Enigmo 188 : Nombres presque carrés

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Prenons le nombre 48 :
- si j'ajoute 1, j'obtiens 49, qui est un carré parfait (carré d'un entier) ;
- si j'ajoute 1 à sa moitié, j'obtiens 25, qui est aussi un carré parfait.

Question : trouver les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.

Si vous pensez qu'il n'en existe pas d'autre, alors répondez "pas d'autres solution".
Et si vous pensez qu'il n'en existe qu'un seul ou deux autres, alors donnez le(s).

Bonne recherche !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'ai trouvé 1680, 57120 et 1940448.

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

Je propose :
1680
57120
1940448

Joyeuses Pâques !

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

Après 48, les trois premières solutions sont :

1680
57120
1940448

Merci pour l'énigme .

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
je propose 1680, 57120 et 1940448.

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
1680
57120
1940448
Merci pour l'enigme

Posté par geo3 geo3

Bonjour
les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés sont
1680  , 57.120 et 1.940.448  
il doit y en avoir d'autres par ex. 65.918.160 et 2.239.277.040
A+

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

au-delà du nombre 48 proposé dans l'exemple,

les 3 plus petits nombres qui répondent aux critères de recherche sont:

1680       avec 1680 + 1 = 41² et 1680/2+1 = 29²

57120      avec 57120 +1 = 239² et 57120/2+1 = 169²

1940448    avec 1940448 + 1= 1393² et 1940448/2 + 1 = 985²

Bien à vous

Posté par akub-bkub akub-bkub

Slt à tous

Je propose :

1 680
57 120
1 940 448

Merci pour l'énigmo.

Bien à vous tous.

Posté par pacou pacou

Bonjour Jamo

Les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 dont les successeurs et les successeurs de leurs moitiés sont des carrés parfaits sont:

son successeur 1681 est le carré de 41, sa moitié est 840 et le successeur de sa moitié 841 est le carré de 29

son successeur 57121 est le carré de 239, sa moitié est 28560 et le successeur de sa moitié 28561 est le carré de 169

  son successeur 1940449 est le carré de 1393, sa moitié est 970224 et le successeur de sa moitié 970225 est le carré de 985

Posté par lo5707 lo5707

bonjour,

je n'en trouve que 2 (en tout cas, inférieurs à 1300000) :

1680 et 57120

merci pour cette enigme

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
1680, 57120, 1940448

Posté par hhh86 hhh86

Je propose
1680
57120
1940448

Une idée de démonstration ci-dessous :


Une petite équation de Pell Fermat à résoudre dans IN: 2a²-1=b²
On remarque que si (a;b) est solution alors (3a+2b;4a+3b) est solution.
Un petit raisonnement par l'absurde suivit d'un raisonnement par récurrence permet de montrer que l'ensemble de ces couples est le seul ensemble solution avec (1;1) comme plus petit élément
On obtient donc les couples solutions suivant :
(29 ;41)
(169 ;239)
(985 ;1393)

Ainsi les nombres cherchés sont :
1680
57120
1940448
Sauf erreur de ma part

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

1680
57120
1940448
---------------
65918160
Merci pour l'énigmo.

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voici ma réponse :

Les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces deux propriétés sont : 1 680, 57 120 et 1 940 448.

Merci !

Posté par Jun Jun

Bonjour jamo,

Vraiment très belle énigme, j'ai du passer un temps sérieux avant de savoir la réponse...

Soit n le nombre presque carré
Il faut que:
n+1=a^2
n/2+1=b^2 (système 1)

avec a et b des entiers

D'après cela, je déduis en plus, qu'il faut que n soit un entier pair (et supérieur á 48); a et b impaire (avec a^2 et b^2 impaire)

Du système 1, j'ai aboutit á:
1/2 n =a^2-b^2
3/2n + 2=a^2 + b^2 (système 2)

Du système 2, j'ai aboutit á:
a^2-b^2=-1
a^2=2*b^2-1

De la je ne savais plus quoi faire, donc j'ai eu l'idée d'utiliser Excel en inserrant la suite Un tel que Un=V(2n^2-1) pour n impaire; et j'ai relevé les 3 résultats (sans compter le 7) tel que le nombre Un est un entier.

J'ai trouvé donc: a1=41 pour b1=29; a2=239 pour b2=169; a3=1393 pour b3=985

Pour trouve n; j'ai utilisé: n=a^2-1
donc n1=1680; n2=57120; n3=1 940 448 sont les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.

Merci jamo pour l'enigme

Posté par dpi dpi

Bonjour
Effectivement il y a trés peu de candidats après 48
1680  (41/29)  
57120  (239/169 )
1940448 (1393/985 )

Posté par rapido307 rapido307

Il existe trois autres nombres supérieurs à 48 qui sont:
- 1 680
- 57 120
- 1 940 448

Posté par sudoku43 sudoku43

Coucou,

Voici ma réponse:

1680
57120
1940448

Bonne soirée (heu nuit).

Posté par dagwa dagwa

Bonjour,

je propose 1 680, 57 120 et 1 940 448.

On a 1 681=41² et 841=1 680/2+1=29², 57 121=239² et 28 561=57 120/2+1=169², 1 940 449=1393² et 970 225=1 940 448/2+1=985².

Posté par evariste evariste

1 680 ; 57 120 ; 1 940 448

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour Jamo

Je pense que les suivants sont :

1680 ; 57120 et 1940448

MM

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

Les trois nombres sont :

1680
57120
1940448

Posté par Ugreno Ugreno

Bonjour Jamo,

Je propose:

1680
57120
1940448

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour Jamo

les trois nombres:   1680 , 57120 , 1940448

1680 + 1 = 1681 = 41²
1680/2 + 1 = 841 = 29²

57120 + 1 = 57121 = 239²
57120/2 + 1 = 28561 = 169²

1940448 + 1 = 1940449 = 1393²
1940448/2 + 1 =  970225 = 985²

Posté par veleda veleda

bonjour Jamo,

je m'aperçois que suis  en retard
voici mes réponses:
les nombres cherchés sont



merci pour cet énigmo

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour

Je propose les trois nombres suivants:

1680
57120
1940448

Joyeuses Pâques à tous

Posté par Labo Labo

Bonjour,
1 680;
57 120;
1 940 448

1 681=41²
841=29²
57 121=239²
28 561=169²
1 940 449=1393²
970 225=985²

Posté par pallpall pallpall

Bonjour Jamo,

je te propose les trois nombres suivants :

1680
57120
1940448

En espéeant avoir donné la réponse juste...
Encore merci pour cette nouvelle énigme.

P.

Posté par -greg- -greg-

Bonsoir,
Il s'agit des nombres suivants :

1680
19600
57120

Voilà,

-greg-

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

La réponse: 1 680, 57 120 et 194 0448.

Posté par gloubi gloubi

Re-

1 940 448 est plus clair.
_{Portant j'avais fait un aperçu avnt de poster}

Posté par gloubi gloubi

* Pourtant

Posté par jcdusud jcdusud

Bonjour
Avec un peu de calcul formel et un tableur excel voici ma réponse obtenue en une dizaine de minutes:
couple (a,b) tel que a=racine(2b2-1)
1680  (couple 41,29)
57120 (couple 239,169)
1940448 (couple 1393,985)

Posté par carpissimo carpissimo

Bonjour,
Voici les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient les mêmes propriétés que l'exemple:
1 680
57 120
1 940 448
Et pour le fun les 2 qui suivent :
65 918 160
2 239 277 040

En espérant ne pas m'être trompé

@++

Posté par valou140 valou140

pas d'autre solution

Posté par Rainbow14 Rainbow14

Bonjour,

voici les trois plus petits entiers naturels strictements supérieurs à 48 qui vérifie les conditions de l'énoncé,

1680
57120
1940448

si quelqu'un n'a pas compri je peu lui passer une feuille excel avec l'algorithme de résolution

Bonne journée

Posté par torio torio

nb1  :  1680
nb2  :  57120
nb3  :  1940448


A+
Torio

Posté par carpediem carpediem

salut

les 3 entiers suivants sont:

1680
57120
65918160

pénible quand on n'a pas de langage de programmation....

Posté par Jun Jun

Bonjour jamo,

Je trouve 1680; 57120; et 1 940 448

Merci

Posté par Petro_Junior Petro_Junior

Bonjour jamo,

C' est moi Jun (j' ai change recemment d' account car mon pseudo dans l' ile des maths, et celui dans l'ile physique, dans mon ancien e-mail, sont differents et c' est interdit de changer le pseudo, donc j'ai du changer mon account et mon e-mail pour avoir un nouveau pseudo commun aux 2 iles (et sur le meme e-mail) ... Je voulais participer aux enigmes avec le nouveau account vu que j'ai passer plus qu' une demi-heure dans certaines pour trouver la solution; mais sans faire attention j' avais ouvert l' account ''Jun'' au lieu de ''Petro_Junior'' en envoyant ma solution, donc je vous prie de m'excuser pour ce petit accident ...

Donc je trouve (ou j' avais trouve plutot) n1=1680; n2=57120; n3=1 940 448

Merci, et desole encore pour mon comportement precedent !

Posté par jolenul jolenul

bonjour
je trouve  1 680, 57 120 et 1 940 448 mais  !!!
en tout cas merci.

Posté par plip plip

Bonjour

1680
57120
1940448

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Je trouve les 3 nombres suivants :
1680
57120
1940448

J'ai remarqué que la somme des deux racines parfaites était égale à la différence des deux racines suivantes.
pour 48, on a 5+7=12
pour 1680, on 41-29=12

et ainsi de suite...
Je ne l'ai pas démontré mais je l'ai utilisé pour trouver 57120 et 1940448.
Cela donne une équation du 2nd degré.
Avec cette méthode, le nombre suivant serait 65918160, et ainsi de suite...
Le rapport de deux nombres consécutifs tend vers 1154 . Mais là non plus, je n'ai rien démontré, et n'ai fait que le constater.

A+, KiKo21

Posté par ladiiie ladiiie

Bonjour Jamo, pour cette première énigme je propose comme nombre : 57120 et 1680  car

57121 = 239²
57121/2 + 1 = 28561 = 169²
1681 = 41²
1680/2+1 = 841 = 29²

Posté par mimit73 mimit73

Les nombres trouvés sont:

1680
57120
1940448

Posté par sanantonio312 sanantonio312

Bonjour,
Je propose:
1680 (1681=41² et 841=29²)
57120 (57121=239² et 28561=169²)
1940448 (1940449=1393² et 970225=985²)

Posté par Pierre_D Pierre_D

Les tois nombres sont :
1 680
57 120
1 940 448

Posté par Leonegres Leonegres

Bonjour,

Pour ma part, je n'ai trouver que le nombre 1680.

Cordialement.

Posté par ace ace

Je crois qu'il n'y a pas d'autres solutions.