Enigmo 204 : les coffres à Gripsou

Posté par jamo jamo

Bonjour tout le monde,

et voici la seconde partie ! (voir énigmo 203)

Archibald Gripsou, l'ennemi juré de Picsou, est lui aussi immensément riche, et il est aussi devenu très fort en arithmétique à force de compter ses pièces d'or.

Ayant appris le petit jeu de Picsou avec ses trois coffres, il a décidé d'en faire autant, mais en modifiant une des règles du jeu.

Gripsou dispose donc aussi de trois coffres de tailles différentes, et il a placé un nombre de pièces d'or différent dans chacun d'entre eux.

Les trois premières contraintes à respecter sont identiques :
1. le grand coffre contient davantage de pièces que le coffre moyen, lui même en contenant davantage que le petit coffre (il y a au moins une pièce par coffre) ;
2. la différence du nombre de pièces entre le grand coffre et le moyen est égale à la différence entre le moyen et le petit coffre ;
3. de plus, si on additionne les sommes en prenant deux coffres quelconques, on trouve un carré parfait.

Mais la 4ème est un peu différente :
4. Le nombre total de pièces, en additionnant le contenu des trois coffres, est le plus petit possible.

Question : Donnez le nombre de pièces dans chaque coffre.

Si vous pensez qu'il n'y a pas de solution, vous répondrez "problème impossible".

Bonne recherche !

PS1 : même remarque pour la difficulté ...

PS2 : lire le petit ajout du 13/06/2010 dans le premier message du topic suivant pour une mise au point sur une règle en ce qui concerne la participation aux énigmes :

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Les 3 coffres contiennent, du plus grand au plus petit:
6 242, 3 362 et 482 pièces.  

Posté par Lobatchevsky Lobatchevsky

Petit coffre : 1 pièce
Coffre moyen : 3 pièces
Grand coffre : 5 pièces

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,

je propose

Dans le petit coffre : 482 pièces.
Dans le moyen coffre : 3362 pièces.
Dans le grand coffre : 6242 pièces.

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
482 3362 6242
Merci pour l'énigme

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je pense qu'il n'y a pas de solution . PB impossible.

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

Je propose :
6242 pièces dans le grand coffre,
3362 pièces dans le coffre moyen,
482 pièces dans le petit coffre.

pour un total de 10086 pièces.

Merci beaucoup.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Jamo,

Les nombres de pièces sont  : 6242 , 3362 , 482

(comme dans l'énigme précédente)

Posté par rijks rijks

Allez zou, je me lance :
petit : 482
moyen : 3362
grand : 6242

total : 10086 pièces (contre 25350 pour Picsou)

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

Comme je n'ai pas envie de chercher, je donnerai donc la même réponse que le 203:
6242,3362,482
Merci pour l'énigmo.

Posté par geo3 geo3

Bonjour
6242 ; 3362  ;  482
idem que le 203
A+

Posté par torio torio

Coffre1 :  482        Coffre2 :  3362       Coffre3 :  6242


A+
Torio

Posté par geo3 geo3

Rebonjour
vive le poisson
ce serait plustôt
816 , 480 , 145
A+

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

pour cette seconde énigme, je propose les contenus suivants:

Petit coffre: 482
Moyen coffre: 3362
Grand coffre: 6242

pour une somme minimale de 10086

Merci pour l'énigme.

Posté par 13or 13or

482 3362 6242

Posté par tahitimanu tahitimanu

encore merci a l'ordi lol

petit coffre 482 pièces
moyen coffre 3362 pièces
grand coffre 6242 pièces

merci aux auteurs, bonne journée a tous!

Posté par franz franz

482, 3362 et 6242

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Les coffres contiennent respectivement 482, 3362 et 6242 pièces, comme dans l'autre problème.

Voir mon raisonnement au sujet de l'autre question.
Si la solution était différente, la plus petite somme serait supérieure à 120 et la somme moyenne serait égale ou inférieure à 210 tout en suivant la petite somme d'au moins trois. Une telle solution n'existe pas.

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,

je trouve 482, 3362 et 6242 pièces

6242-3362=3362-482=2880

482+3362=3844=62²
482+6242=6724=82²
3362+6242=9604=98²

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour

Je propose : 482 - 3362 - 6242

MM

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour !

Voici ma réponse :

Le nombre de pièces dans chaque coffre est respectivement 482, 3362 et 6242.

Sans beaucoup de certitude quant à la minimalité de la somme des nombres.

Merci !

Posté par buzard buzard

bonjour,
Je ne sais pas si j'ai bien compris l'énoncé mais dans le cas où le "d'avantage" de la première condition:

- comprend l'égalité (a <= b <= c), il me semble que la plus petite solution est (2,2,2). En effet, les 3 configurations plus petites ne satisfont pas la troisième condition.

- ne comprend pas l'égalité (a < b < c), alors le problème reviens à déterminer les triplets de carrés (k²,l²,m²) en progression arithmétique de somme minimal avec l paire.

En effet, d'après la troisième condition :
a+b   = k²     2a = k²+l²-m²
a  +c = l² <=> 2b = k²-l²+m²
  b+c = m²     2c =-k²+l²+m²
et alors d'après la deuxième condition l²-k² = c-b = b-a = m²-l²=r.
Ce qui ce traduit par l'équation diophantienne suivante k²+m²=2l².
soit également 2b = l² (d'où la condition de parité de l).

L'équation k²+m²=2l² ressemble alors beaucoup à la recherche des triplets pythagoriciens, en fait on a même :
k²+m²=2l² <=> (m+k)²+(m-k)²=(2l)²
or on connais un paramétrage (exhaustif et redondant) des triplets pythagoriciens :

m+k =  n(u²-v²)
m-k = 2n u v
2 l =  n(u²+v²)

il suffit de choisir convenablement (n,v,u) pour avoir une solution à notre équation. la condition étant "4|n(u²+v²)", elle est nécessaire et suffisante pour que k,m et l soient entiers et l paire.
On peut décomposer cette condition en :
4|n
ou
u et v paire
ou
u et v impaire et n paire

on remarque également que les triplets (4n,u,v),(n,2u,2v) et (2n,u-v,u+v) fournissent les mêmes (k,l,m) (au signe près de k)

Pour revenir à notre problème initiale, on cherche à minimiser a+b+c=3/2l², donc on recherche par énumération sur les paramètres (n,v,u) qui fournisse une solution (a,b,c) respectant la première condition de l'énigme et tel que l soit minimal et paire.

0<a<b<c <=> 0<k²+l²-m²<... <=> n!=0 & (u+v)^4-4uv(3u²+uv-v²)>0 & uv(u²-v²)>0

De plus on ne perd pas en généralité en restreignant la recherche dans le quadrant positif (quitte à permuter k et m), on obtient de temps en temps des triplet (-k,l,m) avec -k négatif mais comme c'est son carré qui nous intéresse ce n'est pas important.

graphiquement dans le plan (u,v) : le triplet (n,v,u)=(1,4,5) est le plus proche de l'origine, mais il ne respecte pas les conditions de parité, il suffit de poser n=4 (4,4,5)=(T)=>(-62,82,98)=(S)=>(482,3362,6242)

or T(4,4,5)=T(1,8,10)=T(2,1,9), on recherche alors les autres triplets candidats dans tel que u²+v²<10²+8²=164 pour n=1 (et u²+v²<9²+1²=82 pour n=2), mais on en trouve pas qui améliore le résultat et qui respect toute les conditions (sauf oublie de ma part)

La solution à l'énigme de gripsou est donc (482,3362,6242)

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour,

Ici, petite variante : voici ma proposition de contenu :

P 482
M 3362
G 6242


merci jamo pour toutes ces énigmes

A+

Posté par evariste evariste

482
3362
6242

Posté par dpi dpi

En étant logique (avec moi-même)
si picsou impossible gripsou impossible

Posté par castoriginal castoriginal

Bonjour,

les résultats obtenus avec le programme informatique utilisé pour l'Enigmo 203 donnent la réponse à cette énigme.

Le nombre total de pièces d'or obtenu en additionnant le contenu des 3 coffres doit être le plus petit possible :

On a   Petit coffre 482 pièces d'or
        Moyen coffre 3362 pièces d'or
        Grand coffre 6242 pièces d'or

pour un total de 10086 pièces d'or

Bien à vous,

Posté par Noflah Noflah

Bonjour Jamo,

Je trouve : petit coffre 482 pièces
                 moyen       3362 pièces
                 grand       6242 pièces

Même problème que précédemment : j'ai procédé à une résolution informatique, et même si je suis un peu plus sûr que cette fois il n'y a pas de solution plus petite, je n'en suis pas parfaitement convaincu. Encore une fois j'espère que je pourrai voir comment on peut procéder.

Merci à jamo pour ses superbes énigmes et à tous les participants.

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour

Toujours sans certitude, je dirais :

482 - 3362 - 6242

merci pour ces énigmes

Posté par Aurelien_ Aurelien_

Re-Bonjour,

Pour moi il y a 5 solutions, données ci-dessous (en notant le nombre de pièces dans petit coffre - moyen coffre - grand coffre):
1-6-11
2-6-10
3-6-9
4-6-8
5-6-7

avec dans chaque cas un total de 18 pièces

Posté par Drysss Drysss

Même solution que pour picsou :
2 pieces dans chaque coffre.

Soit je fais une grosse erreur d'interprétation, soit il y a un truc bizarre...

Posté par sanantonio312 sanantonio312

Bonjour,
Hélas, par le calcul, rien!
Une petite moulinette en QBasic et j'obtiens un minimum de 10086 pièces en tout
Soit: 482, 3362 et 6242 pièces

Posté par Kaitomagic Kaitomagic

* challenge en cours *

Posté par pisur2 pisur2

Soit x , y et z le nombre de pièces respectivement du petit, moyen, gros coffre.
x = 482 ; y = 3362 ; z = 6242
On a x + y = 62² ; y + z = 98² et x + z = 82²
et z - y = y - x = 28280
et x + y + z = 10086

Posté par Romb Romb

Bonjour

Voici à mon avis le contenu des coffres :
482
3362
6242
Mais je ne suis pas sûr que ça soit la plus petite somme...

Posté par hhh86 hhh86

Règle 1 : a<b<c

Règle 2 : c-b=b-a

Règle 3 :
a+b=k²
a+c=k'²
b+c=k''²

De la règle 2, on déduit 2b=c-a
2a+2b=a+c
Donc d'après la règle 3, k'²=2k²

Soit d=PGCD(k,k')

Il existe donc deux entiers naturels o et o' tels que k=do et k'=do' avec PGCD(o,o')=1

D'où d²o'²=2d²o²
<=>o'²=2o²

Or 2|(2o²) donc 2|o'² donc 2|o' comme 2 est premier
Il en résulte qu'il existe un entier naturel m tel que o'=2m
D'où 4m²=2o²
<=>o²=2m²
Donc 2|o² et comme 2 est premier, alors 2|o
Ce qui est absurde




ON EN DEDUIT QU'IL N'Y A PAS DE SOLUTION

Posté par lolo248 lolo248

petit coffre : 482 pièces
moyen coffre : 3362 pièces
grand coffre : 6242 pièces

Posté par thiblepri thiblepri

Bonjour,
Je trouve:
Petit coffre: 482 pièces;
Moyen coffre: 3362 pièces;
Grand coffre: 6242 pièces.

Posté par LeDino LeDino


Ma proposition :

Petit coffre :   482  
Moyen coffre :  3362
Grand coffre :  6242


... Sauf erreur, je pense que cette solution correspond bien à la somme minimale. L'énigme Picsou me parait plus délicate (à prouver) que l'énigme Gripsou.

Merci pour ce duo d'énigmes .

Posté par Zofia Zofia

En notant p : le nombre de pièces dans le petit coffre
m : le nombre de pièces dans le coffre moyen
g : le nombre de pièces dans le grand coffre

La réponse est p = 482, m = 3362, g = 6242

On a bien m-p = g-m = 2880
p+m = 3844 = 62²
p+g = 6724 = 82²
m+g = 9604 = 98²

On a p+m+g = 10086

Ce nombre est minimal: en effet, on peut, en ayant trouvé cette solution au problème, se restreindre à la recherche de solutions avec p, m, et g inférieurs à 10086 (et encore, c'est large).

Les autres solutions trouvée avec cette contrainte sont les triplets (386,8450,16514) et (2162,7442,12722) dont les sommes p+m+g respectives sont 25350 et 22326.

Posté par Rodolphe Rodolphe

Bonjour,

je vais poster la même réponse que pour enigmo 203 : cela veut peut-être dire que je me suis trompé !

Petit coffre : 482 pièces

Moyen coffre : 3362 pièces

Grand coffre : 6242 pièces

Et encore merci et bravo pour ces énigmes fabuleuses.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

La réponse à celui-ci est : 482-3362-6242.

Posté par Noflah Noflah

Bonjour à tous,

Merci à Buzard qui propose une démonstration au résultat (valable pour l'énigme précédente je suppose), qui ressemble d'ailleurs du peu que j'ai lu au lien donné précédemment par Jamo.

Donc on aboutit bien à la même équation a²+b²=2*c², à l'exception que Buzard sait la résoudre ^^
J'ai pas vraiment compris les "triplets pythagoricien", je suppose que c'est une méthode que je ne connais pas encore.
Ceci dit même une fois la forme des solutions donnée (que je suis forcé d'admettre), je ne comprend pas comment tu démontres que la somme (ou chez picsou le plus petit entier) est minimal ?

Enfin j'ai l'impression que ta résolution me dépasse un peu. Bravo toutefois pour ce joli raisonnement. Et bravo à tous les participants, et surtout à Jamo

Posté par hhh86 hhh86

je me suis planté pour lmes 2 énigmes, j'ai du raté quelquechose dans les règles

Posté par hhh86 hhh86

je suis vraiment pas doué, confondre une addition et une soustraction

Posté par gloubi gloubi

Bonjour Noflah

Voici la procédure que j'ai utiliséé pour cette énigme (en Pascal sous Delphi)

for c:=1 to 11000
do for b:=c+1 to 11001
do
begin
   a:=2*b-c;
   if (abs(sqrt(a+b)-round(sqrt(a+b)))<1e-10)
   and (abs(sqrt(b+c)-round(sqrt(b+c)))<1e-10)
   and (abs(sqrt(a+c)-round(sqrt(a+c)))<1e-10)
   then memo1.lines.add(inttostr(a)+'  '+inttostr(b)+'  '+inttostr(c)+'  '+inttostr(a+b+c));
end;

Le résultat;

16514  8450  386  25350
6242  3362  482  10086
12722  7442  2162  22326

Tu vois qu'avec des valeurs de b et c <= 11001, je trouve un total de 10086.
Avec des valeurs > 11001, j'aurais nécessairement un total > 10086.

Evidemment, j'ai tâtonné pour trouver cette valeur de 11000 ...  
En fait, je l'ai même choisie après être sûr que 10086 était bien le minimum.
J'avais dû prendre des valeurs initiales de l'ordre de 100 000.
A+  

Posté par Noflah Noflah

Bonjour Gloubi,

Comme écris dans le topic sur Picsou à Ledino, j'ai également procédé par résolution informatique pour obtenir le résultat. Je m'intéresse plutôt à une résolution mathématique.


J'aime bien ta façon de déceler les carrés parfaits
Pourquoi le choix d'une marge de 10^(-10) et pas 10^-5 ou -15 par exemple ? C'est arbitraire ou c'est parce que tu connais les limite du pascal ?

J'ai personnellement été plus confiant :

let perfectsquare n = if sqrt(float_of_int n) -. float_of_int(int_of_float(sqrt(float_of_int n) )) = 0. then true else false ;;
Je n'ai pas hésité à mettre "=0", mais j'ai vérifié au préalable qu'avec de grands nombre la procédure était fiable.
Sinon le plus sûr est de dresser une liste des carrés parfaits et d'y effectuer une recherche, mais c'est long !