Enigmo 200 : Le retour du petit Prince

Posté par jamo jamo

Bonjour tout le monde,

souvenez-vous, je vous avais proposé quelques énigmes mettant en scène le petit Prince (voir les énigmos 38, 45, 53 et 69)
Le voici de retour pour ma 200ème énigme !

Lors d'un de ses voyages sur une petite planète, le Petit Prince (PP) voit arriver vers lui un étrange personnage (EP).

PP : Bonjour, vous avez l'air inquiet, d'où venez-vous ?
EP : Bonjour, en effet, je suis plutôt inquiet, je pensais arriver chez moi, et c'est vous que je trouve à la place !?
PP : Comment-ça ? Expliquez-moi ...
EP : Je suis parti de chez moi, je ne sais plus trop il y a combien de temps, afin de faire un marche. Pour ne pas me perdre, j'ai pris une boussole que j'ai pourtant suivi avec une extrême rigueur et précision, mais visiblement, il y a un problème ...
PP : Quel parcours avez-vous fait en utilisant votre boussole ?
EP : Quelque chose de très simple pourtant !! Ma maison se situe à la latitude 59° nord. De là, j'ai parcouru en ligne droite 35km vers le nord, puis 35km vers l'est, puis 35km vers le sud, et enfin 35km vers l'ouest. Je devrais donc me retrouver chez moi, non ?
PP : Ah non, pas tout à fait ! Je vous confirme que vous êtes bien à la bonne latitude, mais il vous reste ... attendez un instant, je fais mes calculs ... voilà, donc si vous continuez vers l'ouest, vous avez encore XX km à parcourir.
EP : Ah oui !! Quand je vois vos calculs et schémas, je comprends mon erreur. Je vous remercie infiniment.
PP : De rien, mais je vais encore vous aider. Attendez encore un instant, je continue les calculs ... et voilà ! Ce n'est pas grand chose, mais vous pouvez rentrer un peu plus vite chez vous si vous suivez ce que je vous ai écris sur ce papier. Avec ce chemin, il vous reste YY km pour être chez vous.
EP : En effet, c'est un tout petit peu plus court ainsi. Je vous remercie infiniment, bonne continuation !
PP : Mais je vous en prie, bon retour.

Et l'étrange personnage s'en retourna chez lui.

Question : Quelles sont les valeurs désignées par XX et YY dans ce texte.

On donnera la réponse en km, avec une précision au mètre.

Ah oui, encore une information : on suppose que la planète est une sphère parfaite ayant pour rayon 126km.

Bonne recherche !

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Intéressant problème de navigation.

XX = 34,267 km
YY = 33,973 km

Merci pour l'Enigmo  

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je trouve, après moults calculs !!!!, et certainement moultes erreurs (comme d'hab):
XX=34,267 km
YY=33,973 km

Posté par LeDino LeDino


Bonjour à toutes et tous.

Je propose (sauf erreur) :

XX = 34,267 Km
YY = 33,973 Km


Merci pour cette énigme princière .

Posté par franz franz

Posté par pierrecarre pierrecarre

Bonjour !

Voici mes solutions :

XX = 34,267 km   et YY = 33,973 km.

Cordialement,

r².

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
Alors je propose XX=34,267km et YY=33,973km.
(J'epère ne pas avoir fait de faute de frappe )

Posté par dpi dpi

Bonjour,
heureusement que nos  herbivores des énigmes (fussent-ils moutons ) n'étaient pas sur la planète du petit Prince car tous nos calculs seraient faux.....
En effet dans l'énoncé on peut lire ligne droite,mais la rotondité de la petite planète impose des lignes courbes ainsi je trouve XX=34 km 267 (presque la moitié du chemin !)
Pour YY ,si notre personnage est une taupe peut-être YY=33 km 870

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Jamo,

Je trouve :
XX = 34,267 km
YY = 33,973 km  (par le grand cercle)

Merci à toi pour ce bon vieux problème, qui oblige à se concentrer pour éviter les erreurs (ce dont je ne suis pas absolument sûr !)

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

Je trouve XX = 34,267 km et YY = 17,609 km.

Merci beaucoup pour cette énigme.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Jamo.
XX = 34,267 (km)
YY = 33,973 (km)

latitude de départ : 59 * pi/180 = A
latitude maximum : A + 5/18 = B
chemin restant à parcourir sur le parallèle : [35*cos(A)/cos(B)]-35 = C (XX)
angle de ce chemin dans le parallèle : C / 126*cos(A) = D
segment reliant les extrémités de ce chemin : 2*126*cos(A)*sin(D/2) = E
angle au centre d'un grand cercle interceptant ce segment : arcsin((E/2)/126)*2 = F
chemin suivant le grand cercle : 126*F (YY)

Posté par randy5 randy5

j'ai pas envie de me lancer dans les calculs mais je pense que l'erreur de l'EP viens du fait que lorsqu'il a parcouru ses 35 Km vers l'est, il n'était pas a la meme longitude que son point de départ.
etant donné la "sphéricité" de la planete, il a donc parcouru une distance plus petite, d'ou ce décalage à l'arrivée

Posté par minkus minkus

Bravo jamo pour la 200e

Posté par torio torio

XX = 34,267   (Km)
YY = 33,973   (Km)


A+
Torio

Posté par sanantonio312 sanantonio312

XX=34,267 km
YY=33,973 km
Un calcul qui fait donc gagner 294m. OUF!

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour

XX = 34,267 km
YY = 33,973 km

(soit un gain d'à peine 294m=0,86%, est-ce que ça valait le coup pour le PP de se donner un gros mal de tête???)

Démonstration
En fait, la promenade de l'étrange personnage est constitué d'une série d'arcs de cercles de longueur 35km.
- 35km vers le Nord : sur un arc de cercle de rayon 126km. L'angle parcouru au centre de la planète est alors de 15,92° (=35/126 converti en degrés). La nouvelle latitude est donc de 74,92°.
- 35km vers l'Est : sur un arc de cercle de rayon 32,791 km (=126*cos(74,92°))
L'angle parcouru au centre de ce cercle est alors de 61,16° (=35/32,79 converti en degrés).
- 35km vers le Sud : EP se retrouve à la latitude 59°. L'angle au centre du cercle de latitude 59° entre sa position initiale et sa position actuelle est de 61,16° (= le même que celui parcouru sur le chemin Est)
Le rayon du cercle de latitude 59° est de 64,895 km (=126*cos(59°)).
Donc la distance restant à parcourir vers l'Ouest pour rejoindre sa position initiale est de 69,267 km
Il lui reste donc encore 34,267 km.

Il existe un chemin plus court : l'arc de cercle du grand cercle passant par les 2 points. En appliquant la formule qui donne cette distance en fonction des latitudes et longitudes (latitudes = 59°, longitudes = on fixe 0° pour la maison d'EP et on est alors à une longitude de 30,25° à l'endroit de la rencontre PP/EP), on obtient la distance la plus courte : 33,973 km

Posté par Lobatchevsky Lobatchevsky

XX=34265 m
YY=5407 m

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

XX=34,267(km)
YY=33,973(km) sur un grand cercle.

Merci pour l'énigmo.

Posté par geo3 geo3

Bonjour
XX = 34.267km
et
YY = 33.973km
cette dernière étant la distance orthodromique

Question très intéressante qui vous oblige à approndir vos connaisances.
A+

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour,

Je propose :

XX = 34,267 km

YY = 33,973 km

Merci JAMO et félicitation pour cette 200ème énigme...  

Vivement les suivantes qu'on attend toujours avec impatience...

N'est-ce pas le moment de starter le classement du plus grand nombre de dernières énigmes sans erreur ? (à partir de la 201...  pour faciliter le comptage et pour que chacun puisse adapter sa stratégie)

A+

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour

Tout à fait intéressant !

Je suppose que YY est la plus petite distance à parcourir pour rentrer chez lui sur la sphère (la portion de grand cercle quoi) ... car il me semble que dans l'énoncé il est simplement précisé que YY est plus court que XX.

Je propose XX = 34,267 km et YY = 32,822 km

MM

Posté par Noflah Noflah

Bonjour Jamo,

Ha, tu me fais revoir la base sphérique ! C'est gentil de ta part j'en ai bientôt besoin en physique (pour l'électromagnétisme je crois).

Alors, en choisissant le système de coordonnées sphérique (r,,) plongé dans le repère cartésien (0,ex,ey,ez) ou ez est l'axe nord sud et pointe vers le nord, ex et ey base du plan équatorial avec ex appartient au plan définit par ez et le point de départ de l'étranger.
Alors : r constant = 126 m (le personnage ne vole pas)
position initiale :
₀= (90-59)*/180
=0 (on l'a définit comme ça exprès)

Il monte de 35km au nord :
₁= ₀ - 35/126 (en radian toujours)
=0

35km vers l'est, ce qui correspond à tourner dans le sens trigo (donc phi va augmenter) :
₂= ₁
= 35 / (r*sin(₂))

35km vers le sud :
₃= ₀
= 35 / (r*sin(₂))

35km vers l'ouest :
₄= ₃
= 35 / (r*sin(₂))  -   35 / (r*sin(₃))


L'étranger n'est donc effectivement pas chez lui : il lui faut continuer vers l'est de tel sorte que Phi vaille 0 à nouveau, soit

XX = * r*sin(₀)

XX = 34.267 km


Cependant, au lieu de suivre la latitude sur laquelle il est en marchant parfaitement vers l'ouest ( constant), il peut couper "par la corde" de façon à rentrer plus vite :

YY =  33.973 km

Je ne vous détail pas les calculs pour celui là, c'est une horreur, je suis passé aux vecteurs et fais des produit scalaire pour récupérer un angle et calculer l'arc de cercle du cercle de centre "centre de la shpère" et passant par les deux points. Je ne sais pas si c'est le plus court chemin, mais pour aller de Paris à Los Angeles, je me souviens bien sûr ne pas avoir suivi la latitude, mais être passé au dessus du Groenland. Je ne sais pas si le cercle suivi est un cercle qui passe par le centre de la Terre mais bon.. je vois rien d'autre. Donc ici j'ai décidé que le chemin le plus court était de suivre un cercle ayant pour centre la sphère. Nous verrons les résultats


Vraiment merci pour cette énigme, cela m'a obligé à réfléchir en dimension 3, ça peut pas faire de mal !

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

Utilisons la figure suivante :



travaillons avec les angles en radians.
Considérons que l'on part du point M ( lat 59°N = 1,02974459 rad) - longitude 0)
On parcourt 35 km vers le nord sur un méridien ( arc de grand cercle) ou en complément de latitude 35/126 = 0,277777 rad. On arrive au point A de latitude 1,307522036 rad. On parcourt 35km vers l'est sur le parallèle pour arriver en B.
Pour calculer la longitude de B, on calcule R'= R sin (colatitude de A)
la colatitude de A vaut (/2- lat(A)) = 0,26327429 rad
R' = 126* sin(0,26327429) = 32,7906696 km
la longitude de B vaut 35/R' = 1,0673768 rad
Du point B on va au point C de coordonnées ( latitude 1,30752206 N et longitude 1,0673768 E)
Calculons le rayon du parallèle passant par M,D,C
R" = R sin(/2-lat(M))   R"= 126 sin(1,570796327-1,029744259) R"=64,89479744 km
La longitude de B correspond à 1,0673768 * 64,89479744 = 69,267 km
La distance XX vaut donc 34,267 km
La longitude du point D vaut 34,267/64,89479744 = 0,528039247 rad

Le point M a pour coordonnées  latitude = 1,029744259 rad longitude = 0
Le point D a pour coordonnées  latitude = 1,029744259 rad longitude = 0,528039247

Appliquons la formule d'un arc de grand cercle pour trouver la plus courte distance de D à M ( orthodromie ou géodésique)

arc(MD) = 126* arc cos ( cos(latM)*cos(latD)*cos(long)+sin(latM)*sin(latD))
arc(MD) = 126* arc cos (cos²(latM)*cos(long)+ sin²(latM))

on trouve la valeur de YY qui vaut 33,973km. On a gagné 0,294km de trajet

Bien à vous

Posté par Eltonio Eltonio

Je trouve XX = 34,267 km
Et pour YY = 33,973 km

Merci beaucoup, enigme passionnante (meme si je suis pas sur de mon resultat ^^)

Posté par Princessedu3605 Princessedu3605

* challenge en cours *

Posté par tanatonaute tanatonaute

XX=34.267 Km [/u](chemin parcouru sur la surfaçe de la planéte)

YY=33.870 Km[u] (chemin parcouru en creusant un tunnel)

Posté par geo3 geo3

Rebonjour
En nommant A et B le point de départ du petit Prince l'arc AB dans le plan parallèle à la latitude 59° a pour mesure XX = 34.267km et l'angle au centre (dans ce même plan interceptant AB )  est de 0,52804234 rad avec  r = 64.89479743km ( sur le plan // )
*
en employant la formule de la distance orthodromique que j'ai trouvé là j'ai trouvé 33.973km qui est YY
*
mais en regardant sur le forum le 266648  c-à-d là on calcule arc AB sur le grand cercle passant par A et B qui a pour angle au centre théta
on a
segment |AB| = 64.89479743.sin( 0,52804234/2) sur le // = 126.sin(theta/2) sur le grand cercle => théta = 0.2696292978
et 126*0.2696292978=  33.97329151 km = 33.973km qui est le même qu'avec la formule de la distance orthodromique = YY
A+

Posté par jamyjazz jamyjazz

Bonjour Jamo

Mes réponses pour cette énigme sont :

XX : 88,682
YY : 83,459

Posté par carpissimo carpissimo

En suivant vers l'ouest EP va parcourir :
34.267km
En suivant le chemin (le plus court) que lui indique PP, EP va parcourir :
33.973km

Voila en esperant ne pas mettre emmele les pinceaux

@++

Posté par akub-bkub akub-bkub

Slt jamo, slt à tous

Je propose :

Distance XX = 34km et 267m
Distance YY = 33km et 973m

J'espère ne pas m'être trompé...

Quoiqu'il en soit, je te remercie jamo pour toutes ces énigmos (_{celle-ci est vraiment chouette} ), elles m'ont aidé à me dépasser et m'ont par là même apporté beaucoup de satisfaction.

Bien à toi. Bien à vous tous.

Posté par pisur2 pisur2

· Rayon de la planète : R = 126 km
Latitude où habite le petit prince : q = 59pi/180 » 1,029744 rad
Rayon du cercle sur lequel le petit prince habite : R1 = R.cos q 64,8948 km
Latitude après 35 km vers le nord : q + a = 35/R , donc a 0,2777777 rad
Rayon du cercle sur lequel le petit prince se déplace : R2 = R.cos (q + a) 32,7907 km
Angle (longitude?) après 35 km vers l'est : b = 35/R2 1,067377
Angle parcouru à la latitude où le petit prince habite : g = 35/R1 0,539334
Distance qu'il reste à parcourir à la latitude où le petit prince habite : XX = R1.(b - g)
XX = 34,267 km

· La distance peut être raccourcie. Dans un repère orthonormal centré au centre O de la planète, on a la maison du petit prince qui a pour coordonnées M(R1 ; 0 ; R.sin q) et la position de l'étrange personnage E(R1.cos(b - g) ; R1.sin(b - g) ; R.sin q)

Donc l'angle MÔE est tel que : cos MÔE = vec(OM).vec(OE) / (OM.OE)   0,963870
On en déduit YY = R.MÔE
YY = 33,973 km

Posté par tahitimanu tahitimanu

faut pas s'embrouiller dans les calculs...chose que j'ai surement faite... enfin voila ma réponse:

XX= 34 km et 267 m

YY= 33 km et 973 m

...
ps : ouais ben moi a choisir entre 294 m en moins mais avec 3 pages de calculs en plus , je préfère marcher un peu plus!!! ^^

Posté par giovedy giovedy

XX = 36km
YY = 1 km

Posté par 13or 13or

XX=34,267 km
YY=33,973 km

Posté par remil1ben remil1ben

Je crois que XX = 34,267km

Comment faire pour YY, bon sang de bon soir?!?!
Merci pour l'énigme.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Les bonnes réponses sont :
XX = 34,267 km
YY = 33,973 km

Pour les trouver, un peu de trigonométrie, avec un bon repérage sur la sphère, et avec pas mal de calculs qui demandent de l'organisation, on pouvait y parvenir.

remil1ben >> pour trouver YY, il faut savoir que la distance minimale sur une sphère se trouve si on se déplace sur ce qu'on appelle un "grand cercle", c'est à dire le cercle qui passe par le point d'arrivée et de départ et dont le centre correspond à celui de la sphère. C'est sur ces cercles que les avions se déplacent pour aller d'un point à l'autre sur la terre (plus ou moins, il doit y avoir d'autres contraintes je suppose).

J'ai décidé d'accepter la réponse pour YY de tanatonaute : l'histoire de creuser un tunnel m'a bien plu, cela n'allait pas à l'encontre de l'énoncé, et la valeur donnée est bonne !

Et c'est donc Nofutur2 qui remporte le mois de mai !
Depuis aout 2009 qu'il avait laissé sa place à d'autres, mais il est de retour !

Posté par totti1000 totti1000

Sacré mois de Mai...

17 victoires !!! Nofutur2 tu es le maître incontesté et incontestable des enigmes de l'ile au maths !!!
Encore une fois FELICITATIONS !!!
Bravo aussi aux autres qui ont fait le sans-faute...

Enfin bravo aussi à Jamo qui a passé la barre des 200 enigmo... Smiley pour jamo !!!

Posté par LeDino LeDino


J'associe mes remerciements à ceux des autres : ce nouveau mois a été particulièrement riche et intense. Un vrai régal. Merci jamo .

Toute mon admiration au brillant vainqueur du challenge du mois. Nofutur2 a été une fois de plus ultra rapide... et sans faute sur une série qui ne manquait pas de pièges et de difficultés !

J'imagine d'ailleurs qu'il a été sous forte pression jusqu'à la dernière énigme, qui était assez "inquiétante" (beaucoup de calculs, beaucoup de risques...).

Au plaisir de vous retrouver...

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Félicitations à Nofutur  

Jamo: dpi a répondu comme tanatonaute, mais lui n'a eu droit qu'à un    
_{Bon, ok, ça ne change rien au classement ...}  

Posté par trivisteamis trivisteamis

Félicitation à Jamo et à tous.

Posté par dpi dpi

à gloubi
Je te remercie d'être mon avocat mais jamo n'a pas du apprécier que
je me prennes pour Saint Exupéry

Posté par jamo jamo

Il est vrai que les réponses de tanatonaute et dpi sont les mêmes, et que j'ai donné le point à l'un mais pas à l'autre.

J'attendais comme réponse celle qui correspond à se déplacer sur la surface de la planète, et non pas en creusant, à laquelle je n'avais même pas pensée.
Cependant, tanatonaute a bien précisé que c'était en creusant qu'il obtient sa réponse, et j'ai eu envie de l'accepter.
Mais pour dpi, il ne dit rien, donc on peut se dire qu'il a fait une erreur.

Posté par Noflah Noflah

Bonjour à tous, bonjour Jamo,




Je pense que l'image de la taupe est tout de même acceptable, à part quelques uns pour qui une taupe fais des maths et de la physique toute la semaine, pour la majorité des gens une taupe est un animal qui creuse des "tunnels" justement.

Ce n'est que mon point de vue cependant ...

Quoiqu'il en soit merci pour cette énigme très instructive ! J'ai demandé à mon prof de physique si la trajectoire la plus courte sur une sphère était bien celle décrite par les "grands cercles" (pour reprendre les termes de Jamo), hypothèse que j'ai utilisé "au pif" pour mes calculs, ne voyant pas comment faire autrement. Il se trouve que c'est bien le cas (comme me l'a révélé la correction de l'énigme et la découverte du aujourd'hui même), mais j'ai eu l'audace de lui demander : "comment le démontre-t-on ?"

Et bien visiblement c'est une histoire d'intégrale dont l'inconnu est à l'intérieur (ça a un nom mais j'ai oublié) et qui est très compliqué. On doit donc se fier à l'intuition pour ce résultat ? N'y a t il pas un élément de justification, même peu rigoureux, qui soit un peu géométrique ?

On a de même la question de la ligne droite dans le plan/espace euclidien, comment montrer que c'est le chemin le plus court ? Enfin on a l'inégalité triangulaire mais tout ça ne fait-il pas partie d'une certaine axiomatique sur le plan euclidien ? A-t-on l'équivalent sur une sphère ?
Si quelqu'un s'y connait un peu je veux bien qu'il m'éclaire

Merci d'avance

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je viens de découvrir que j'ai (enfin) remporté un nouveau smiley. !!

« Il est de retour ! », « tu es le maître incontesté et incontestable des enigmes de l'ile », « Nofutur2 a été une fois de plus ultra rapide » …C'est gentil tout çà, mais toutes ces phrases pourraient laisser croire qu'il me suffit de donner un petit d'accélérateur pour remporter aisément la victoire.

QUE NENNI LES AMIS !!!

A l'arrivée d‘une énigme, je galère comme un fou, je me noie dans mes calculs, je m'embrouille dans des raisonnement foireux, je panique en lisant mal l'énoncé…..et bien souvent, je dois faire plusieurs  choses en même temps !
Pas facile de répondre vite et bien face à des concurrents hyper talentueux tels que totti (fan de foot italien ?), LeDino, castoriginal, geo3, MatheuxMatou, et pleins d‘autres … sans oublier manpower, un des anciens de l'île comme moi, qui réapparaît de temps à autre pour gagner un ou deux smileys.
J'essaye de répondre vite, bien souvent trop vite…et les poissons s'accumulent.
Pour mai, j'ai eu de la chance d'éviter les écueils… en sera-t-il de même en juin ??...

Au fait, je n'ai pas voulu participer au débat sur la fameuse faute de frappe car j'étais le premier concerné par la décision de Jamo. Je dois simplement dire que j'ai vraiment apprécié l'argumentation irréfutable de LeDino et la sportivité de Totti.
Cela montre bien que ce challenge se déroule dans un excellent esprit….et c'est l'essentiel.

Encore merci à tous

Posté par caylus caylus

Nofurtu2>>
Chapeau l'artiste!

Posté par caylus caylus

Désolé:NOFUTUR2
j'habite près de Caussade.

Posté par dpi dpi

à Jamo
1/j'ai essayé de faire de l'humour
2/les brouteurs : c'est un peu vrai que rien n'est dans un plan sur une planète
3/je ne dis rien sauf que je dis "une taupe" pas assez mathématique pour dire tunnel

Une fois encore merci à mes "défenseurs" ,je joue pour entretenir mes neurones et
je n'ai plus les mêmes bases que lorsque j'ai passé mon bac il y a un demi siècle
alors peu m'importe les poissons pourvu que je participe.

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Un grand bravo à NoFutur2...

Quoiqu'il en dise, il reste le maître incontesté (en un seul mot bien sûr !) de ces divertissements tout à fait plaisants et où j'ai encore eu l'occasion de vérifier l'adage selon lequel "rien ne sert de courir, il faut partir à point" !

Vitesse et précipitation me font faire des erreurs impardonnables que je serais le premier à réprimander chez un de mes étudiants ! Belle leçon d'humilité !

Donc, on ne le dira jamais assez : chapeau (bas) aux gagnants, bravo aux participants et mille mercis à Jamo et aux correcteurs...

D'ailleurs, à ce sujet, Jamo, je pense que vous avez choisi la solution la plus sage en ne tolérant plus aucune interprétation de l'erreur commise... et de sa rectification plus ou moins immédiate. Cela partait d'un bon sentiment, mais il est aussi bien connu que "l'enfer est pavé de bonnes intentions" et l'expérience a derechef prouvé que le moindre écart d'interprétation engendre illico (et même presto !) des cafouillages et discussions inextricables... dans lesquelles d'ailleurs des points de vue apparemment opposés se défendent tous les deux !

En tout état de cause, et cela me parait important par les temps qui courent, gardons présent à l'esprit qu'il est agréable et satisfaisant de se livrer "entre amis" à des petits concours désintéressés... et intéressants !

MM

Posté par jamo jamo

Nofutur2 n'est pas si fort que ça ... c'est uniquement parce que c'est lui qui me fait l'offre la plus intéressante et qu'il me paie en utilisant paypal, c'est plus pratique.
Pendant quelques mois, il a connu quelques difficultés financières, donc ne pouvait plus se permettre d'être le premier, mais c'est reparti !

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Ah je comprends mieux !!!!!!!

Alors je retire ce que j'ai dit... finalement c'est dans l'air du temps !

Allez, merci quand même Jamo !