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suites

Posté par
gabrielle05 04-04-10 à 17:12

Bonjour a tous... Voici le sujet sur lequel je cale un peu et le mot est faible!

On définit les suites (Un) et (Vn) par U0=3, V0=5 et pour tout entier naturel n,Un+1=(2unvn)/(un+vn) et vn+1=(un+vn)/2

1- Montrez que les termes des suites (Un) et (Vn)  sont strictement positifs.

2-Vérifier que , pour tout entier naturel n, vn+1-un+1=(vn-un)2/(2(un+vn))

3- Pour tout entier naturel n , on pose wn=vn-un

     A-Montrez que pour tout n,0wn+1(1/2)wn. (indication: (vn-un)/(vn+un)=1-(2un)/(vn+un)
        
     B-En déduire ,par récurrence, que pour tout entier naturel n,0 wn(1/2)n-1
4-Démontrez que les suites (un)et(vn) sont adjacentes: Que peut on en déduire?

5-A l'aide de la suite (unvn), déterminez la limite commune des suites(un)et (vn).

Posté par
Leonegresre : suites 04-04-10 à 17:15

Bonjour,

Où est-ce que tu cales ?

Léo

Posté par
devilflo05suites 10-04-10 à 12:18

bonjour voici mon exercice:

On definit (un) et (vn) par u0=3, v0=5 et pour tout entier naturel n un+1= (2unvn)/(un+vn) et vn+1= (un+vn)/2

   1) Montrer que les termes des suites (un) et (vn) sont strictement positifs.

   2) Vérifier que, pour tout entier naturel n, vn+1-un+1=(vn-un)²/(2(un+vn)

   3) Pour tout entier n, on pose wn = vn-un

      a) Montrer que, pour tout n , 0wn+11/2wn. ( indication : (vn-un)(vn+un)=1-2un/(vn+un) )

      b) En déduire, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0wn(1/2)n-1

   4) Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes : que peut-on en déduire ?

   5) A l'aide de la suite (unvn), déterminer la limite commune des suites (un) et (vn)

merci d'avance

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 13:15

il y a quelqu'un

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 13:32

I need some help

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 13:45

Bonjour,

1) peut se montrer facilement par récurrence

2) Pars du membre de gauche. Remplace u(n+1) et v(n+1) par leurs expressions, et continue les calculs.

Nicolas

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 13:58

pour la 2) je trouve ((un+vn)²-4unvn)/2(un+vn) et je n'arrive pas à simplifier plus

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 14:00

Développe (un+vn)². Simplifie le numérateur. Reconnais une identité remarquable.

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 14:35

ok merci j'ai trouvé

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 14:36

pour la 3 je n'est aucune idée de comment procéder

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 14:44

3)a) L'indication me semble fausse.
Ce n'est pas plutôt (vn-un)/(vn+un) dans le membre de gauche ?

*** message déplacé ***

Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 14:47

si c'est ça désolé

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 14:52

As-tu réussi à démontrer l'indication ?

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 15:04

non

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 15:06

Es-tu sûr de chercher ?
Je ne vois en effet pas trop la difficulté : c'est une simple mise au même dénominateur.
3$1-\frac{2u_n}{v_n+u_n}=\frac{v_n+u_n-2u_n}{v_n+u_n}=\frac{v_n-u_n}{v_n+u_n}

*** message déplacé ***

Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 15:07

je suis parti de l'autre membre , ça doit etre pour ça

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 15:09

Ensuite, pour montrer que 3$\fbox{0\le w_{n+1}}, je ne vois pas non plus la difficulté.

En effet, par définition :
3$w_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}

Puis on utilise la question 2 :
3$w_{n+1}=\frac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)}
qui est le rapport de deux nombres positifs, d'où le résultat.

*** message déplacé ***

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 15:13

Montrons 3$\fbox{w_{n+1}\le\frac{1}{2}w_n}

3$w_{n+1} = v_{n+1}-u_{n+1} = \frac{(v_n-u_n)^2}{2(u_n+v_n)} = (v_n-u_n)\times\frac{v_n-u_n}{2(u_n+v_n)} = w_n\times\frac{v_n-u_n}{2(u_n+v_n)} = w_n\times\frac{1}{2}\times\frac{v_n-u_n}{u_n+v_n}

On utilise l'indication :
3$w_{n+1} = w_n\times\frac{1}{2}\times\left(1-\frac{2u_n}{v_n+u_n}\right)

Or 3$\frac{2u_n}{v_n+u_n}\ge 0 (puisque rapport de nombres positifs)

Donc... je te laisse conclure.

*** message déplacé ***

Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 15:19

pour w(n+1)0 c'est bon mais pour

w(n+1)(1/2)wn je ne vois pas comment faire

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 15:23

As-tu lu mon message précédent ?

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 15:41

maintenant oui ^^

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Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 15:53

et pour la b) on montre que 0w0(1/2)-1  et après ..?

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 15:54

Si tu as montré cela, tu as montré l'initialisation de la récurrence. Reste à démontrer l'hérédité...

*** message déplacé ***

Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 16:14

donc il faut démontrer que 0wn+1(1/2)n... et je n'y arrive pas

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Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 16:30

Montre-moi proprement comment tu as démontré l'initialisation, et je t'aiderai pour l'hérédité.

*** message déplacé ***

Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 16:54

w0=2 donc

0w02

d'ou la propriété et vrai au rang n=0

supposons que 0wn(1/2)n-1et montrons que 0wn+11/2)n et apres je bloque

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 17:04

Tu sais pourtant que 3$w_{n+1}\le\frac{1}{2}w_n
Utilise alors l'hypothèse de récurrence.

Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 17:58

j'y arrive pas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 10-04-10 à 18:01

Je t'ai pourtant tout dit.
On a montré que 3$w_{n+1}\le\frac{1}{2}w_n
On utilise l'hypothèse de récurrence 3$w_n\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
On aboutit à :
3$w_{n+1}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
3$w_{n+1}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
N'est-ce pas ce qu'il fallait démontrer ?

Posté par
devilflo05re : suites 10-04-10 à 18:08

si...

Posté par
devilflo05re : suites 11-04-10 à 10:23

quelqu'un pour la 4) ?

j'en suis à montrer que un est croissante et vn décroissante (ou l'inverse)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 11-04-10 à 14:15


Tu as pourtant vu en cours la méthode suivante : examiner le signe de u_{n+1}-u_n

Ici :
u_{n+1}-u_n = \frac{2u_nv_n}{u_n+v_n}-u_n
u_{n+1}-u_n = \frac{2u_nv_n-u_n(u_n+v_n)}{u_n+v_n}
u_{n+1}-u_n = \frac{u_n(v_n-u_n)}{u_n+v_n}
dont le signe est connu

Posté par
devilflo05re : suites 11-04-10 à 17:21

svp!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 11-04-10 à 17:38

Quel est ton problème ? Je t'ai presque tout dit dans mon message précédent. Pose des questions précises.

Posté par
devilflo05re : suites 11-04-10 à 17:40

c'est pour la 5) il faut determiner la limite de unvn ?

Posté par
devilflo05re : suites 11-04-10 à 17:46

mais on a ni l'expression de un ni de vn

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 11-04-10 à 18:40

Avant de traiter 5) : qu'as-tu conclu en 4) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 11-04-10 à 18:58

Puis, pour 5), multiplie u(n+1) par v(n+1) pour obtenir l'expression de u(n+1).v(n+1) en fonction de u(n).v(n).
En déduire quelque chose sur (u(n).v(n)) et sa valeur.


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