Enigmo 203 : les coffres à Picsou

Posté par LeDino LeDino

Complément :

Dans le formalisme de buzard (et dans celui présenté sur le lien proposé par jamo), les triplets pythagoriciens sont fournis par des formules paramétriques. On choisit des valeurs pour ces paramètres et on obtient directement un triplet pythagoricien (T). Il n'est pas nécessaire de vérifier le caractère parfait des nombres générés ni leur progression arithmétique (c'est le bénéfice essentiel de la méthode). Il n'y a plus qu'à calculer le triplet Solution (S) exprimé en fonction de (T). Et à vérifier certaines règles de parité (à cause du changement de variable qui crée des contraintes sur le choix des nombres).

Mais la difficulté pour le problème Picsou n'est pas résolue pour autant.

Car minimiser le nombre P (P pour Petit coffre) revient à minimiser une fonction des paramètres. Il faut écrire l'expression de P en fonction du triplet T, puis en fonction des paramètres, puis trouver le minimum. Or cette expression est relativement complexe (polynôme à plusieurs variables, d'ordre 4 je crois) et surtout, elle comprend des termes négatifs (enfin plus précisément, une différence entre deux termes positifs...). Donc on a déplacé le problème, mais on se retrouve avec une expression dont il semble bien difficile de prouver le minimum. Celà dit, je n'ai jeté qu'un coup d'oeil assez rapide, donc peut-être qu'il y a une manière de factoriser cette expression qui simplifierait le problème...

A voir...

Posté par Noflah Noflah

C'est ce que je voulais savoir
Merci pour toutes ces réponses LeDino !
Bravo à Jamo pour ses énigmes !

Posté par jamo jamo

En faisant une recherche Google avec "386 8450 16514" ou "482 3362 6242", vous tomberez peut-être sur des pages qui vous donneront des éléments de réponse à ce problème que je n'ai pas inventé ...

Posté par buzard buzard

Salut a tous,

désoler de remonter cette énigme des combles, je n'avais pas vu que certain avait commenté ma réponse à l'énigme suivante merci Noflah. Mais j'avais répondu qu'à la suivante (celle des coffres de gripsou) car il me semblait qu'il n'y avait pas de minimum pour celui-la (mais sans pouvoir le démontrer)

Avec les mêmes changements de variables, le critère d'optimisation n'est pas simplement 3/2l² (comme à l'énigme suivante), qui garantissait que le domaine de recherche était borné. En effet 2l=n(u²+v²) est comme une norme dans le plan (u,v), ce qui réduit l'espace de recherche à l'intérieur d'un disque.

Dans le cas ici, le critère est 8a=4l²-4(m+k)(m-k)=n²(u²+v²)(u²+v²-8uv) qui n'est pas suffisant pour borner l'espace de recherche. L'espace de recherche ressemblant alors à l'espace entre les deux sections d'une hyperbole.

Posté par LeDino LeDino

Bonjour buzard,

Ton complément d'information confirme mon commentaire : jusqu'ici, il n'y a pas de preuve théorique formelle que la solution proposée jusqu'ici pour le problème Picsou soit effectivement optimale.

La seule indication pratique que nous ayons, c'est que personne n'a trouvé mieux, et que les algorithmes informatiques utilisés par les uns et les autres ne trouveront probablement pas mieux à cause des limites de précision couramment offertes.