Exercice avec homothétie et lieu géométrique

Posté par wigo wigo

Bonjour,

Après avoir passé un bon moment à chercher la réponse (ou une piste de réponse) pour cet exercice... l'échéance de la rentrée se rapproche.
Voici l'exercice:

Soient A, B et C trois poins du plans tels que =3/2 (A et B distincts). est une droite passant par A distincte de (AB) et non perpendiculaire à (AB). Soient B' et C' les projetés orthogonaux de B et C sur la droite . Soit I le point d'intersection des droites (BC') et (B'C).
1) Soit h l'homothétie de centre I qui transforme B en C'. Déterminer l'image du point B' et calculer le rapport de h. Déterminer le nombre réel a tel que =a.
2) Déterminer le lieu géométrique L1 du point C' puis le lieu géométrique L2 du point I quand varie.
3) Donner les éléments remarquables de L1 et de L2 et faire une figure dans le cas où AB=10cm

Pour la première question j'ai calculer les rapports avec ma règle mais je ne pense pas que ce soit la bonne méthode.
Merci de votre aide
Wigo

Posté par pgeod pgeod


1/ h transforme B en C'
h transforme la droite (BB') en une droite // qui passe par C'
donc h transforme la droite (BB') en (CC')
or B', I et C alignés donc h transforme B' en C.

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Posté par wigo wigo

Merci mais c'est pratiquement ce que j'ai trouvé.
Mon problème vient pour calculer le rapport k ainsi que la détermination des lieux géométriques.

Merci

Posté par pgeod pgeod

donc si c'est ce que tu as déjà fait, la suite est évidente..

k = CC'/ BB' que l'on détermine avec Thalès.

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Posté par wigo wigo

Oui mais pour le déterminer je mesure à l'aide de ma règle ou bien je me sers de la question 3) où AB = 10 ?

Posté par pgeod pgeod


tu te sers du débit de l'énoncé et de ta figure :
AC = 3/2 AB et du rapport de Thales dans ABB' et ACC'

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Posté par wigo wigo

Ok merci bcp
En revenche c'est la première fois que je vois lieux géométrique. C'est comme un ensemble de points ?

Posté par pgeod pgeod

tout à fait.

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Posté par wigo wigo

Bonjour,

Voila je n'ai toujours pas trouvé... je ne parviens ni à trouver le réel "k" ni les lieux géométriques.

Une dernière aide sur ce sujet me serait très utile !
Merci

Posté par pgeod pgeod


k = CC'/ BB'

Thalès : CC'/BB' = AC'/AB' = AC/AB .. et tu connais AC/AB

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Posté par wigo wigo

Ah oui, j'aurai du le voir... Merci.
Pour les lieux géométriques j'ai essayé en traçant la droite perpendiculaire passant par A en me disant que de toute façon il se trouve dans cette partie là comme il s'agit de projeté orthogonaux. En revanche j'ai essayé avec des arcs de cercles je ne trouve rien qui marche.

Merci encore.

Posté par pgeod pgeod


2) Déterminer le lieu géométrique L1 du point C'

indication : le triangle ACC' est toujours rectangle en C'.

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Posté par wigo wigo

Est-ce que cette idée est bonne :
comme le triangle est rectangle, puis-je avec un produit scalaire nul démontrer le lieu ?
Je reconnais que je n'ai pas vraiment d'autres idées..

Posté par pgeod pgeod


C' est l'angle droit d'un triangle rectangle d'hypothénus [AC]
ce triangle est inscrit dans le cercle de diamètre [AC]

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Posté par wigo wigo

Ahhhhhh, le point C' décrit le cercle circonscrit du triangle ABB' lorsque delta varie ?!
Et du coup L2 du point I quand delta varie correspond à une droite non ? Je ne vois pas comment ça pourrait être un cercle.

Posté par pgeod pgeod


ok pour L1 : cercle de diamètre [AC] privé des points A et B.

pour L2 :
IC'  = -3/2 IB  (en vecteurs)
<=> IB + BC' = -3/2 IB
<=> BC' = 5/2 BI
<=> BI = 2/5 BC'
........ homothétie de centre B et de rapport 2/5
........ et une homothétie transforme un cercle en un cercle

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Posté par pgeod pgeod


petite corection :

ok pour L1 : cercle de diamètre [AC] privé des points A et C.

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Posté par wigo wigo

D'accord mais soit O le centre du cercle circonscrit. Celui-ci devrait être transformé en un autre point par cette homothétie ?

Posté par pgeod pgeod


pour L1 : cercle de diamètre [AC] privé des points A et B.
le centre O est le milieu de [AC].

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Posté par wigo wigo

Alors l'homothétie transforme O en O' qui se situe au milieu du segment [AI] ?

Posté par pgeod pgeod


le centre O est le milieu de [AC] et pas de [AI].
Je ne comprends pas ton interrogation.

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Posté par wigo wigo

Je pensais que si l'on trace le segment [AI] et que l'on place un point O' en son milieu que celui-ci soit le centre du cercle décrivant L2.

Posté par pgeod pgeod


l'image du centre O du cercle L1 qui est milieu de [AC]
est le point O' tel que BO' = 2/5 BO (en vecteurs)
O' est le centre du cercle L2.

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Posté par wigo wigo

Je viens d'essayé sur ma figure de placer O' au 2/5 de BO. Ça ne marche pas.

Posté par pgeod pgeod

si, pourtant.

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Posté par wigo wigo

En conservant le même rayon non. Ma figure doit avoir des erreurs. Je la refais et je vous dis ce que ça donne

Posté par wigo wigo

Question bête, quel est le rayon pour le cercle de centre O' ?

Posté par wigo wigo

Merci beaucoup pour votre aide
En principe je réussi plutôt bien en maths mais je crois que je suis plus dans les fonctions que dans la géométrie.
A bientôt, merci.

Posté par pgeod pgeod

Je résume :

L1 : cercle de centre O milieu de [AC] et de rayon AC/2
L2 : cercle de centre O' tel que BO' = 2/5 BO et de rayon 2/5 * AC/2

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