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demonstration Espérance et variance loi exponentielle


btsdemonstration Espérance et variance loi exponentielle

#msg2974784#msg2974784 Posté le 08-04-10 à 23:18
Posté par Profiljojo59 jojo59

bonjour,

je dois refaire la démonstration détaillée du calcul de l'espérance (E(X)=1/)et de la variance (V(X)=1/2 d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle mais je bloque sur le développement. Pourriez-vous me conseiller/me guider ?
f(x) = exp-x


J'ai démarré sur l'espérance:
par défaut E(X)= -+ x f(x) dx = 0+ x e-xdx
je vais procéder avec une IPP en posant:
u(x)=x et v'(x)= e-x. Alors u'(x)=1 et v(x)=-1/e-x.
Ainsi en appliquant la formule de l'IPP on obtient:
E(X)=0+ x . e-x = ([x . -1/e-x]0+ - 0+ 1 . -1/e-x dx)

on réordonne et on réalise un changement de signe:
E(X)= ([-1/x . e-x]0+ + 0+ 1/e-x dx)

On s'occupe du développement de la première partie de l'équation:
E(X)= ([(-1/ . e-) - (-1/0 . e-0)] + 0+ 1/e-x dx)

ce qui revient à:
E(X) = ([(-1/x . e-x) - (0)] + 0+ 1/e-x dx)


on s'occupe maintenant de la partie de droite de l'équation:
E(X)= ([(-1/x . e-x)] + 1/[(e-)-(e-0)])
E(X) = ([(-1/x . e-x)] + 1/[(e-)-(1)])
E(X)= ([(-1/x . e-x)] + [(1/e-x)-(1/)])

On allège un peu l'écriture, ce qui donne:

E(X) = (-1/x . e-x + 1/e-x - 1/)

à partir de là je ne vois pas comment aboutir à E(X) = 1/, une erreur en amont ?

La variance se démontre avec une double IPP, mais je ne suis pas encore à cette étape ...

Merci pour vos précieux conseils,

jo
re : demonstration Espérance et variance loi exponentielle#msg2974803#msg2974803 Posté le 08-04-10 à 23:26
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

bonsoir

quand tu intègres de 0 à l'infini... comment peux-tu encore avoir de "x" dans ton résultat ?????
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re : demonstration Espérance et variance loi exponentielle#msg2975349#msg2975349 Posté le 09-04-10 à 15:01
Posté par Profiljojo59 jojo59

Bonjour,

merci MatheuxMatou pour ta question.

Effectivement, j'ai retransformé des en x pour obtenir une équation en x à résoudre...

Si je reprends ici le raisonnement sans la transformation:
E(X) = ([(-1/..e-)-(-1/.0.e0)] + 1/ 0e-xdx)

comme la lim x-x.ex=0 (à l'infini l'exponentielle de x l'emporte sur les puissnaces de x) et e0=1 alors:
E(X) = ([(-1/.0)-(-1/.0.1)] + 1/ 0e-xdx)
E(X) = ([(0)-(0)] + 1/ 0e-xdx)

On s'occupe alors de deuxième partie de l'équation:
E(X) = ([(0)-(0)] + 1/[(e-)-(e-0)])
E(X) = ([(0)-(0)] + 1/[(0)-(1)])
E(X) = (1/[-(1)])
E(X) = (-1/)
E(X) = -1

Je suis encore loin du E(X)=1/.

Merci pour ton aide,

Laurent
re : demonstration Espérance et variance loi exponentielle#msg2975463#msg2975463 Posté le 09-04-10 à 16:36
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

quand tu primitives exp(-L.x) dans la première ligne de la dernière série de calculs, cela ne te donne pas exp(-L.x) mais (-1/L).exp(-L.x) et donc entre crochets ce n'est pas [-(1)] mais [(1/L)]

d'où le résultat !

MM
fin#msg2977608#msg2977608 Posté le 10-04-10 à 22:42
Posté par Profiljojo59 jojo59

bonsoir,

Effectivement !
Ce résultat est ensuite réutilisé pour le calcul de V(X).

Merci,

jo

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