puissance d un point par rapport à un cercle==>bambi06

Posté par bambi06 (invité)

Soit M un point du plan extérieur à un cercle (C) de centre O et de rayon R.
Deux droites passant par M sont sécantes à (C) en A et B pour l'une, C et D pour l'autre.

1.Démontrer que les triangles AMD et BMC sont semblables.
  En déduire: MA x MB = MC x MD.

2.La droite (MO) est sécante à (C) en E et F.
  Montrer l'égalité: ME x MF = MO²-OE².

3.On pose: OM = d.
  Déduire des questions précédentes que le produit MA x MB ne dépend pas de la sécante choisie, et qu'il est égal à d²-R².

Le réel d²-R² est appelé puissance du point M par rapport au cercle (C).

4.La droite (MT) est tangente en T au cercle (C).
  Montrer l'égalité: MA x MB = MT².

5.Utiliser l'égalité précédente pour prouver que les triangles MAT et MTB sont semblables.

6.Montrer que les angles ABT et ATM ont la même mesure.

Posté par mme-irma (invité)

1) AMD = BMC et ABC = ADC par cocyclicité donc comme les angles d'un triangles font 180° tu as BCM = DAM ;les triangles AMD et BMC sont semblables.
et comme ils sont semblables tu as DC/AB = DM/BM=MA/MC d'ou la reponse
2)ME*MF=(MO-OE)*(MO+OF)=(MO-OE)*(MO+OE)=MO²-OE² grace a une identité remarquable
3)en remplacant dans 1) c et D par E et F(puisque c t vrai pour toutes droites passant par M et coupant le cercle et 2 points) tu obtient MA*MB=ME*MF et 2) te donne MA*MB=MO²-OE² donc MA*MB=d²-R²et donc ne depend pas de la secante choisie
4)MA*MB=d²-R² et grace a pythagore dans MTO tu obtient MT²=d²-R² donc MA*MB=MT²
5)la question4) donne MA/MT=MT/MB et tu as AMT=BMT donc les traingles sont semblables
6)Comme MAT et MTB sont semblables, les angles de l'un sont egaux aux angles de l'autre et comme BMT=AMT et ATM = MBT ou BTM la seconde solution n'est pas possible car BTM=BTA+ATM > ATM donc ATM= MBT=ABT

Posté par bambi06 (invité)

bonjour a tt ceux qui vont bien vouloir m'aider!

bon voila le probleme c'est que je n'ai pas compris exacrement toute les demarche que mme-irma a utiliser donc si quelqu'un pourrait m'aider en detaillant un peu plus ou au moin en m'expliquant ca serait cool parce que c'est pour mardi!!

merci a tout le monde

Posté par bambi06 (invité)

aidez moi svp

Posté par rolands (invité)

Bonjour Bambi06,
Quand on ne comprend pas bien une réponse on pose une question précise,sinon,tu perds ton temps ... et tu n'as pas de réponse.
Personne ne peut répondre à une question que tu ne poses pas!
Bonne journée.