Enigmo 186 : un dimanche d'élections triangulaires

Posté par jamo jamo

Bonjour,

j'ai entendu parler d'élections "triangulaires" aujourd'hui.

Tout ce que cela m'a inspiré, c'est une énigme qui parle de triangle !
Voici donc une petite énigme assez mathématique, pour satisfaire les amateurs de géométrie une fois de temps en temps.

ABC est un triangle quelconque (non réduit à un point et non aplati).
I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [BC].
Soit x un nombre strictement supérieur à 1.
On appelle M le point du segment [AB] défini par : AM=AB/x.
Les droites (AJ) et (IM) se coupent en G.
La droite (CG) coupe le segment [AB] en N.

Question : déterminer, en fonction de x, la valeur du nombre y tel que AN=AB/y.

Vous me donnerez l'expression la plus simple pour y.

La démonstration n'est pas demandée. Mais, pour ceux qui ont le temps et l'envie de le faire, ce serait bien de donner une démonstration, ne serait-ce que les grandes lignes.
Cela permettra de comparer les différentes méthodes utilisées, et de voir laquelle est la plus "élégante".

Bonne recherche !

Posté par dpi dpi

Bonjour jamo
Il semblerait que y =x+1

Posté par LeDino LeDino

Bonjour à toutes et tous.

Sous la pression chronométrique, et donc sans vérification...
... je propose :  y = x + 1

Je dirai merci pour l'énigme seulement si j'ai trouvé la bonne réponse ...
Nan je blague... merci pour l'énigme .

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je trouve y=x+1.
Je me sers de triangles semblables en introduisant l'intersection de IJ et CG.

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,
y=1+x  (par analytique).
Merci pour l'énigmo.

Posté par hhh86 hhh86

Ma démonstration manque d'élégance, j'ai mis que les grandes lignes. Que du thalès. Je pensais faire de l'analytique mais bon, c'est à utiliser en dernier recours

D'après le théorème de Thalès :
IJ/AM=GJ/GA=GI/GM

Soit C'=(CG) inter (IJ)
D'après le théorème de Thalès :
IC'/MN=IG/MG=C'G/GN

D'après le théorème de Thalès :
JC'/AN=JG/GA=C'G/GN

Donc IC'/MN= JC'/AN
<=>(IJ-JC')/(AM-AN)= JC'/AN
<=>IJxAN= JC'xAM

D'après le théorème de Thalès :
JC'/NB=CJ/CB=CC'/CN
Donc JC'/NB=1/2
D'où JC'=NB/2

Par conséquent ABxAN=NBxAM
ABxAN=(AB-AN)xAM
ABxAN=ABxAM-ANxAM
(AB+AM)xAN=ABxAM
AN=ABxAM/(AB+AM)
1/AN=1/AM+1/AB
AM=AB/X et AN=AB/Y ==> Y=AB/AN=AB(1/AM+1/AB) =AB/AM+1=X+1


DONC Y=X+1

Posté par pierrecarre pierrecarre

Bonjour !

Voici ma solution : .

Celle-ci a été obtenue en manipulant des triangles semblables.

Cordialement,

r².

Posté par carpediem carpediem

salut

y=x+1....

Posté par carpediem carpediem

j'utilise le repère (A,B,C) et la colinéarité.....

en posant k=1/x (la notation "AB" désigne le vecteur AB)

AG=aAJ=a/2(AB+AC) et IG=bIM qui conduit à AG=bkAB+(1-b)/2AC permet d'obtenir a=2k/(2k+1) et b=1/(2k+1)

donc AG=k/(2k+1)[AB+AC] donc CG=k/(2k+1)AB-(k+1)/(2k+1)AC

en posant AN=tAB alors CN=tAB-AC

la colinéarité des vecteurs CN et CG conduit à t=1/y=k/(k+1) donc y=x+1

j'ai fait ça sur 5 morceaux de brouillon donc j'espère ne pas m'être trompé !!!....

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

Je pense que la relation est y=x+1 tout simplement.

Je posterai la démonstration un peu plus tard (je ne crois pas que je gagnerai le prix de l'élégance).

Merci encore pour cette énigme géniale.

Posté par torio torio

y = x+1

A+
Torio



Méthode :

Vu la formulation de la question, le réponse ne dépend pas du triangle.
J'ai donc pris un triangle rectangle isocèle de côtés :  1,1 et rac(2).
et utilisé les équations des différentes droites.

x= 1/m   et y = 1/n

on arrive sur  n = m/(m+1)   donc  y = x+1

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
avec beaucoup de temps perdu, je propose y=x+1.

Posté par LeDino LeDino

Voici mon approche pour arriver au résultat (y=x+1):

Connaissant mes limites, j'ai vite renoncé à une démonstration de géométrie pure, probablement plus élégante.
J'ai simplement posé le système de coordonnées suivantes :

A (0 ; 0)
B (1 ; 0)
C (u ; v)  avec u et v quelconques.

On en déduit :
M (1/x ; 0)
N (1/y ; 0)
I (u/2 ; v/2)
J (u/2+1/2 ; v/2)

G est à l'intersection de AJ et IM, donc :
(1) AG // AJ
(2) IG // IM

Et CGN sont alignés, donc :
(3) CG // CN

On pose G (XG ; YG). (1) et (2) permettent de trouver XG et YG en fonction de x, u et v.
Ensuite, (3) donne une relation entre y, XG et YG, et donc entre x,y,u et v.
Comme espéré, puisque la relation cherchée est supposée ne pas dépendre de la position de C, u et v s'éliminent et la relation entre x et y apparait.

(1) AG // AJ
XG.(v/2) = YG.(u/2+1/2)
==> XG = YG.(u+1)/v

(2) IG // IM
(XG-u/2).(v/2) + (YG-v/2).(1/x-u/2) = 0
==> YG = v/(x+2)
et  XG = (u+1)/(x+2)

(3) CG // CN
(XG-u).(-v) = (YG-v).(1/y-u)
==> y = x + 1

Posté par geo3 geo3

Bonsoir
Soit Q l'intersection de CN et de IJ
*
AGM est semblable à IGJ => IJ/AM = GI/GM => (AB/2)/(AB/x) = GI/GM  => x/2 = GI/GM
*
IGQ est semblable à MGN => IQ/NM = GI/GM => (AN/2)/NM = x/2 => AN/NM = x => (AB/y)/(AM-AN) = x  => (AB/y)/(AB/x - AB/y) = x  => x/(y-x) = x =>
y = x + 1
qui aurait cru
A+

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonsoir

Je dirais, sauf erreur de calcul de ma part,  y = x+1

(tout bêtement par l'analytique dans le repère (A,v(AB),v(AC)) où les équations des droites concernées sont simples)

MM

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
y=x+1

Démonstration
IJ=AB/2

AM/IJ = AG/GJ => 2/x=AG/GJ              (1)

AN/OJ=AG/GJ (O = intersection de CN et IJ) => AB/(y * OJ) = AG/GJ    (2)

(1) et (2)  => 2/x = AB/(y *O J)     (4)

OJ/BN = CJ/BC => OJ = AB(y-1)/2y   (3)

(3) et (4) => y=x+1

Merci pour l'énigme

Posté par pacou pacou

Bonjour, Jamo

Je propose:

Puisque tu aimerais avoir une démonstration, en voici une en passant par les barycentres (en espérant que ce sera correct):

  ()  et
Par conséquent:

  

M bar{(A;x-1),(B;1)}
Par ailleurs, I bar{(A;1),(B;1)}  et  J bar{(B;1),(C;1)}

On pose un point K, tel que K bar {(A;x),(B;1),(C;1)}
En utilisant le théorème du barycentre partiel, je peux en déduire que:
D'une part:
K bar {(A;x-1),(A;1),(B;1),(C;1)}
K bar {(M;x),(I;2)} d'où K(MI)

D'autre part:
K bar {(A;x),(J;2)} d'où  K(AJ)

K est le point de concours des 2 droites (MI) et (AJ) donc K=G
par conséquent: G bar {(A;x),(B;1),(C;1)}

La droite (CG) coupe [AB] en N, on peut en déduire que:
G bar {(N;x+1),(C;1)}
puis que:
N bar {(G;x+2),(C;-1)}
N bar {(A;x),(B;1),(C;1),(C;-1)}
N bar {(A;x),(B;1)}

d'où :


  ()

En conclusion:   

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Comme je suis assez nul en géométrie classique et que les propriétés des triangles sont pour moi de grands mystères, j'ai opté plutôt pour la géométrie analytique.

J'ai pris comme repère le point A, le vecteur AB (qui sera donc unitaire) et un vecteur orthogonal à AB.

Les points ont donc les coordonnées suivantes dans ce repère :
A(0;0), B(1;0), C(x_C, y_C), I(x_C/2, y_C/2), J((x_C+1)/2, y_C/2), M(1/x;0), N(1/y;0)

Dans ce repère, les droites suivantes ont pour équation :
(AJ)    (E1)

(IM)    (E2)

(NC)    (E3)

Le point appartient à ces 3 droites.


En combinant (E1) et (E2) pour G, on obtient la relation

En combinant (E2) et (E3) pour G, on obtient la relation

Une fois développé, cela mène à y=x+1

Je suis sûr qu'il y a des démonstrations bien plus élégantes. J'ai hâte de les lire.

Merci Jamo.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Jamo.
y = x+1
Théorème de Ménélaüs
sécante (C-G-N) dans le triangle AMI : CI/CA * GM/GI * NA/NM = 1
sécante (C-G-N) dans le triangle JAB : CJ/CB * GA/GJ * NB/NA = 1
les premières fractions des produits égalent 1/2
les deuxièmes fractions sont égales selon le théorème de Thalès (la droite des milieux [IJ] est parallèle à [AC]
donc NA/NM = NB/NA
Attribuons l'unité de longueur à AB et posons x' = 1/x et y' = 1/y
ainsi x' = AM et y' = AN
NM/NA = NA/NB
NM/(NA+NM) = NA/(NA+NB)
NM/AM = NA/AB
(x'-y')/x' = y'
1 - y'/x' = y'
y' + y'/x' = 1
y' * (1 + 1/x') = 1
y' = 1 / (1 + 1/x')
passage aux inverses : y = 1 + 1/x' = 1+x

Posté par veleda veleda

bonjour Jamo

je trouvey=x+1
par une méthode vectorielle banale qui je l'espère m'a donné la bonne réponse

merci pour cet énigmo et bonne journée

Posté par pallpall pallpall

Bonjour jamo,

j'ai utilisé la géométrie analytique en prenant le repère R : (;;).

Puis j'ai déterminé les coordonnées de points dans ce repère : A(0;0) , B(1;0) , C(0;1) , I(0;1/2) , J(1/2;1/2) , M(1/x;0) et N(1/y;0).

Avec ces coordonnées, j'ai déterminé les équations des droites (IM) et (AJ) pour trouver les coordonnées de G : G(1/(x+2);1/(x+2)).

Enfin, j'ai calculé l'équation de la droite (CG), qui me donne, avec son intersection avec l'axe des abscisses du repère R, l'abscisse du point N : 1/(x+1).

Conclusion : y=x+1

Posté par Pierre_D Pierre_D

Réponse : y=x+1

Thalès et encore Thalès ; on appelle le point d'intersection de avec :

1)

2)

3) et comme , il vient immédiatement :

d'où la réponse.

Posté par Francois86 Francois86

y=x+1

Je me penche sur une démo maintenant ^^

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo

ma réponse:  

    

par définition:

  

  


(IJ) (AB)

I est le milieu de [AC]

J est le milieu de [BC]

(IJ) est la droite des milieux

    

E est aussi le milieu de [CN]

    

    

Thalès dans triangle JGI et AGM

    

   or on sait que:
    
    

    

   donc:

    

    

    

Thalès dans triangle JGE et AGN

    

   d'après la relation précédente:

    

       

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

y = x+1 (amusant )

Merci pour l'énigmo.  

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour,

Je propose y = x + 1

Bonne journée

Posté par Labo Labo

Bonjour Jamo,
y=x+1
dans le repère (A,AB,AC)
équation de (IM)
Y=-0,5xX+0,5
équation de (AJ)
Y=X
coordonnées de G

équation de (CG)
Y=-(x+1)X+1
abscisse de N
0=-(x+1)X+1

y=x+1

Posté par miley19 miley19

triangle équilatéral

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour,

Voici ma réponse :

On a : y = x + 1.

Démonstration : J'ai choisi la méthode analytique, je pense qu'une méthode géométrique plus jolie existe !

On se place dans le repère (A,AB,AC). Je change les notations, j'écris que AM = AB/a et AN = AB/b.
On a :

A(0,0)  B(1,0)  C(0,1)  I(0,1/2)  J(1/2,1/2)  M(1/a,0)  N(1/b,0)

On calcule dans l'ordre :

Equation de la droite (AJ) : y = x
Equation de la droite (IM) : y = (-a/2)x + 1/2
Coordonnées du point G intersection de (AJ) et (IM) : G(1/(2+a),1/(2+a))
Equation de la droite (CG) : y = -(a+1)x + 1
Coordonnées du point N intersection de (AJ) et (AB) : N(1/(a+1),0)

Conclusion : 1/b = 1/(a+1) c'est-à-dire b = a+1.

Voilà merci !

Posté par technostar2008 technostar2008

salut tout le monde,
je propose comme solution: y=x+1et voici la démonstartion biévement:
en utilisant la Théoreme de Thalés on obtient:
K=(IJ)(NC)
IJ/AM=JK/NM
or, IJ/AM=AB/2AM et JK/NM=AN/2NM
AB/AM=AN/NM=x
et puisque N[AM] alors
_+x=
_=x/x+1=1/x+1
d'ou
y=x+1
j'espére que cé la bonne
et merci jamo pour cette enigme

Posté par integral integral

Bonsoir jamo
Je trouve y=x+1.
Merci pour cette belle énigme.

Posté par ptitjean ptitjean

Bonjour,

Je trouve que y=x+1

J'ai utilisé une méthode analytique dans le repère
Pour éviter la confusion dans les paramètres, je remplace le x défini dans l'énoncé par
donc   est tel que AM=AB/
Les coordonnées des points A, B, C, I, J sont évidentes dans ce repère.
Les coordonnées de M sont (0,1/ )

Les droites (AJ) et (MI) ont respectivement pour équation y=x et y=-2x/ +1/
L'intersection des deux droites G a donc pour coordonnées ( 1/(+2) ; 1/(+2) )

On en déduit l'équation de (CG) : y=-x/(+1)+1/(+1) et ainsi les coordonnées de N (0 ; 1/(+1) )

D'où au final la relation AN=AB/(+1)

Merci pour l'énigme
Ptitjean

Posté par shrike shrike

Bonjour,

Merci pour cette petite énigme.

Le plan est muni d'un repère (A;B,C).





Donc : (1)


1) On a donc : A(0;0) ; B(1;0) ; C(0;1) ; M(x;0) ; I(0;1/2) ; J(1/2;1/2).

2) On en déduit alors l'équation des droites (AJ) et (IM).





3) Détermination de G.



On a donc le point : G(x/(2x+1);x/(2x+1)).


4) On en déduit l'équation de la droite (CG).









L'équation de (CG) est donc : .


5) Détermination de N.



On a donc le point : N(x/(x+1);0).

6) Conclusion :









Finalement, d'après (1) :



En espérant ne pas m'être trompé...

Posté par Supernick Supernick

En utilisant thalès + barycentres je trouve y = x+1 ?

Posté par Supernick Supernick

Désolé de pas avoir pris les mêmes lettres que dans l'énoncé lol
On a évidemment I = Bar(B,1, C,1)
On a d'après le théorème de Thalès
DG/GA = ED/AF = x/2


Ainsi G = Bar(I,2 A,x) = Bar(A,x B,1 C,1) = Bar(H,(1+x) C,1) (les droites (AD) et (HC) sont concourantes en G)
et H = Bar(A,x B,1)
On a alors

D'où

Et on a directement le résultat en divisant par 1+x

Posté par Rainbow14 Rainbow14

y=x+1

voili voilou, très interessant comme recherche, merci pour l'enigmo

Posté par Jun Jun

Bonjour jamo,

Je note x=b (pour ne pas confondre avec ce x et l'abscisse x dans ma seconde idée) ainsi j'ai AM=1/b*AB

La première idée que j'ai eu en tête était de trouver géométriquement le coefficiant de colinéarité pour les vecteurs AN et AM; ainsi j'aurai AN=k*AM (vecteur) puis AN=k'*AB avec k'=1/b*k mais je n'ai pas réussi; donc j'ai eu l'idée de repère.

Soit le repère (A;AB(vecteur);AC(vecteur)
donc A(0;0); B(1;0); C(0;1); I(0;1/2); J(1/2;1/2) et M(1/b;0)

Le but est de trouver les coordonnées du point N

(IM):y= -b/2*x + 1/2

(AJ):y=x

(AJ) et (IM) se coupent en G
y=y
-b/2*x+1/2=x
xG=1/(b+2) (Il faut que b-2 donc acceptable car b >1)

yG=1/(b+2) donc les coordonnées de G sont (1/(b+2);1/(b+2))

(CG):y=(-b-1)x+1
(AB): y=0

N est le point d'intersection de (CG) avec (AB)
y=y
(-b-1)x+1=0
xN=1/(b+1)
yN=0 donc N(1/(b+1);0)

Or b>1; donc AN(vecteur)=1/(b+1)*AB(vecteur) et AN=1/(b+1)*AB

Par hypothèse, on a: AN=AB*1/y
donc y=b+1

Je serai aussi partant pour une énigme de géométrie dans l'espace

Merci jamo pour l'énigme

Posté par Jun Jun

Une petite erreur de frappe:

'' La première idée que j'ai eu en tête était de trouver géométriquement le coefficiant de colinéarité pour les vecteurs AN et AM; ainsi j'aurai AN=k*AM (vecteur) puis AN=k'*AB avec k'=k/b mais je n'ai pas réussi; donc j'ai eu l'idée de repère. ''

Posté par Petro_Junior Petro_Junior

Bonjour jamo,

Je trouve y=x+1

Merci

Posté par dhalte dhalte

Bonjour

y=1+x

Bonne vieille méthode analytique
repère
(pour ne pas confondre le x de et ceux des équations)
(pour ne pas confondre le y de et ceux des équations)

droite (AJ) d'équation
droite (IM) d'équation
Point G intersection de (AJ) et (IM), de coordonnées
droite (CG) d'équation

donc vérifie

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Bonjour,

y=x+1

Merci

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je trouve y=x+1

par contre pour la méthode j'ai tout passé en coordonnées ce qui fait des calculs a rallonge (surtout pour calculer les équations de droite) mais j'espère qu'il y a une méthode plus simple.
Avec les coordonnées ca donne:


De là on en déduit que

d'où y=x+1

Posté par frenicle frenicle

Bonjour,

Une démonstration projective "à l'ancienne" pour cet Enigmo :

La correspondance entre le point M et le point N est telle que :
- à tout point M correspond un seul point N
- réciproquement à tout point N correspond un seul point M.
Elle est donc bijective.
Comme on n'utilise que des droites pour construire le point N, cette correspondance est algébrique : c'est donc une homographie.

Il en est donc de même pour la relation entre x et y.

Regardons l'image de trois points particuliers : A, B et le point à l'infini.
- pour M = A, N = A  : x = et y = ,
- pour M = B, N est le milieu de AB : x = 1 et y = 2 (G est le centre de gravité)
- pour M à l'infini, N = B puisque IJ et AB sont parallèles : x = 0 et y = 1.

On n'a plus qu'à écrire l'égalité des birapports :

(x,,1,0) = (y, , 2, 1)

Ce qui donne (x - 1)/x = (y - 2)/(y - 1)
ou
y = x + 1

Merci Jamo pour cette amusante énigme.

Posté par Noflah Noflah

Bonjour à tous,

Bon je ne suis pas sur du tout, mais je me lance :
Je trouve y=1+x.

Je propose la démonstration suivante :

Suivant les notations de l'énoncé, j'applique Thalès dans l'ensemble de point I,J,G,A,M :
   JG/AG = IG/GM = IJ/AM = (1/2*AB)/(AB/x) = x/2
puis dans l'ensemble C I T A N où T est l'intersection de (IJ) et (CG) :
   IT/AN = CI/AC = 1/2  donc IT = AN/2
enfin dans l'ensemble J T G A N :
   JT/AN = JG / AG = x/2 (d'après la première étape) donc JT = AN*x/2

Enfin IT+JT = 1/2 * AB et IT+JT = AN/2 + AN * x/2 d'où en posant AN=AB/y le résultat y=1+x

Posté par bc92 bc92

Bonjour

Réponse : y=x+1

Preuve: Si Jamo a choisi de définir M apr AM = AB/x et N par AN = AB/y, alors qu'intuitivement on aurait tendance à choisir AM = x' AB et AN = y' AB, il y a une raison car Jamo est très logique. La relation entre x et y est donc plus simple que celle entre 1/x et 1/y, à tel point qu'on peut conjecturer y = ax + b.
Deux expériences donnent alors :
x = 1 (M en B) ==> y = 2 (N milieu de AB, les médianes)
x tend vers +oo (M en A) ==> y tend vers +oo (N en A)
d'où a+b=2 et a=1 et finalement y=x+1
D'accord ce raisonnement n'est pas très mathématique  

J'avoue donc avoir fait les calculs, du genre IG = IM et trouver en exprimant que AGAJ = 0 (alignement de A, G, J). la suite dans le même esprit.

Bruno

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

Ma réponse : y=x+1

Rapide démonstration:
J'appelle K le point d'intersection de (IJ) et (CG).

1) droite des milieux dans ABC => (IJ)//(AB)
2) réciproque droite des milieux dans ANC => IK=AN/2
3) thalès dans le papillon AJKN => AN/KJ=GN/GK
4) thalès dans la papillon IMNK => MN/IK=GN/GK
5) donc d'après (3) et (4) => AN/KJ=MN/IK avec KJ=IJ-IK et MN=AM-AN
6) on remplace tout en fonction de AB, x et y puis on simplifie et on obtient la réponse y=x+1

@+

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

Sauf erreur y=x+1 (bizarre mais bon )

Merci pour l'énigme

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

en effet, la bonne réponse est tout "simplement" : y = x + 1

Pas mal d'approches différentes ont été employées, entre celles purement géométriques et d'autres analytiques.

Ainsi, le jour où vous rencontrerez par exemple un segment découpé en 7, vous saurez maintenant le découper en 8 morceaux. Utile, non ?

Posté par plumemeteore plumemeteore

Pauvre Ménélaûs tombé dans l'oubli

Posté par veleda veleda

bonjour,
>>Plumemeteore
je ne l'ai pas  oublié , il était très à la mode en 46-47 quand je passais mon bac et j'ai passé des heures sur ces problèmes de géométrie "dite élémentaire"cela m'a du reste servi quelques années plus tard à l'oral de l'agreg car il était toujours à la mode
cependant pour cet énigmo j'ai fait une démonstration vectorielle qui me semblait plus simple