Etude d'une translation

Posté par extasy extasy

Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

ABC est un triangle. I, J et K désignent les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
G est le centre de gravité du triangle ABC et on note t la translation de vecteur .
1. Translation et parallélogrammes
   a) Reproduire la figure et construire les points A', B', C' image respectifs de A, B, C par la translation t.
   b) AA'B'B est un parallélogramme, pourquoi ? Citer un autre parallélogramme de la figure.
2. Triangles isométriques
   Démontrer que les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques. Énoncer précisément les propriétés de la translation t    
   utilisées.
3. Translation et centre de gravité
   a) Construire les images respectifs I', J', K' des points I, J, K. Que dire de ces points?
   b) Démontrer que l'image G' du point G par t est le centre de gravité du triangle A'B'C'.

Je suis arrivée à la question 1b.

Merci d'avance !

Posté par pgeod pgeod


1. b)

AA' = BB' = BC = vecteur_constant
c'est la déf du parallélogramme, non ?

...

Posté par extasy extasy

Euh.. oui ^^ Merci !
Il y a aussi AA'C'B' comme autre parallélogramme.

Posté par extasy extasy

Pour la question 2 je propose :

t est la translation de vecteur BC.
t(A)=A', t(B)=B' et t(C)=C'. Donc t(ABC)=A'B'C'
Une translation est une isométrie et deux triangles sont isométriques lorsque l'un est l'image de l'autre par une isométrie.
Dons les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.

Posté par pgeod pgeod

c'est bon pour la 2/

...

Posté par extasy extasy

Pour la question 3a, j'ai fait la construction, mais je ne vois pas ce qu'on peut dire de ces points...

Posté par pgeod pgeod


I', J', K' sont les milieux respectifs
des segments [B'C'] [A'C'] et [A'B']

...

Posté par extasy extasy

AH oui exact !

Posté par extasy extasy

Pour la question 3b, comment montrer que G' est le centre de gravité de A'B'C' ?

Posté par pgeod pgeod


  A'G' + B'G' + C'G'
= A'A + AG + GG' + B'B + BG + GG' + C'C + CG + GG'
...... or AA' = BB' = CC' = GG' = BC
= AG + BG + CG
............ or G centre de gravité de ABC
= ??

...

Posté par extasy extasy

Est-ce que ce sont des vecteurs ?

Posté par pgeod pgeod

oui.

...

Posté par extasy extasy

Je ne comprend pas comment vous passez de cela   A'G' + B'G' + C'G' à A'A + AG + GG' + B'B + BG + GG' + C'C + CG + GG' ...

Posté par pgeod pgeod


Chasles tout simplement :  A'G' = A'A + AG + GG'
idem pour les deux autres..

...

Posté par extasy extasy

Donc :
A'G' + B'G' + C'G'
= A'A + AG + GG' + B'B + BG + GG' + C'C + CG + GG'
= A'A + AG + B'B + BG + C'C + CG + 3GG' or AA' = BB' = CC' = GG' = BC
= -3GG' + AG + BG + CG + 3GG'
= AG + BG + CG

Après cela je ne vois pas quoi faire...

Merci.

Posté par pgeod pgeod


or G centre de gravité de ABC
donc AG + BG + CG = 0

...

Posté par extasy extasy

D'accord, et en quoi cela nous montre que l'image G' du point G par t est le centre de gravité du triangle A'B'C' ...?

Merci.

Posté par pgeod pgeod


car

A'G' + B'G' + C'G'
= ...
= ...
= 0

c'est la déf du barycentre => G' bary de (A'; 1) (B'; 1) (C'; 1)

...

Posté par extasy extasy

Ah d'accord, j'ai compris !

Bon ben merci beaucoup pour votre aide !!!