Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e)

Posté par jamo jamo

Bonjour tout le monde,

vous savez tous que lorsqu'on lance un objet, sa trajectoire est parabolique, et il faut un angle de 45° pour que le projectile aille le plus loin possible.

Depuis une autre énigme (ici : ), vous savez aussi qu'il faut un angle de 56,5° pour que la longueur de la trajectoire soit la plus longue possible.

Aujourd'hui, Jamo ne manque pas d'air et vous propose encore une variante de ce problème où il est question d'aire !

L'action se situe sur un sol horizontal, et on tire un projectile au niveau du sol avec une vitesse initiale de 20 m/s. On prendra g=10 N/kg, et on néglige les frottements.

Question : déterminer l'aire maximale sous la courbe (en vert sur la figure ci-dessous) ainsi que la valeur de l'angle de lancer correspondant.

Il y a donc deux valeurs à donner :

1. la valeur de l'angle (par rapport à l'horizontal), en degrés, avec une précision au centième si nécessaire ;

2. la valeur de l'aire, en m², avec une précision au centième si nécessaire.

Et pour les plus courageux, mais c'est optionnel, vous pourrez vous amuser à déterminer les valeurs exactes ...

Bonne recherche !

Posté par dagwa dagwa

Bonjour,

je propose un angle de 30° pour une aire de soit environ .

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

Je propose un angle de 60° et une aire maximale de 346,41 m²

Posté par Nofutur2 Nofutur2

1. Je trouve 60°
2. Je trouve 346,41 m²

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Jamo,

Je trouve =60,00°  et  A=346,41 m² .

Quelques calculs me conduisent (sauf erreur) à A=80²/6*sin³*cos . D'où pour le maximum =/3 et A=2003

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
Alors je propose pour cette enigme, un angle de 60° et une aire de 346,41m².

Posté par Noflah Noflah

Bonjour Jamo,

Je me suis lancé dans la résolution exacte :

On part de la seconde loi de Newton, on intègre deux fois sans oublier les conditions initiales et on trouve l'équation de la trajectoire en fonction de alpha :

y(x) =  x*tan(alpha)-(1/2)*g*x^2/(v0^2*cos(alpha)^2)

On trouve la valeur x0 pour laquelle l'objet touche le sol (on élimine bien sur la solution x=0) :

x0 = 2*tan(alpha)*v0^2*cos(alpha)^2/g

On définit alors la fonction aire A(alpha) :

A(alpha) = int(y(x), x = 0 .. x0) = 2/3 * sin(alpha)^3 * cos(alpha) * v0^4 /g^2

On cherche alors le maximum (donc un extremum) de cette fonction de alpha -> on dérive. Bon là j'ai fait appel à maple, pas envie de dériver ça à la main :

A'(alpha) = 2*tan(alpha)^2*v0^4*cos(alpha)^4*(1+tan(alpha)^2)/g^2-(8/3)*tan(alpha)^3*v0^4*cos(alpha)^3*sin(alpha)/g^2

On demande à maple de résoudre A' = 0, il trouve les valeurs de alpha suivante : 0, (1/2)*Pi, (2/3)*Pi, (1/3)*Pi
On élimine 0 et Pi/2 car ce sont des minimums et non des maximums (mais c'est tout de même rassurant de retrouver les résultats intuitifs : si tu lance ton objet à la verticale ou à l'horizontale l'aire balayée est nulle).
Enfin 2*Pi/3 et Pi/3 sont une même valeur, cela dépend de si tu as lancé ton objet vers la gauche ou vers la droite, conformément au dessin proposé dans l'énoncé, je ne retiendrait donc que la valeur :

alpha = 60 degrés


On trouve alors A(Pi/3)=(1/8)*sqrt(3)*v0^4/g   ce qui avec les valeurs de l'énoncé de v0 et g donne :

Aire balayée : 200*sqrt(3) 346,41 m²


Merci pour l'énigme,
A bientot.

Posté par tzypon tzypon

Bonjour,

ma réponse : S = 173.21 m² pour un angle de 60,00°


formule exacte :

Le maximum est atteint quand est max.

soit
Or 0
en simplifiant, on arrive à :
cos()=1/2

Posté par integral integral

Bonjour jamo
Je trouve un angle de 30 degrés exactement, ce qui donne une aire de 346.41 m².
Merci pour l'énigme

Posté par integral integral

Mille excuses, je voulais écrire un angle de 60 degrés et une aire de 346.41 m².

Posté par geo3 geo3

Bonjour
l'angle = 60°
et l'aire = 346,41
A+

Posté par fizzz fizzz

ne faudrait il pas trouver d'abord l'équation de la droite (-1/2gt²+V+C_ste)
pour l'angle ne faudrait il pas trouver le coefficient de la tangente a l'origine de la courbe puis grace a la tan^-1du coefficient on determine langle ou pour avoir l'aire directement on calcule l'integrale de la fonction.....


c'est ce que je pense....

Posté par xtreboul xtreboul

Salut JAMO et tous les Amis!

Ma proposition:

* L'angle alpha = 60 degré soit pi/3 en radian (valeur exacte de alpha)
* La surface maximale = 346,410 m²
-----------------------------------
Element de solution:

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

1: 60,00°
2: 346,41 m
Merci pour l'enigmo.

Posté par torio torio

il faut un angle de 60°
qui donne une aire de 346,41 m2

A+
Torio

Posté par dpi dpi

Bonjour,
Je trouve que l'aire maximale sera obtenue avec un angle de 60°  et sera de 32 475 ,95 m2

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour

Je dirais que l'angle vaut environ 46,06° et que l'aire vaut environ 598,63 m²

MM

Posté par infophile infophile

Bonjour,

Fais à la va vite donc certainement faux :

Je trouve un angle de 60° et une aire correspondante soit m².

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

Mes réponses :
arrondies
1. 60°
2. 346,42 m²

exactes :
1. 60°
2. m²

Démonstration :
Les énigmes précédentes ont permis d'établir l'équation de la courbe trajectoire :

donc ici
et la portée
donc ici

Il s'agit alors de calculer l'aire par intégration de 0 à L :

on obtient

Il ne "reste" plus qu'à étudier les variations de sur

SSI ( EXCLU)
ou

°

et alors A(60°)=346,42m²

Posté par tanatonaute tanatonaute

selon mes calculs préliminaires et qui n'engagent que moi:

teta= 0.7137 rad cad 40.89°
aire=316.69 m²

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

Merci pour cete énigme qui renouvelle bien le genre .

Sauf erreur, l'angle optimal est de 60°.
Et la surface maximale est alors de 346,41 m².

Pour trouver ces résultats, un artilleur aurait procédé comme suit...
La hauteur de la parabole est donnée par H = sin²(alpha).V²/2g
La portée du projectile est donnée par P = 2X = 2.sin(2.alpha).V²/2g
L'aire de la parabole est de 2/3 de celle du rectangle qui la contient, donc A = (2/3).P.H = (2/3).sin²(alpha).V²/2g.2.sin(2.alpha).V²/2g

En posant H* = Hauteur max = V²/2g, et sin(alpha)=s, cos(alpha)=c :
On obtient :  A = (8/3)H*².cos(alpha).sin3(alpha)

En prenant le carré et en posant sin(alpha)=s :
(1-s²).s6 = s6 - s8, se dérive en 6s5 - 8s7, qui s'annule pour s²=3/4.

D'où l'angle exact de 60° (sin=racine(3)/2 et cos=1/2).
La hauteur maximale H*=20m.
La hauteur exacte de la parabole H=15m.
Et l'aire exacte de la parabole :
A = H*².racine(3)/2
A = (V²/2g)².racine(3)/2
A = 200.racine(3).

Posté par Labo Labo

Bonjour Jamo,
angle de tir 60° (valeur exacte)
aire =2003 m²346,4102 m² au cm² près
sauf erreur

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour,

Je propose :

angle = 60°
Aire = 2003 = 346,41 m²

Encore merci pour toutes ces chouettes énigmes

Bonne journée

Posté par Rumbafan Rumbafan

Rebonjour,

Détail des calculs :

Trajectoire :

x(t) = V₀ cos t
y(t) = V₀ sin t - (g t²)/2

X_max pour y=0  ==> t₁ = (2 V₀ sin)/g

X_max = V₀² sin(2) / g

Y_max en X_max / 2  ==> en t₁ / 2 = (V₀ sin)/g

Ymax = V₀² sin²() / (2 g)

Aire = 2/3 Xmax Ymax
     = (V₀⁴ sin(2) sin²())/(3 g²)


Pour maximiser cette aire il faut = 60°

L'aire vaut alors : A = V₀⁴ 3  / (8 g²)

Comme V0 = 20 m/s ==> Aire max = 2003



Bonne journée

Posté par dagwa dagwa

Je viens de me rendre compte que si le reste de mes calculs sont justes l'angle vaut 60° et non 30°.

Posté par hhh86 hhh86

si je ne me suis pas trompé,
l'angle : 60°
l'aire 200sqrt(3) m², c'est-à-dire 346,41 m²

Posté par Rainbow14 Rainbow14

Vraiment tordu, je peut vous dire que j'en ai chié des ronds de chapeau avec mon niveau de première S ^^

angle : 60°
Aire : 346,410 m

Merci pour l'enigmo Jamo !

Bonne soirée à tous.

Posté par germi germi

1) PFD
2) Utilisation de Green-Riemann
3) Résolution numérique

Je trouve, sauf erreur :    angle  = 1.05 radians soit  60.00 degrés

Posté par germi germi

Je ne sais pas comment mais mon message est parti avec que je puisse donner l'aire.
Aire maximale = 1037.50 m^2

Posté par castoriginal castoriginal

Bonsoir,

considérons la figure ci-dessous:


l'équation de la parabole de tir OAB est y=(tg)*x- g* x²/2(v cos )²
en remplaçant v par 20m/s et g par 10m/s²
on obtient l'équation  y = (tg)*x - x²/80 (cos )². La dérivée vaut y'= tg-2x/80 (cos )².
Cette dérivée annulée donne les coordonnées du sommet A de la parabole: on trouve tg= x/40(cos )²
soit x(A)= 40*sin*cos et y(A)=20*(sin)².
Le point B a pour coordonnées y(B)=0 et x(B)= 80 sincos
Archimède a montré que l'aire sous la parabole vaut 4/3 aire du triangle OAB
soit S(parabole) = 4/3*x(A)*y(A)  soit 4/3*800*(sin)³*cos = 3200/3*(sin)³*cos
La valeur exacte est donnée par l'intégrale S=y*dx sur l'intervalle 0-x(B)   soit S= tgx²/2 - x³/(3*80 (cos)²) où l'on remplace x par la valeur de x(B) le résultat est S=1066,6666...*(sin)³*cos
En utilisant un tableur,on fait varier pour obtenir la valeur de l'aire maximale sous la parabole S(max) =346,4101615 m² arrondi à
S =346,41m²  pour une valeur de l'angle  = 60°00
La différence entre le calcul de l'aire par la méthode d'Archimède et par  le calcul de l'intégrale est négligeable.

Amitiés, bien à vous

Posté par bil-out bil-out

alpha = 60° pour une aire de 588 897,275 m²

mais est ce que le calcul de cette aire peut avoir une utilité concrete ?

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je trouve 60° pour l'angle et une aire sous la courbe de 13856406 cm² soit 1385,6406 m²

Posté par rdces rdces

angle: 79.59°
aire: 346.41 m²
Merci pour cette énigme qui allie à la fois physique (pour l'obtention de lequation de la parabole) mathématique (pour obtenir l'équation reliant l'aire à l'angle) et informatique (pour trouver la valeur de l'angle pour que l'aire soit maximale)

Posté par efpe efpe

L'aire de la trajectoire est donnée par
A() = sin³()*cos()*Vo⁴ / (6.g²)

Une petite étude de fonction conduit à :

Aire maximale : 503  m² soit 86,60 m²
atteinte pour : = 60°


ce n'est pas si courageux de calculer les valeurs exactes puisque c'est à partir d'elles qu'on trouve les valeurs approchées ... ou alors le problème est plus compliqué que ce que j'ai fait ^^

Posté par timouni timouni

L'équation de la trajectoire est:
f(x)= (-g/(2vo²cos²)).x²+(tan).x
f(x)=0 pour x=0 ou x=(vo²sin2)/g
Aire=₀^(vo²sin2)/gf(x)dx
A()=((2vo⁴)/(3g²)).sin³.cos
on sait que 0/2
Sur cet intervalle,étudions la variation de A:
A est croissante pour 0/3 et A est décroissante pour/3/2
L'aire est donc maximale pour =/3 rad, c'est-à-dire pour =60° et vaut A(/3)=2003 soit environ 346.41 m²

Posté par franz franz

On peut montrer que l'aire balayée  vaut :


et atteint son maximum à

pour un angle de

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonsoir.
L'angle est 60° exactement.
L'aire est 173,21 arrondi au centième de mètre carré le plus proche (3 dam²).
Soit t l'angle
En prenant comme unité le décamètre :
le projectile tombe à 2*2*cos(t)*sin(t) de son point de départ
la hauteur moyenne de la courbe est (2*sin(t))²/3

Posté par pallpall pallpall

Bonjour jamo,

avec quelques équations, une intégration de polynôme, un peu de trigonométrie, je trouve :

- angle = 60 degrés "pile poil" ;
- aire  = 2003 m², soit 346,41 m² au centième de m².

J'espère avoir les bons résultats.

Merci jamo pour cette nouvelle énigme.

P.

Posté par carpediem carpediem

salut

l'aire maximale est 346,41 pour l'angle 60°....

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Angle de lancement: 60°.
Aire maximale de la surface sous la parabole: environ 346,4 m².

A+  

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Bonsoir jamo,

Je viens d'apprendre a l'ecole, l'application de la 2eme loi de Newton dans un mouvement plan (notamment les projectiles...), donc beau entrainement !

1. La courbe Cf du graphe de l'enonce represente la trajectoire du projectile, et est de meme la representation d'une fonction polynome de second degre... Elle est de la fomre: f(x)=ax^2+bx+c avec a0

La droite d'equation y=0 coupe Cf en 2 points de coordonnees (0;0) et (8;0) donc f(x)=ax(x-8)

Le point (3;6) a Cf (graphiquement) donc:
6=9a-24a
a=-6/15

f(x)=(-6/15)x^2 + (48/15)x=-0.4x^2+3.2x

Or f peut s'ecrire aussi sous forme de: f(x)=-g/(2v₀^2cos²)*x^2 + (tan)x

Par identification, tan =3.2 et =72.65 degre (arrondis au centieme par exces)

2. soit F la primitive de f donc F(x)=(-0.4/3)x^3 + (3.2/2)x^2 + k (k un reel)
L'aire A sous la courbe= F(8)-F(0)=34.13 m^2 (arrondis au centieme par default)

Pour la question 2. un internaute m'avait aidé en me donnant la formule ...

Au passage, j'ai une question concernant le numero 1, mais que je la poserai une fois que la correction est mise... J'avais essaye au debut une autre methode mais ca menait a plusieurs valeurs de et aucune d'entre elles sont egale a 72.65 degre (je suis persuade que 72.65 degre est la bonne reponse, car j'ai pris les coordonnees de quelque point de la courbe, et je les ai remplace dans l'equation de la trajectoire pour verifier si ca donne la meme reponse ...) J'ai pourtant verifie plusieurs fois la methode (qui mene a plusieurs valeurs pour ), mais je ne retrouve toujours pas mon erreur !

Merci pour l'enigme

Posté par Lobatchevsky Lobatchevsky

L'angle est de /3, et l'aire maximale A vaut 200*3
Numériquement, =60° et A=346,41 m²

Posté par Eltonio Eltonio

Bonsoir,

Ma réponse :

Angle : 60°

Aire : 346,41

Merci pour cette enigme passionante !

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Un petit ajout:

Pour ma part, j'avais considere que chaque carreau vaut 1m en realite ...

Merci

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

L'aire maximale est de 2003 (soit environ 346,41 m²), pour un angle de 60°.

Contrairement à la détermination de la longueur de parabole maximale, ce problème peut se résoudre de manière exacte.

Après la portée maximale, la longueur maximale, et l'aire maximale, je vous laisse méditer pour savoir sur quoi portera la prochaine énigme dont la parabole sera encore en vedette !

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

A ce que je vois, la figure n'a pas d'importance ??

J'ai mal compris l'enonce ...

Posté par jonjon71 jonjon71

J'ai bien fait de même pas essayer de réfléchir à cette enigme. Je ne comprend rien dans ce domaine !

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

Je suis désolé d'avoir oublié le carré dans m².
Merci pour le smiley.

Posté par jamo jamo

Jun_Milan >> la figure servait juste d'illustration. De plus, aucune unité n'était indiquée sur les axes, donc on ne pouvait pas s'en servir.

Posté par freakles freakles

Je ne comprend pas pourquoi on accorde la réponse a intégral alors que pour totti1000 on ne l'a pas accordée, et là personne ne crie a l'injustice?