Enigmo 203 : les coffres à Picsou

Posté par jamo jamo

Bonjour tout le monde,

et voici un petit duo d'énigmes !

C'est bien connu, l'une des plus grandes occupations de l'immensément riche Balthazar Piscou est de compter et recompter sa fortune. Il le fait à tel point qu'il est devenu assez fort en arithmétique ...

Tenez, l'autre fois, il s'est amusé à ce petit jeu que je vais vous expliquer.
Il a pris trois coffres de tailles différentes dans lesquels il a placé des pièces d'or, un nombre différent dans chacun des coffres.
Voici les quatre contraintes à respecter :
1. le grand coffre contient davantage de pièces que le coffre moyen, lui même en contenant davantage que le petit coffre (il y a au moins une pièce par coffre) ;
2. la différence du nombre de pièces entre le grand coffre et le moyen est égale à la différence entre le moyen et le petit coffre ;
3. de plus, si on additionne les sommes en prenant deux coffres quelconques, on trouve un carré parfait ;
4. et enfin, le nombre de pièces dans le petit coffre est le plus petit possible.

Question : Donnez le nombre de pièces dans chaque coffre.

Si vous pensez qu'il n'y a pas de solution, vous répondrez "problème impossible".

Bonne recherche !

PS1 : j'ai mis 3 étoiles pour la difficulté ... sans aucune certitude ... c'est peut-être plus simple ou plus compliqué ...

PS2 : lire le petit ajout du 13/06/2010 dans le premier message du topic suivant pour une mise au point sur une règle en ce qui concerne la participation aux énigmes :

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Les 3 coffres contiennent, du plus grand au plus petit:
16 514, 8 450 et 386 pièces.  

Posté par MataHitienne MataHitienne

Problème impossible

Posté par Lobatchevsky Lobatchevsky

Petit coffre : 1 pièce
Coffre moyen : 3 pièces
Grand coffre : 5 pièces

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,

je propose

Dans le petit coffre : 386 pièces.
Dans le moyen coffre : 8450 pièces.
Dans le grand coffre : 16514 pièces.

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

Je propose :
16514 pièces dans le grand coffre,
8450 pièces dans le coffre moyen,
386 pièces dans le petit coffre.

Merci beaucoup.

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
482 3362 6242
Merci pour l'énigme

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je pense qu'il n'y a pas de solution . PB impossible.

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

6242,3362,482 (du plus grand au plus petit)
Merci pour l'énigmo.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Jamo,

Les nombres de pièces sont  : 6242 , 3362 , 482

(du moins ceux que je trouve, après avoir ramé comme un imbécile)

Posté par anafan2greg anafan2greg

j'ai trouvé pour le grand 5 pièces, le moyen 3 pièces et le petit une pièce.

Posté par rijks rijks

Sans trop de convictions je dirais :
petit : 386
moyen : 8450
grand : 16514

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour

Je dirais 1 - 24 - 120

MM

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

n'importe quoi !!!!
j'ai oublié une contrainte !

Posté par torio torio

Coffre1 :  386        Coffre2 :  8450       Coffre3 :  16514

A+
Torio

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Je trouve
2692 , 1404 , 117
A+

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

pour cette première énigme, je propose les contenus suivants:

Petit coffre: 386
Moyen coffre: 8450
Grand coffre: 16514

Merci pour l'énigme.

Posté par 13or 13or

386 8450 16514

Posté par tahitimanu tahitimanu

j'ai essayer de faire ce pb sans programmer...grosse erreur

sans aucune preuve de la minimalité du contenu du ptit coffre je dirai:

petit coffre 386 pièces
moyen coffre 8650 pièces
grand coffre 16514 pièces

voila  bonne journée a tous

Posté par franz franz

386, 8450 et 16514

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Les coffres contiennent respectivement 482, 3362 et 6242 pièces.

Les carrés sont en progression arithmétiques et sont les quadruples de carrés impairs.
Les carrés impairs sont de la forme 1 + (8 fois la somme des n premiers nombres).
Les trois sommes sont en progression arithmétiques. La somme moyenne est au plus le double de la somme la plus petite et la suivre d'au moins trois rangs.
On trouve rapidement les sommes 120, 210 et 300.
Les carrés impairs sont 961, 1681 et 2401.
Les carrés pairs sont 3844, 6724 et 9604.
Leur demi-somme 10086 est la somme des contenus des trois coffres.

Posté par nikole nikole

problème impossible

Posté par giovedy giovedy

problème impossible

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voici ma réponse :

Le nombre de pièces dans chaque coffre est respectivement 386, 8450 et 16514.

Sans beaucoup de certitude quant à la minimalité du premier nombre.

Merci !

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour,

Pas évident, mais voici ma proposition de contenu :

P 386
M 8450
G 16514

merci jamo pour cette énigme

A+

Posté par evariste evariste

386
8450
16514

Posté par dpi dpi

Bonjour,
Je pense que c'est impossible
En effet si on prend a , a+k et a+2k
on doit avoir a+a+k = carré a+a+2k = carré et 2a+3k =carré
* 2(a+k) = carré donne a+k =8,18,32,50,72,98,128 etc
il y aura incompatibilité avec 2a+k = carré et 2a+3k =carré (avec  k mulitiple de 4)

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

Tout d'abord, on suppose que toutes les pièces d'or sont identiques, de même valeur.

Appelons G le nombre de pièces du gros coffre, M pour le moyen et P pour le petit.
On dit que P vaut au moins 1 pièce. On dit aussi que G > M > P; de même G-M = M-P.
De cette dernière relation on a G+P = 2M. 2M est un carré parfait multiple de 2.
L'énoncé mentionne que M+P= carré parfait, P+G = carré parfait et M+G = carré parfait.
Si on établit une liste des nombres pairs (A) avec leurs carrés B=A²= 2M
on peut en relation avec les valeurs de M chercher les carrés parfaits qui associeront P et en faire découler G. Z=(G + M )devra également être carré parfait.

Le petit programme informatique en basic permet de faire varier M de 2 à 50.10⁶.
Exemple : 10 FOR X=2 TO 10000 STEP 2
20 A = X
30 B=A*A
40 M = 0.5*B
45 V=SQR(M)
47 R= INT(V)
50 FOR Y= R TO A
60 C= Y*Y
110 P=C-M
120 G = B-P
125 IF P=M THEN 160
130 Z=M+G
135 Q= SQR(Z)
140 W= INT (Q)
150 IF Q-W < 0.001 THEN PRINT P,M,G
160 NEXT Y
180 NEXT X
190 END

L'ayant utilisé pour les valeurs de M de 2 à 5.10⁶ on constate qu'il y a environ 697 solutions.

Pour répondre à l'énoncé, on constate que le plus petit nombre de pièces dans le petit coffre vaut 386.
Les solutions sont donc :  Petit coffre  386 pièces d'or
                           Moyen coffre  8450 pièces d'or
                           Grand coffre 16514 pièces d'or

Bien à vous, amitiés

Posté par Noflah Noflah

Bonsoir Jamo,

Je ne sais pas si cette énigme est difficile ou si je ne suis pas dans mon état normal mais elle aura été laborieuse.

Je trouve : petit coffre 386 pièces
                 moyen       8450 pièces
                 grand       16514 pièces

Mon problème : j'ai trouvé d'autres solution possibles avec le nombre de pièces du petit plus grand. J'ai donc pris la solution avec le nombre minimal parmi celles trouvées, mais je n'ai pas pu montrer que c'était LE minimum (toute partie non vide de N admet un plus petit élément, ici on a une partie non vide puisque j'ai trouvé des solutions, mais comment savoir si ma solution constitue l'élément minimal de l'ensemble des solutions ??)

J'espère que certains présenteront leur raisonnement pour que je me fasse une idée

Encore une très belle énigme Jamo, merci beaucoup ! Comment savais tu que l'arithmétique était justement mon point faible ? :p
Merci pour l'énigme et à bientôt.

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour

sans trop de certitude, je dirais :

386 - 8450 - 16514 _{(c'est le plus petit que j'ai trouvé avec une raison inférieure à 10000)}

merci pour cette énigme.

Posté par Drysss Drysss

Une solution qui marche :
2 pièces dans chaque coffre.

Maintenant le petit coffre ne peut avoir 1 pièces. En effet sinon, on aurait en notant n1,n2,n3 les pièces dans les petits/moyens/grands coffres, et k=n2-n1. On a n2=n1+k, n3=n1+2k
Si n1=1, cela fait que 2+3k est un carré parfait. Or un carré ne peut être congru à 2 modulo 3.

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Bonjour,

Pour moi, il y a
1 pièce dans le petit coffre
6 pièces dans le coffre moyen
11 pièces dans le grand coffre

Ainsi :
G,M,P = nombre de pièces dans le grand, moyen et petit coffre
1) G > M > P 1
2) G-M = M-P = 5
3) (P+M)+(P+G)+(M+G)=2(G+M+P)=2*(11+6+1)=36=6²
4) P est minimal puisque P=1

Conclusion : pas si riche que ça Picsou !!!!

Posté par sanantonio312 sanantonio312

Bonjour,
Hélas, par le calcul, rien!
Une petite moulinette en QBasic et j'obtiens un minimum de 386 pièces dans le petit coffre
Soit: 386, 8450 et 16514 pièces

Posté par pisur2 pisur2

Soit x , y et z le nombre de pièces respectivement du petit, moyen, gros coffre.
Alors x = 2162 ; y = 7442 ; z = 12722
On a x + y = 98² ; y + z = 142² et x + z = 122²
et z - y = y - x = 5280

Posté par pisur2 pisur2

Après réflexion, je propose :

Soit x , y et z le nombre de pièces respectivement du petit, moyen, gros coffre.
x = 386 ; y = 8450 ; z = 16514
On a x + y = 94² ; y + z = 158² et x + z = 130²
et z - y = y - x = 8064
et x + y + z = 25350

Je sais que cela ne sera pas pris en compte, mais c'est juste pour le fun! (En espérant que la réponse soit la bonne malgré tout!!!)

Posté par hhh86 hhh86

Règle 1 : a<b<c

Règle 2 : c-b=b-a

Règle 3 :
a+b=k²
a+c=k'²
b+c=k''²

De la règle 2, on déduit 2b=c-a
2a+2b=a+c
Donc d'après la règle 3, k'²=2k²

Soit d=PGCD(k,k')

Il existe donc deux entiers naturels o et o' tels que k=do et k'=do' avec PGCD(o,o')=1

D'où d²o'²=2d²o²
<=>o'²=2o²

Or 2|(2o²) donc 2|o'² donc 2|o' comme 2 est premier
Il en résulte qu'il existe un entier naturel m tel que o'=2m
D'où 4m²=2o²
<=>o²=2m²
Donc 2|o² et comme 2 est premier, alors 2|o
Ce qui est absurde




ON EN DEDUIT QU'IL N'Y A PAS DE SOLUTION

Posté par thiblepri thiblepri

Bonjour,
Je trouve:
Petit coffre: 386 pièces;
Moyen coffre: 8450 pièces;
Grand coffre: 16514 pièces.

Posté par lolo248 lolo248

petit coffre : 386 pièces
moyen coffre : 8450 pièces
grand coffre : 16514 pièces

je n'ai pas trouvé plus petit...

Posté par LeDino LeDino


Ma proposition :

Petit coffre :   386
Moyen coffre :  8450
Grand coffre : 16514


... Mais j'avoue ne pas voir comment prouver qu'il n'y a pas de solution avec moins de pièces dans le petit coffre. Donc réponse sous réserve. Et bravo à ceux qui ont pu prouver ce résultat (s'il est bon).

Merci pour l'énigme .

Posté par Rodolphe Rodolphe

Bonjour,

coffre 1 : 482 pièces

coffre 2 : 3362 pièces

coffre 3 : 6242 pièces

cogito ergo sum !

Posté par Zofia Zofia

Notons p le nombre de pièces dans le petit coffre
m, le nombre de pièces dans le coffre moyen
et g le nombre de pièces dans le grand coffre

Ce problème n'est pas impossible, j'ai trouvé deux solutions... Et il y en a peut-être plus. Je ne sais pas si j'ai effectivement trouvé la solution avec p minimal, mais je tente :
avec p=386, m=8450 et g=16514

On a bien m-p = g-m = 8064
m+p = 8836 = 94²
m+g = 24964 = 158²
et p+g = 16900 = 130²

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

La réponse à ce beau sujet d'arithmétique est : 386-8450-16514.

Certains ont donné la solution qui correspond à l'énigme suivante, on peut même lire des démonstrations comme quoi le problème est impossible, ...

Pour trouver la solution, le plus simple était de passer par un programme informatique je pense, mais une petite étude mathématique préalable devait permettre de simplifier le problème.

On trouve aussi quelques méthodes sur internet, par exemple :

Posté par Noflah Noflah

Impressionnant, nous sommes tous passé par une résolution informatique ! Et le plus dur dans ce cas là est bien sûr que l'on ne peut pas être sûr de la minimalité du nombre du petit coffre (comme beaucoup l'on mentionné dans leur réponse). En gros nous avons (presque) tous établit une conjecture avec résolution informatique à l'appui. C'est comme si on avait voulu montrer syracuse en disant que "c'est vrai pour tout entier k inférieur à 10^30".
Personnellement j'ai passé plusieurs jours à trouver des tas de conditions sur les entiers solution, sans que l'une d'elle ne me garantisse un nombre minimal pour le petit coffre.
Notamment en notant :
G+M=a²
M+P=b²
P+G=c²    j'avais  a>c>b et a²+b²=2*c². Mais étant mauvais en arithmétique, je ne sais pas si cette équation peut se résoudre ou non ???
Avec une forme générale des solutions de cette équation, on pourrait je pense aboutir à la solution de manière exacte ...

Quelqu'un a une idée ?

Posté par LeDino LeDino

Bonjour à toutes et tous,

Dans le lien proposé par jamo, l'échange ne semble pas conclure sur la démonstration du plus petit P.

Le seul indice que je puisse proposer est le suivant : il semble judicieux de programmer la recherche de solutions à partir des trois carrés A², B², C². En faisant varier A, on explore les solutions de A² en (A+1)², ce qui accélère la recherche et permet d'atteindre de très grands nombres de pièces. Tellement grands, qu'on atteint la limite de la double précision.

De ce fait, sauf à passer à des algorithmes bien plus complexes, il ne semble pas y avoir de solution trouvable par un simple programme calculant en double précision (je crois à plus ou moins 10 puissance 15 près).

C'est la raison pour laquelle j'ai fini par poster la solution que tout le monde a trouvé, malgré l'absence de preuve... considérant que jamo n'avait pas de meilleur ordinateur que les notres...

Posté par Noflah Noflah

Bonjour Ledino,

Merci de ta réponse.
Qu'appelles tu la double précision ? C'est un phénomène d'erreur d'arrondi de l'ordinateur lorsqu'il travaille avec de gros nombres ?
Personnellement pour les énigmes j'utilise CamL, bloqué à 2^30 de toute façon, à moins d'utiliser #bignum.
Quoiqu'il arrive une résolution informatique je sais plus ou moins faire. Je me posais la question d'une résolution exacte. La raison :

On écrit :
G+M=a²
M+P=b²
P+G=c²
Par une résolution de système 3x3 on obtient P,G et M en fonction a,b,c, notamment
P=(3*b²-a²)/4 si je me souviens bien, quelque chose comme ça (en utilisant la condition G-M=M-P qui donne a²+b²=2*c² ce qui permet de retirer c des expressions).

Arrivé là j'ai pensé à faire tourner un programme informatique (on avait les conditions : b<c<a<b*sqrt(3))
Mais que mettre dans la boucle ?
Par exemple si on fait un
"for b=1 to n" où l'on ferait monter n tant que l'on veut, il faudrait ensuite faire varier a entre b+2 et sqrt(3)*b.
Seulement qu'est ce qui nous garantit dans cette boucle la minimalité de P ?
Comment savoir si (3b²-a²) est minimal ? Peut être que pour une valeur plus grande de b que le n que l'on avait mis, on aurait une valeur de a tel que P soit plus petit.
C'est d'ailleurs ce que j'ai eu : pour n pas assez grand je n'avais accès qu'à la solution P=482 (gripsou) et pour un n plus grand j'ai eu accès à P=386. Je me suis alors dit que pour n encore supérieur il y aurait peut être encore plus grand.

Autre moyen de procéder : faire la boucle sur les valeur de P, au moins la première trouvé représente forcement P minimal.
donc "for P=1 to n do" et une fois une valeur donné à P on obtient une relation entre a et b. Il faut donc supposer une valeur à l'un ou l'autre pour obtenir les valeur de a et b, et vérifier que a²+b² est le double d'un carré. C'est de cette manière ci que j'ai procédé il me semble, mais cela reste une résolution informatique, nous n'avons pas réellement la garantit que P est minimal.

Pour la résolution mathématique, j'aurais aimé résoudre a²+b²=2c², les solutions alors dépendent d'un paramètre k naturel (comme les équations diophantienne) et il suffit de le prendre de façon à rendre P minimal. Seulement je n'ai pas réussit à faire ça, et je me demandais si quelqu'un y était arrivé. C'est le cas dans l'énigme sur Gripsou par Buzard, mais les outils utilisés pour résoudre cette équation me dépassent.

Posté par LeDino LeDino

Bonjour Noflah,

En effet, si j'ai évoqué la "double précision" c'est parce que je crois, de mémoire, que les langages informatiques utilisent ce format pour effectuer les calculs. Sauf erreur, la double précision stocke les nombres sur 64 bits, et permet d'avoir une quinzaine de chiffres significatifs, guère plus.

La conséquence c'est que les programmes qui ont permis de trouver les solutions proposées pour le problème Picsou vont arriver à une limite : lors du test des conditions à satisfaire, les nombres évalués seront trop grand pour la précision de calcul du langage utilisé (sauf à utiliser un langage qui offre une précision plus étendue...).

Le problème Gripsou est quant à lui "résolu", parce que la somme trouvée pour P=486, limite de fait la valeur possible pour b² (avec tes notations), et donc une recherche informatique exhaustive est dans ce cas possible (car ici, on peut limiter b, dont le carré ne doit pas dépasser la somme trouvée dans le cas P=486).

Le problème Picsou, en revanche, ne peut pas être résolu uniquement par une boucle informatique, car rien n'interdit a priori qu'il y ait une solution pour un P petit et un b "gigantesque". Peut-être que le lien proposé par jamo répond à cette question, mais je ne l'ai pas vu clairement.

La seule chose que j'ai pu vérifier, c'est que tous les cas testables avec la double précision (jusqu'à b=10^8, et donc b²=10^16), ne donnent aucune solution pour P<386.

P=386 est donc en quelques sortes, le "minimum prouvable par programme" (utilisant la double précision).

Posté par Noflah Noflah

Bonsoir LeDino,



Cela semble également être le véritable minimum, coup de chance pour nous tous ! (cf démonstration de Buzard chez gripsou).



Hmm pas vraiment, ils y donnent seulement la forme des solution à l'énigme sans la condition P minimal. Mais pour trouver la plus petite une fois que la solution est donnée sous sa forme générale à l'aide d'un paramètre, il n'est pas bien difficile de trouver la solution minimale, qui semble réellement être 386.

Posté par LeDino LeDino

Bonjour Noflah,

Pour moi, la réponse fournie par Buzard, qui utilise les triplets pythagoriciens (comme dans le lien proposé par Jamo), a le mérite d'être élégante et de fournir une solution trouvable à la main répondant au problème Gripsou.

Dans le cas Gripsou, la minimalité de la somme est facilement prouvable, car si la somme est limitée, tous les termes qui la composent le sont... et celà réduit considérablement le champ de recherche.

Pour le problème Picsou, en revanche, je n'ai lu encore personne (ni dans l'échange trouvé sur le lien proposé par jamo, ni dans la réponse de Buzard) affirmer avoir trouvé une solution qui assure la minimalité de P.

Pour moi, sauf avis explicite du contraire, le caractère minimal de P=386 n'a pas été formellement prouvé.



Je n'ai pas creusé la piste des triplets pythagoriciens. Peut-être en effet qu'en étudiant les valeurs possibles d'après la forme paramétrée on peut en tirer la conclusion de la minimalité de P=386... Sauf que personne ne l'a fait pour l'instant ... Avis aux courageux...

Posté par Noflah Noflah

Bonsoir LeDino,



Nous sommes donc d'accord, personne ne l'a fait mais cela peut être fait ?
A vrai dire je ne comprend pas la démonstration de Buzard utilisant les triplets pythagoriciens. Wikipédia les définit comme étant les solution de x²+y²=z², non pas x²+y²=2z². Je regarderai tout cela attentivement plus tard

Merci pour tes réponses LeDino,

Posté par LeDino LeDino


Bonsoir noflah,

Pour savoir si cela peut être fait... il faut le faire, ou au moins essayer . Pour ma part, je ne suis pas certain que l'on puisse conclure.

Pour obtenir x² + y² = z², Buzard fait un changement de variables.