11) (-1,5) (2,119) (-2,59)

liste 1 : P[x] = 2x^2
liste 2 : P[x]  = 1 -x + 2x^2 + 4x^3 + 5 x^4

on voit que le premier polynome se reduit fortement pour arriver au degré 2,
et celui de la seconde liste reste de degré 4.

Comment prouver qu'ils sont soit l'unique polynome interpolant ces points, soit qu'il existe d'autre polynome interpolant les meme points, le degré du polynome interpolant n'ayant pas d'importance..



ps: le polynome d'exemple de frenide tq x(x - 2)(x - 8)(x - 18)(x - 288)  n'interpole pas du tout les points en question..

Posté par frenicle frenicle

Oui, je me suis trompé en écrivant ce polynôme, désolé

Je pensais à :

x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 12)

Et en parlant de l'ajouter au polynôme de Lagrange je voulais dire :

Q(x) = 2x² + x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 12)

On a bien Q(0) = 0, Q(1) = 2, Q(2) = 8, Q(3) = 18, Q(12) = 288

Il y en a une infinité d'autres :

2x² + R(x).x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 12)

où R est un polynôme quelconque.