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Injection et bijection


licenceInjection et bijection

#msg3091128#msg3091128 Posté le 05-07-10 à 11:37
Posté par ProfilXenon54 Xenon54

Bonjour à tous !

Hier matin, j'ai consulté un cours de niveau L1 (en fac de maths) et dans le deuxième chapitre, sur la notion d'ensemble -que je crois avoir comprise - le prof parle d'application bijective et d'application injective... Je crois avoir compris que c'était en rapport avec le nombre d'antécédants et d'images que pouvait avoir une fonction... mais je n'arrive pas à voir mieux... Pourriez-vous m'éclaircir sur ce point ?

Merci d'avance !

Germain
re : Injection et bijection #msg3091135#msg3091135 Posté le 05-07-10 à 11:47
Posté par Profilthiblepri thiblepri

Bonjour,
On dit que f est injective de E dans F si deux éléments distincts de f(E) (qui est donc inclus dans F) ont deux antécédents distincts.
On dit que f est surjective si f(E)=F.
On dit que f est bijective si elle est surjective et injective.

Moi j'aurais une question, pourquoi te demandes-tu cela alors que tu es en seconde?
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re : Injection et bijection #msg3091136#msg3091136 Posté le 05-07-10 à 11:49
Posté par ProfilXenon54 Xenon54

Je vois mieux, merci

Je ne suis pas en seconde, je viens de passer mon bac et je m'intéresse aux premiers cours de fac, mais j'ai pas actualisé mon profil depuis longtemps...
re : Injection et bijection #msg3091140#msg3091140 Posté le 05-07-10 à 11:52
Posté par Profilthiblepri thiblepri

Ah ok!! Très bien alors!
Tu pourrais, comme ça, donner une application injective (et non surjective), une application surjective (mais non injective) et une application bijective?
re : Injection et bijection #msg3091156#msg3091156 Posté le 05-07-10 à 12:03
Posté par ProfilXenon54 Xenon54

Alors, (rien de sûr hein !) :

Comme application injective, je pourrais donner exp (x) (Tous les éléments sont distincts dans cette fonction)

Comme application surjective : x^3 (Puisque f(E), qui est dans = F (qui est aussi dans )

Et comme application bijective, n'importe quelle fonction affine puisque ses éléments sont tous distincts, et ils sont tous dans le même ensemble.

C'est juste ???
re : Injection et bijection #msg3091162#msg3091162 Posté le 05-07-10 à 12:06
Posté par ProfilLeHibou LeHibou

Bonjour,

x^3 de dans est en fait bijective, essaye d'en trouver une qui soit surjective mais non injective...
re : Injection et bijection #msg3091163#msg3091163 Posté le 05-07-10 à 12:11
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Bonjour.

Pour la notion de fonction injective et surjective, il est important de bien préciser l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée de la fonction.

Pour l'exponentielle, si on considère que l'ensemble d'arrivée est \mathbb{R}, elle n'est pas surjective, alors que si on la considère comme fonction à valeurs dans ]0,+\infty[, elle devient surjective.

re : Injection et bijection #msg3091166#msg3091166 Posté le 05-07-10 à 12:13
Posté par ProfilRodolphe Rodolphe

Bonjour Xenon54,

thiblepri t'a demandé une application injective et non sujective. La fonction exponentielle est bien injective mais elle est aussi surjective car y]0 ; +[ x tel que exp(x) = y.

Et pour ta fonction xx3 ,elle est également injective.

Je te laisse proposer d'autres applications en réfléchissant bien aux définitions que t'as données thiblepri
re : Injection et bijection #msg3091167#msg3091167 Posté le 05-07-10 à 12:14
Posté par ProfilXenon54 Xenon54

Je dirais (puisqu'il faut raisonner en termes d'ensembles et de sous ensembles) que la fonction x^2 prise sur l'intervalle [4;5] peut être qualifiée de surjective (???)

-Je ne comprend pas la réponse, pour l'exponentielle, sur R (et R+)- :s
re : Injection et bijection #msg3091169#msg3091169 Posté le 05-07-10 à 12:15
Posté par ProfilNoflah Noflah

Oui c'est juste, sauf que x^3 est également bijective (et pas seulement surjective ...).
Donc une application seulement surjective ? Tu as une idée ?

Pour aller plus loin, puisque tu as donné l'exemple de l'exponentielle :
Tu as vu au lycée que l'exponentielle admet une fonction réciproque : le logarithme népérien. Tu verras qu'une fonction ne peut admettre une fonction réciproque que si elle est BIJECTIVE. Tu as pourtant dit plus haut que l'exponentielle était seulement injective, ce qui est également juste.

Alors, exponentielle injective ou bijective ??
Et bien ça n'a pas de sens, la notion de fonction définit au lycée doit être rendu un peu plus rigoureuse : une fonction ce n'est pas seulement f(x)=[...]. Une fonction c'est cela :

f : E -> F
    x -> f(x)

L'ensemble de départ et d'arrivée sont partie intégrante de la fonction. Aussi :
exp : R -> R         est injective
      x -> e^x  
exp : R -> R+
      x -> e^x       est bijective.
C'est d'ailleurs pour ça que sa fonction réciproque est définie ainsi :
ln : R+ -> R
     e^x -> x

Voilà juste un petit complément
Sinon pour bien voir les notions de surjective/injective au début, ce que je te conseil c'est de travailler avec des ensembles finis :

Injection et bijection
re : Injection et bijection #msg3091170#msg3091170 Posté le 05-07-10 à 12:16
Posté par ProfilNoflah Noflah

Arf, le temps d'écrire y a eu du monde ^^ le temps de faire le dessin aussi. Bonjour à tous
re : Injection et bijection #msg3091172#msg3091172 Posté le 05-07-10 à 12:18
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Une fonction de E dans F est surjective si tout élément de F possède un antécédent.

Il est clair qu'un nombre strictement positif possède toujours un antécédent par l'exponentielle, et donc que la fonction exponentielle \exp \,:\, \mathbb{R} \to ]0,+\infty[ est surjective, alors que n'importe quel nombre négatif ne possède pas d'antécédent, et donc que la fonction \exp \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R} n'est pas surjective.

En espérant être plus clair.
re : Injection et bijection #msg3091173#msg3091173 Posté le 05-07-10 à 12:18
Posté par ProfilXenon54 Xenon54

Je vais aller manger je réfléchirais à tout ça cet après-midi

Merci pour vos réponses et votre aide !
re : Injection et bijection #msg3091175#msg3091175 Posté le 05-07-10 à 12:23
Posté par Profilcritou critou

Bonjour,

Quand on parle d'ingectivité / surjectivité, on précise toujours les ensembles de départ et d'arrivée.

Surjective : tout élément à l'arrivée a un antécédent (au moins) dans l'ensemble de départ
Injective : aucun élément à l'arrivée n'a plusieurs antécédents dans l'ensemble de départ (ie : tout élément à l'arrivée a un antécédent au plus)

Exemple :

La fonction carré x->x2 est surjective de R dans R+ (tout élément de R+ a un antécédent).
Elle n'est pas surjective de R dans R (car -1, par exemple, n'a pas d'antécédent).

De R dans R, elle n'est pas injective : en effet, par ex, -3 et 3 ont la même image (9) (autrement dit 9 a deux antécédents dans R).
Si par contre on la considère seulement de R+ dans R, elle devient injective.
re : Injection et bijection #msg3091198#msg3091198 Posté le 05-07-10 à 13:11
Posté par Profilthiblepri thiblepri

Salut à tous ceux qui viennent d'arriver.
@ Xenon54: Tout le monde t'a bien dit de préciser les ensembles de départ et d'arrivée.
re : Injection et bijection #msg3091234#msg3091234 Posté le 05-07-10 à 13:55
Posté par Profillolo271 lolo271

Une question à ce propos : est-ce qu'on définit les notion d'injectivité et de surjectivité pour les APPLICATIONS seulement ou plus généralement pour les FONCTIONS ?  

Je préfère la première solution sinon on aboutit à des choses un peu bizarre mais après tout pour quoi pas ?

Exemple E= { 1,2,3}  f  définie par  f(1)=1, f(2)= 3   vers l'ensemble {1,3}  est une FONCTION injective ET surjective NON bijective !!
re : Injection et bijection #msg3091236#msg3091236 Posté le 05-07-10 à 14:01
Posté par Profilthiblepri thiblepri

Euh... je crois que tu veux dire l'inverse. Une fonction est une application mais le contraire est faux. Donc cette notion s'applique (ahaha) aux fonctions et, plus généralement, aux applications.

Ensuite, surjective et injective=> bijective
re : Injection et bijection #msg3091238#msg3091238 Posté le 05-07-10 à 14:02
Posté par Profillolo271 lolo271

NON une application est une fonction définie partout .
re : Injection et bijection #msg3091241#msg3091241 Posté le 05-07-10 à 14:04
Posté par Profillolo271 lolo271

et l'exemple que je donne explique que bijective = injective+ surjective n'est vraie que pour les applications (en général)
re : Injection et bijection #msg3091242#msg3091242 Posté le 05-07-10 à 14:05
Posté par ProfilXenon54 Xenon54

J'ai lu toutes vos réponses et en ait fait un mélange pour mieux comprendre -ça a sûrement réussi ?- :

comme fonction surjective :

Sur Df = [-;+] la fonction sin (x) puisqu'elle admet 3 antécédants pour l'image 0 (-pi, 0 et pi)

Comme fonction injective, sur l'intervalle [0;5], la fonction 2x admet un seul antécédant en 6 -qui est 3- par exemple...

(J'étais en E.S, y a t'il un rapport avec le théorème des valeurs intérmédiaires ?)

Merci pour tout !
re : Injection et bijection #msg3091244#msg3091244 Posté le 05-07-10 à 14:05
Posté par ProfilNoflah Noflah

Il y a un problème de définition : pour moi une application est une fonction partout définie, donc je suis de l'avis de lolo271.
D'ailleurs pour répondre à sa question : je pense qu'il vaut mieux se restreindre aux applications justement, ce serait stupide de considérer un intervalle de départ dans lequel la fonction n'est pas définie en tout point, d'ailleurs lorsque l'on étudie une fonction, première chose donner l'espace de définition.

Sinon on aboutit à des bizarrerie comme tu dis, et comme l'illustre bien ton exemple.
re : Injection et bijection #msg3091250#msg3091250 Posté le 05-07-10 à 14:09
Posté par ProfilNoflah Noflah

Bonjour Xenon,

fonction surjective : tu as bien compris avec toutes nos remarques qu'il fallait préciser l'espace de départ, mais aussi d'arrivée ! (cf mon premier post dans ce topic)
Ici sin(x) est surjective sur [-pi;pi] à condition que tu prenne comme intervalle d'arrivée [-1;1] par exemple.
De plus le fait qu'un réel ait 3 antécédents ne rend aucunement la fonction surjective, il faut plutôt montrer que TOUT réel de l'intervalle d'arrivée (d'où l'importance de le préciser) admet un antécédent.

fonction injective : encore une fois précise l'arrivée. Et la fonction 2x est toujours non seulement injective mais aussi BIJECTIVE sur l'intervalle que tu considère. Je n'ai pas bien compris la fin de ta phrase d'ailleurs.
re : Injection et bijection #msg3091251#msg3091251 Posté le 05-07-10 à 14:09
Posté par Profilthiblepri thiblepri



Lire ce qui commence par:
Citation :
S'appuyant sur cet avis, les mathématiques modernes des années 1970 distinguent alors deux objets différents
re : Injection et bijection #msg3091254#msg3091254 Posté le 05-07-10 à 14:13
Posté par Profilthiblepri thiblepri

Et du coup, toutes mes excuses pour mon post de 14:01, c'est l'inverse
re : Injection et bijection #msg3091255#msg3091255 Posté le 05-07-10 à 14:14
Posté par ProfilNoflah Noflah

Citation :
la fonction : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède au plus une image. L'ensemble des éléments de E possédant une image est alors appelé domaine de définition de la fonction
l'application  : définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivée F et une relation de E vers F dans laquelle chaque élément de E possède une image et une seule


L'application donne une image à tout élément de E, tandis que la fonction donne une image ou pas d'image.
Donc l'application est bien une "fonction partout définie" ce qui appuie la définition proposé par lolo et moi même.
re : Injection et bijection #msg3091258#msg3091258 Posté le 05-07-10 à 14:15
Posté par ProfilNoflah Noflah

Ah d'accord, excuse moi thiblepri je n'avais pas vu ta conclusion ^^
re : Injection et bijection #msg3091261#msg3091261 Posté le 05-07-10 à 14:18
Posté par ProfilXenon54 Xenon54

Je ne comprend pas "l'arrivée", ce n'est pas pi, dans [-pi;pi] ?

Il est vrai que 2x est bijective, je l'ai vu trop tard...


Ce que je voulais dire, c'est qu'en cours, on a vu un théorème qui explique que pour toute fonction strictement croissante (ou strictement décroissante), sur un intervalle donné, un seul antécédant correspond à une seule image... Du coup, j'y voyais un rapport.
re : Injection et bijection #msg3091262#msg3091262 Posté le 05-07-10 à 14:22
Posté par ProfilNoflah Noflah

En effet, c'est le théorème des valeurs intermédiaire qui te donneras par la suite le théorème :
"une fonction strictement monotone de R dans R est injective".

Seulement la notion de bijective, injective, surjective se généralise à beaucoup d'autres ensemble que R, ensembles dans lequel le théorème des valeurs intermédiaire n'a même plus de sens.

Je te réécris ce qu'il y a dans mon post plus haut :

Une fonction c'est :

f : E -> F
    x -> f(x)

L'ensemble de départ c'est E=[-pi;pi] dans ton cas
L'ensemble d'arrivée c'est F.

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