Enigmo 188 : Nombres presque carrés

Posté par afraise888 afraise888

bonjour, voila ma réponse:

1680
57120
1940448


1680+1=1681
la racine de 1681 est 41
la moitié de 1680 est 840, j'ajoute 1 est j'obtiens 841
la racine de 841 est 29

57120+1=57121
la racine de 57121 est 239
la moitié de 57120 est 28560, j'ajoute 1 est j'obtiens 28561
la racine de 28561 est 169

1940448+1=1940449
la racine de 1940449 est 1393
la moitié de 1940448 est 970224, j'ajoute 1 est j'obtiens 970225
la racine de 970225 est 985

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Bonjour,

1680; 57120; 1 940 448 sont les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.

Posté par pierrecarre pierrecarre

Bonjour !

Voici les trois nombres qui suivent 48 et qui possèdent des propriétés semblables : 1680, 57120 et 332928.

Cordialement,

r².

Posté par gablesmath gablesmath

Bien voila, il suffisait de mettre cela dans Excel (ou tout tableur automatique), ca ne me tentait pas de me rendre si haut par moi-même : en fait il suffit de tabler 2 colonnes : les X="racine de (2n^2-1)" et les Y="2*(racine de (2n^2-1)^2-1)". Pour chaque X naturel, on a la réponse Y.

Donc il en falait 3 , les voici: 1680, 57120, 1940448.

rac(1681)= 41 (carré parfait), rac(841)=29 (carré parfait)
rac(57121)=239 (carré parfait), rac(28561)=169 (carré parfait)
rac(1940449)=1393 (carré parfait), rac(970225)=985 (vous l'aurez deviner, carré parfait)

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je trouve
1680
57120
1940448

Posté par Noflah Noflah

Ma réponse à l'énigme :
j'ai trouvé (après le 48) :

1680

57120

1940448

et même : 65918160

Il y en a surement de plus grands encore, mais au delà de 2^30, et CamL refuse de s'y aventurer (je le comprend).

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

Pour moi, il n'y en a que 2 autres : 1680 et 57120

Posté par a-b a-b

1680
57120
1940448

Posté par armand2012 armand2012

1680
1680+1=1681=41²
840+1=29²

57120

57120+1=239²
57120/2+1=28560+1=169²

et je crois que j'arrete la

Posté par infophile infophile

Bonsoir

On cherche entier tel que et par soustraction on a l'équation diophantienne classique .

Les solutions entières se déterminent par récurrence :

avec .

Il existe donc une infinité de solutions ! Voici les 3 (allez même 4 pour le fun) suivants 48 :

1680, 57 120, 1 940 448, 65 918 160, ...

Complément : on peut montrer que

D'ailleurs historiquement ce fut une des innombrables méthodes pour approximer le nombre

Posté par Victimofweb Victimofweb

Bonjour,
Les 3 entiers supérieurs à 48 vérifiant vos conditions sont 1680,57120 et 1 940 448.
+

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

Les nombres sont : 1680, 57120, 1940448.

Merci pour l'énigme

Posté par Plop Plop

Les trois plus petits sont : 2, 4 et 12.
En effet, et ; et ; et .

Posté par rdces rdces

Les trois entiers naturels vérifiant ton égalité sont:

1680: 1681=41² et 841=29²

57120: 57121=239² et 28561=169²

1940448: 1940449=1393² et 970225=985²

Posté par loan loan

1680
57120
ensuite il n'en existe pas en dessous d'un million...

Posté par xtreboul xtreboul

Bonjour JAMO!

Ma proposition

les  3 nombres demandés sont:

1)---> n = 1.680
2)---> n = 57.120
3)---> n = 1.940.448

Commentaires:

On doit avoir n+1=p² et n/2+1=q² , p et q etant des entiers naturels
........n.............p.........q
      1 680          41         29
     57 120         239        169
  1 940 448       1 393        985

Elements de solutions :
Utiliser l'arithmetique general et modulaire (les congruence)
On montre que:
* n est pair
* p et q sont premiers entre eux;
* p est élément de {10k+1; 10k+3; 10k+7; 10k+9 avec k element de IN}
* q est élément de {10k; 10k+1; 10k+4; 10k+5; 10k+6; 10k+9 avec k element de IN}
* n est élément de {10k; 10k+8 avec k element de IN}
....et maintenant à chacun son chemin....

Posté par Rmx Rmx

Bonjour à tous, et merci pour l'énigme!

Sous mathematica:
n = 5; While[n < 40000, If[IntegerQ[Sqrt[2 n^2 - 1]] == True, Print[2 n^2 - 2],]; n++]

et pouf...  les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés sont:
  1680
  57120
  1940448
il en existe cependant d'autres,
  (
  65918160
  2239277040
  76069501248
  ... (les temps de calculs augmentent vite)
)

Posté par xtreboul xtreboul

Salut JAMO!

C'etait plus fort que moi!
Permets moi d'ajouter le dessert:

les  3 nombres demandés sont:

1)---> N1 = 1.680
2)---> N2 = 57.120
3)---> N3 = 1.940.448

et après ca ?:

4)---> N4 = 65.918.160 = 8.119²-1 = 2(5.741²-1)
5)---> N5 = 2.239.277.040 = 47.321²-1 = 2(33.461²-1)
6)---> N6 = 76.069.501.248 = 275.807²-1 = 2(195.025²-1)

Commentaires:

La suite Nk+1/Nk converge-t-elle vers un réel lamda? (lamda (environ)= 33,97?)
Question ouverte !

Posté par ptitjean ptitjean

Bonjour,

J'espère que dans ma précipitation, je n'en ai pas oublié un au passage
Je trouve les nombres 1 680, 57 120 et 1 940 448

Merci
Ptitjean

Posté par Niwet Niwet

Nous trouvons (ce sont les plus petits verifiant l'enoncé):

1680 1681 841

En effet 1681 = 41²
841=29²


Sinon une autre solution pour montrer qu'elle n'est pas unique est:
57120  57121 28561

avec 239² =  57121
169 ² = 28561

Je crois que 1940448 1940449 970225  marche aussi

Posté par 13or 13or

1 680
57 120
1 940 448

Posté par lightwave lightwave

Bonjour,

Voici ma proposition pour cette énigme :

2 solutions : 1680 et 57120.

Posté par LeFou LeFou

Bonjour jamo, et merci pour cette énigme.

Avec une méthode "barbare" j'ai finit par trouver ces trois entiers ...

Réponse:

- 1680
- 57 120
- 1 940 448


J'espère ne pas m'être trompé ou en avoir oublié au passage.
Une chose est sûre: ceux-ci marchent.

Début de ma démarche:



Et

Ensuite:
        

Ce qui me donne un équation du second degré, que j'ai choisit de mettre en :

Qui m'a donnée une valeur de en fonction de k .
Puis ensuite j'ai cherché longtemps avec ma calculette.(1h au moins)

Posté par mimimi88 mimimi88

Bonjour, alors moi j'ai trouvé 41, 239 et 577 pour les trois premiers supérieurs à 48.
Très bonne éngime en passant =)

Posté par myself myself

très brutalement (en essayant tous les carrés en fait) :

1680,57120,1940448

Posté par jver jver

1 680
57 120
1 940 448

Posté par Guguss Guguss

Bonjour,
Les 3 nombres entiers qui vérifient ces mêmes proriétés sont :
1680
19600
57120

Posté par le_chat le_chat

J'en trouve 3 :
1680:1680+1=41² et 1680/2+1=29²
57120:57120+1=239² et 57120/2+1=169²
1940448:1940448+1=1393² et 1940448/2+1=985²

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Les 3 nombres suivants vérifiant les données du problème sont :

1680
57120
1940448

Posté par Plop Plop

Ah ah, je me suis trompé royalement... Je tiens à féliciter tous ceux qui, s'ils n'ont pas trouvé tous les nombres, ont au moins eu le mérite de savoir lire l'énoncé !

Posté par Louisa59 Louisa59

Bonsoir

jamo, pourquoi y en a qui n'ont ni un ou un

Posté par jamo jamo

lièvre59 >> en effet, c'est bizarre, j'avais oublié d'en noter certains, c'est corrigé maintenant.

Posté par xtreboul xtreboul

Salut!

Au theoricien avertis!!!

les  3 nombres demandés par JAMO etaient:

1)---> N1 = 1.680
2)---> N2 = 57.120
3)---> N3 = 1.940.448

et après on trouve les autres autres suivants :

4)---> N4 = 65.918.160 = 8.119²-1 = 2(5.741²-1)
5)---> N5 = 2.239.277.040 = 47.321²-1 = 2(33.461²-1)
6)---> N6 = 76.069.501.248 = 275.807²-1 = 2(195.025²-1)

QUESTIONS!

* La suite Nk est elle infinie?
* Si oui, la suite Nk+1/Nk converge-t-elle vers un réel lamda? (lamda (environ)= 33,97?)

Question ouverte !
J'espère que quelqu'un vaudrait bien se prononcer sur la question!
Bien à vous!

Posté par xtreboul xtreboul

salut!
Ah j'avais pas tout lu!
Infophile a apporté des reponses a mes questions dans sa reponse!