logo

Courbe de Bézier


premièreCourbe de Bézier

#msg2971531#msg2971531 Posté le 07-04-10 à 14:45
Posté par ProfilxAmel xAmel

Bonjour excusez moi de vous déranger mais j' ai un DM pour les vacances et je ne comprend absolument rien ! Avant de poster un nouveau topic, j' ai cherché si il n' existait pas, il y en a des similaires mais impossible à comprendre.

Mon DM portait sur une construction géogebra :
1) CONSTRUCTION
Dans l' ordre j' ai fait cela :
- construit 3 points A  B et c
- créée une variable t dans l' intervalle [0,1]
- créée les barycentres
G=bar((A,1-t),(B,t)) ,
H=bar((B,1-t),(C,t))
et M=bar((G,1-t),(H,t))
- créée les segment [AB], [BC] et [GH]
- puis j' ai fait varier t dans l' intervalle [0,1]

Ensuite, on me demande une conjecture. En classe, nous avons donné cette conjecture :
Il semble que ce soit un bout de parabole

2) DÉMONSTRATION DANS UN CAS PARTICULIER

a ) déplacer les 3 points de départs tel que  A(-3/2,0) , B(-1/2,16) et C(1/2,0)
b) conjecturer une équation de la courbe obtenue
c) déterminer les coordonnées de M en fonction de t puis vérifier la conjecture
d) déterminer le rôle des droites (AB) et (BC)


Je vais essayer de joindre quelque étape de ma construction

Je suis désolé de balancer ca comme cela mais vraiment je suis perdu je comprend pas du tout.
Je vous remercie vraiment beaucoup si vous pouvez m' accorder un peu de votre temps pour m' aider si ca dérange personne.
re : Courbe de Bézier #msg2972719#msg2972719 Posté le 07-04-10 à 22:38
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Bonsoir,

Il faut commencer par écrire les coordonnées de G et H.
xG=-(3/2)(1-t)-t/2
yG=16t
xH=-(1/2)(1-t)+t/2
yH=16(1-t)

Une fois ces expressions simplifiées, on écrit les coordonnées de M
xM=(1-t)xG+txH
yM=(1-t)yG+tyxH

En développant, on trouve l'équation d'une parabole.
Publicité

re : Courbe de Bézier #msg2974354#msg2974354 Posté le 08-04-10 à 20:36
Posté par ProfilxAmel xAmel

Vraiment désolé j' avais pas vu que quelqu' un m' avais répondu je suis nouvelle j' ai encore du mal. Merci de m' avoir répondu, je vais étudier ce que vous m' avez envoyé et je vous redit si je trouve la solution. Merci beaucoup en tout cas
re : Courbe de Bézier #msg2975550#msg2975550 Posté le 09-04-10 à 17:19
Posté par ProfilxAmel xAmel

Bonjour . Je suis débordé de devoirs je viens de faire ce que vous m' avez indiquer , j' ai  simplifié les coordonnées de G et H, mais je sais pas si j' ai bon, car lorsque, par exemple il y avait 16 en facteur, j' ai développé .. au final j' ai :
xG=-3/2 + t
yG= 16t
xH=t/2
yH=16 - t

donc les coordonnées de M donne :
x M = (1-t)(-3/2+t) + t(t/2)
    = -3/2 + t  + 3t/2 -t²  + t²/2
    = -3/2 + 2t/2 + 3t/2 - 2t²/2 + t²/2
    =-3/2 +5t/2 - t²/2

y M = (1-t)16t + t(16-t)
    = 16t - 16t² + 16 - t²
    = 16t - 17t² + 16

Voilà ! J' ai bon déjà ?
Ensuite pour trouver l' equation il faut que je résolve ( je ne sais pas si ca ce dit ainsi .. ) une equation a 2 inconnues..

y=ax+b
16t-17t²+16 = a(  -3/2 + 5t / 2 - t² / 2 ) + b

Hmm .. je bloque
re : Courbe de Bézier #msg2975729#msg2975729 Posté le 09-04-10 à 18:58
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Personnellement, j'ai trouvé xH=t-1/2 et yH=16(1-t)
re : Courbe de Bézier #msg2976008#msg2976008 Posté le 09-04-10 à 20:46
Posté par ProfilxAmel xAmel

Oui en effet  je trouve -1/2 + t donc c 'est bon. Je refais les calculs.
Mais en faite, comment avec les coordonnées ont peut trouver l' equation ?
re : Courbe de Bézier #msg2976010#msg2976010 Posté le 09-04-10 à 20:48
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

En exprimant t en fonction de xM, on peut ensuite trouver une relation entre xM et yM
re : Courbe de Bézier #msg2976016#msg2976016 Posté le 09-04-10 à 20:53
Posté par ProfilxAmel xAmel

J' ai calculé les coordonnées de M ce qui me donne
xM = -3/2 + 4t/2
yM = 32t-32t² ( étrange non ? )
re : Courbe de Bézier #msg2976020#msg2976020 Posté le 09-04-10 à 20:56
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

J'ai trouvé la même chose

Il reste à écrire t=(xM+3/2)/2 et à le remplacer dans l'expression de yM

Ensuite, il faut transformer l'équation pour faire apparaitre l'équation d'une parabole sous la forme y=ax²+b
re : Courbe de Bézier #msg2976026#msg2976026 Posté le 09-04-10 à 20:59
Posté par ProfilxAmel xAmel

Un système en fait?
Je le fais =)
re : Courbe de Bézier #msg2976036#msg2976036 Posté le 09-04-10 à 21:07
Posté par ProfilxAmel xAmel

Voilà, alors je trouve t = (2xM + 3 )  /  4
et donc yM = 32((2xM + 3) / 4 )  -  32 ((2xM + 3) / 4)²

Je suis ennuyeuse mais je n' arrive pas à developper pour yM
re : Courbe de Bézier #msg2976039#msg2976039 Posté le 09-04-10 à 21:09
Posté par ProfilxAmel xAmel

le carré me dérange
re : Courbe de Bézier #msg2976042#msg2976042 Posté le 09-04-10 à 21:12
Posté par ProfilxAmel xAmel

Je dois me tromper je trouve un résultat énorme !!
yM = (256xM + 672 - 128 xM ² )   /  16
re : Courbe de Bézier #msg2976049#msg2976049 Posté le 09-04-10 à 21:25
Posté par ProfilxAmel xAmel

Dsl si je vous ennuie je comprendrai j' ai un peu de mal avec les maths..
re : Courbe de Bézier #msg2976490#msg2976490 Posté le 10-04-10 à 12:29
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Bonjour,

Tu ne m'ennuies pas, rassure-toi
J'ai dû m'absenter hier soir.

Voici ce que j'ai trouvé
3$t=\frac{x_M+\frac{3}{2}}{2}
3$y_M=32t(1-t)=16(x_M+\frac{3}{2})(\frac{1}{4}-\frac{x_M}{2})
3$y_M=8(-x_M^2-x_M+\frac{3}{4})=-8(x_M^2+x_M-\frac{3}{4})=-8((x_M+\frac{1}{2})^2-1)

Finalement, on obtient 3$y_M=-8(x_M+\frac{1}{2})^2+8

Il s'agit bien d'une parabole de sommet (-1/2;8) et tournée vers le bas.
re : Courbe de Bézier #msg2976640#msg2976640 Posté le 10-04-10 à 14:20
Posté par ProfilxAmel xAmel

Pour t, je trouve pareil sauf que ensuite j' ai multiplié par l' inverse, mais bon ce n' etait pas necessaire.
Pourquoi 32t(1-t) on ne le developpe pas en 32t-32t²? ce n' est pas plus simple ?
re : Courbe de Bézier #msg2976648#msg2976648 Posté le 10-04-10 à 14:23
Posté par ProfilxAmel xAmel

je ne comprend pas cette partie la : (1/4 - xM/2 ) ? ni la suite d' ailleurs . Je vais essayer de comprendre
re : Courbe de Bézier #msg2977351#msg2977351 Posté le 10-04-10 à 19:31
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Je n'ai pas développé 32t(1-t) parce que les calculs sont plus compliqués que si on remplace directement t et 1-t par leurs expressions en fonction de xM

3$t=\frac{x_M+\frac{3}{2}}{2}
donc 3$1-t=1-\frac{x_M+\frac{3}{2}}{2}=1-\frac{3}{4}-\frac{x_M}{2}=\frac{1}{4}-\frac{x_M}{2}
re : Courbe de Bézier #msg2977876#msg2977876 Posté le 11-04-10 à 11:26
Posté par ProfilxAmel xAmel

Ahh d' accord !! Je comprenais pas ! Merci beaucoup. Donc la on a prouver la question 3 ? Je vais essayer de tout refaire toute seule sans regarder le forum !
Merci énormement énormement !
re : Courbe de Bézier #msg2977888#msg2977888 Posté le 11-04-10 à 11:32
Posté par ProfilxAmel xAmel

Ensuite il faut prouver que (AB) et (BC) sont des tangentes. Je vais essayer, il faut utiliser les dérivés je pense. Je vais essayer toute seule je vous dis si je n' y arrive pas , enfin si cela ne vous dérange psa ?
re : Courbe de Bézier #msg2978079#msg2978079 Posté le 11-04-10 à 13:15
Posté par ProfilxAmel xAmel

En développant l' equation, je suis arrivée à une equation du seconde degré : -8x²-8x + 6
Je vais déterminer sa dérivée
re : Courbe de Bézier #msg2978084#msg2978084 Posté le 11-04-10 à 13:17
Posté par ProfilxAmel xAmel

f(x)=-8x²-8x+6 >> f'(x) = -8(2x)-8 = -16x-8 .
Je ne sais pas ce que je dois en faire ...
re : Courbe de Bézier #msg2978109#msg2978109 Posté le 11-04-10 à 13:32
Posté par ProfilxAmel xAmel

Je pense que vous vous êtes trompé... la parabole est tournée vers le haut plutôt non ? Et comment savez vous que le sommet est au point  (-1/2;8) ?
re : Courbe de Bézier #msg2978118#msg2978118 Posté le 11-04-10 à 13:39
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Bonjour xAmel,

Non, il n'y a pas d'erreur (voir la courbe ci-dessous).

A partir de f'(x), on peut écrire les équations des tangentes aux points A et C grâce à la formule (à connaitre par coeur) y=f'(a)(x-a)+f(a) où a représente l'abscisse du point où s'applique la tangente.

Une fois que tu auras déterminé les équations des tangentes en A et en C, il faut montrer que B appartient à ces deux droites.

Courbe de Bézier
re : Courbe de Bézier #msg2978132#msg2978132 Posté le 11-04-10 à 13:46
Posté par ProfilxAmel xAmel

ah oui en effet j' avais celle ci je pensais que tournée vers le bas voulais dire l' inverse ! Merci !
Je vais étudier ce que vous m' avez dit !
1000 mercis !!
re : Courbe de Bézier #msg2978142#msg2978142 Posté le 11-04-10 à 13:50
Posté par ProfilxAmel xAmel

Juste une simple question, a c' est - 3/2 et 1/2 ? on a pas besoin de le démontrer ?
et pourriez vous me dire comment avez vous détemriner le point du sommet de la parabole ? Juste pour moi, pour que je le sache pour une prochaine fois ?
re : Courbe de Bézier #msg2978168#msg2978168 Posté le 11-04-10 à 14:00
Posté par ProfilxAmel xAmel

Voilà, l' equation de la tangente en A est : y = 16x + 24
       "           "            " en B est : y = -16x + 8

Ensuite je dois faire : 16 = 16 * -1/2 + 24
                        16 = -16 * -1/2 + 8  ?
re : Courbe de Bézier #msg2978177#msg2978177 Posté le 11-04-10 à 14:05
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Oui c'est bien ça
re : Courbe de Bézier #msg2978199#msg2978199 Posté le 11-04-10 à 14:18
Posté par ProfilxAmel xAmel

Merci ! et en faisant sa sa prouve que AB et BC sont tangentes à la parabole ?
re : Courbe de Bézier #msg2978208#msg2978208 Posté le 11-04-10 à 14:20
Posté par ProfilxAmel xAmel

les deux donne une équaiton nulle
re : Courbe de Bézier #msg2978216#msg2978216 Posté le 11-04-10 à 14:23
Posté par ProfilxAmel xAmel

donnent*
re : Courbe de Bézier #msg2978309#msg2978309 Posté le 11-04-10 à 14:55
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Plutôt que d'arriver à 0=0, il vaut mieux remplacer x par -1/2 dans chaque équation et trouver que y=16, ce qui permet de dire que le point B(-1/2;16) appartient à chacune des 2 droites.

Puisque A appartient déjà à la tangente en A (par définition), le fait de montrer que B appartient aussi à cette tangente montre que la droite (AB) est la tangente (puisqu'une droite est définie par 2 points).
Pareil pour (BC)
re : Courbe de Bézier #msg2978318#msg2978318 Posté le 11-04-10 à 14:57
Posté par ProfilxAmel xAmel

d' accord !! Donc finalement c' est tout ?
re : Courbe de Bézier #msg2978331#msg2978331 Posté le 11-04-10 à 15:01
Posté par Profilgodefroy_lehardi godefroy_lehardi Posteur d'énigmes

Oui, c'est fini. Tu peux aller profiter du beau temps (j'espère qu'il y en a chez toi).
Moi, c'est ce que je vais faire.

Bon dimanche !
re : Courbe de Bézier #msg2978335#msg2978335 Posté le 11-04-10 à 15:02
Posté par ProfilxAmel xAmel

Oui il fait vraiment beau !
Merci énormement !! Vous savez pas à quel point vous m' enlevez un poid ! Merci de m' avoir accorder de votre temps !

Bonne journée à la prochaine et merci

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * barycentres en première
    2 fiches de mathématiques sur "barycentres" en première disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014