Enigmo 210 : Pas de milieux

Posté par jamo jamo

Bonjour tout le monde,

sur une grille à mailles carrées, on considère l'ensemble des points situés aux intersections des lignes et colonnes.

L'objectif est de choisir 5 points de telle sorte que les milieux de tous les segments obtenus à l'aide de ces 5 points ne tombent jamais sur un des points de la grille.

Par exemple, sur la figure ci-dessous, j'ai choisis les 5 points A, B, C, D et E en rouge, et j'ai tracé en bleu tous les segments possibles avec ces 5 points.
Alors ces 5 points ne conviennent pas car le milieu du segment [AD] est situé sur un des points de la grille.

Vous pouvez me répondre en image, ou en me donnant les coordonnées entières des 5 points en utilisant un repère.
De plus, la grille ne se limite pas au dessin ci-dessous, mais il faut la considérer comme infinie, donc les points peuvent être très éloignés les uns des autres, d'où la nécessité d'utiliser leurs coordonnées.
Comme d'habitude, s'il existe plusieurs solutions, une seule suffira, et si le problème est impossible, vous me répondrez "problème impossible".


Bonne recherche !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On peut traduire le pb en disant que la somme des deux coordonnées x1+x2 et y1+y2 de chaque couple de points ne doivent pas être paires toutes les deux.
C'est le cas ssi x1 et x2 ou y1 et y2 ne sont pas de même parité.
Il y a 4 possibilités de parités différentes pour les 4 premiers points :
PP,IP,PI,II.
Les coordonnées du 5ème point prendront une des valeurs de parités précédentes.

Donc le problème est impossible.

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour Jamo,

Je pense que le problème est insoluble.

Je n'ai pas de démonstration rigoureuse mais je pense qu'il faut que les sommes des abscisses deux à deux et que les sommes des ordonnées deux à deux ne soient jamais paires ensemble.
Du coup, comme il n'y a que 4 combinaisons possibles pour la parité des coordonnées des points (P P, P I, I P, I I), avec 5 points on finit toujours par tomber sur une somme du type P P.

Je ne sais pas si je suis très clair

Merci beaucoup.

Posté par LeDino LeDino

Bonjour,

Le probleme n'admet pas de solution.

Les points du maillages sont équivalents par leurs coordonnées modulo 2. Les quatre points 00 01 10 11,  forment avec leurs équivalents, une couverture complète du maillage.

Un probleme sur mesure pour nofutur2, qui aime bien répondre "problème impossible" ces derniers temps ...

Posté par rezoons rezoons

Bonjour

je répond problème impossible.
en effet, quand on choisit un point (ici points rouge) on en élimine une infinité d'autres comme sur le schéma (ici points verts)

donc quand on choisit 4 points respectants les conditions il n'y a plus aucune case disponible pour le cinquième donc problème impossible.

Posté par Rodolphe Rodolphe

, une fois n'est pas coutume si mon raisonnement est bon !

Merci Jamo et bonne journée.

Posté par totti1000 totti1000

Salut Jamo,
Je propose "problème impossible".

Posté par Noflah Noflah

Bonjour Jamo,


Je dirais : "Problème Impossible"

En effet, lorsque l'on place un point P(x,y), alors l'ensemble des points P' tels que le milieu de [PP'] soit sur un sommet du grillage (coordonnées entières) est l'ensemble des points P'(x',y') tels que x' et x sont de mêmes parités, y et y' sont de mêmes parités.

Il y a donc seulement 4 cas possibles : (pair,pair) (pair,impair) (impair,pair) (impair,impair)
Tout 5e points aura la même "forme" qu'un des 4 précédents, et il y aura donc toujours un milieu sur le grillage.

Merci pour l'énigme C'est ma première où il n'y a pas de solution ! Je ne sais pas s'il y en a déjà eu de telles.

Posté par caylus caylus

Bonjour Jamo,

sans conviction, car je n'ai pas la démonstration:

PROBLEME IMPOSSIBLE.
Merci pour l'énigme et le joli poisson.

Posté par caylus caylus

J'en suis maintenant convaincu.(Théorème des 10 milieux)

Posté par Eric1 Eric1

C'est une histoire de parité.
Soit P pair, et I impair.
(P,I) signifie la coordonnée x paire, et la coordonnées y imapire.

A une dimension, on ne peut mettre que deux points (un pai et un impair)
A 2 dimensions, on peut mettre 4 points (P,P); (P,I); (I,P); (I,I)
On ne peut pas placer le cinquième point.

Pour n dimensions, on pourra placer 2^n points, et le 1+2^n point ne sera pas plaçable.

Ebauche de démo:

Deux points (n-uplets) de même parité on un milieu entier.
En effet soient A(a1,a2,a3,...an) et B(b1,b2,b3,...bn)

Le milieu est C(,,,...)

Comme A et B sont de même "n-parité", alors pour tout i, bi+ai est pair

donc pour tout i, est entier

Donc C appartient à la grille a n dimensions.

Deux points (n-uplets) de même parité on un milieu entier.




Ainsi:

Problème impossible.

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Il semblerait que c'est impossible
A+

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Jamo,

C'est un problème impossible.

Posté par dpi dpi

Bonjour,
Aux symétriques près
Soit x/y avec 0  orthonormé
1/2
9/5
4/9
1/8
0/6

Posté par special_20 special_20

Soient et deux points quelconques du plan. Les coordonnées du milieu du segment sont données par les formules :

et

Alors est à coordonnées entières si et seulement si et sont tous les deux à la fois pair ou à la fois impair et et sont tous les deux à la fois pair ou à la fois impair (*)

D'autre part lorsque l'on choisit un point quelconque du plan à coordonnées entières on est dans l'une des situation suivantes :

; ; ; (**)

Ainsi si l'on choisit quatre points tels que les milieux des segments formés ne soient pas à coordonnées entières on doit être nécessairement dans cette situation :



Maintenant si l'on choisit un cinquième point on est dans l'une des situations données en (**) et donc d'après (*) on en conclut que le segment formé avec et l'un des quatre points a son milieu à coordonnées entières.

Donc si l'on choisit cinq points du plan, au moins l'un des milieux des segments formés par ces points sera à coordonnées entières.

Posté par 13or 13or

Bonjour jamo,
problème impossible.

Explication :
-En notant (0,0) les coordonnées du 1er point placé, cela élimine pour les points suivants tous les (2m, 2n) avec m et n entiers relatifs
-Les points possibles ensuite sont du type (2m+1,2n), (2m, 2n+1) ou (2m+1,2n+1)
-En choisissant le 2e point parmi ces 3 types, ça élimine ensuite ce type pour les points suivants. Il reste alors 2 types possibles.
-Ainsi de suite, après 4 points, cela élimine tous les types possibles

Posté par jamilhaddad jamilhaddad

Boniour
Un point n'est pas sur la grille si son abscisse ou son ordonnée n'est pas un entier.
Une abscisse ou une ordonnée du milieu d'un segment doit être de la forme :
(impair+pair)/2  ou  (pair +impair)/2 ce qui peut couvrir 2x2=4 points.
Puisqu'on donne cinq points, alors le problème est impossible

Posté par Jeanbaptiste Jeanbaptiste

bonjour!

C'est possible. Prener un point X. Décaler vous de 5 Unité sur la droite (dans le sens de droite) (X compris dans les cinq). Monté de 1 unité (vers le haut), creer votre point X1. Après, décaler vous sur la droite de 4 unité (X1 compris dans les 4), monté de 1 unité, creer X2, décaler vous de 3 unité sur la droite  (X2 compris dans les trois), monté de 1 unité, creer votre point X3. Decaler vous de 2 unité sur la droite, (X3 compris dans les deux), monté de 1 unité, et creer votre dernier point X4. En les reliant tous ensemble, jamais un milieu de segment passe par une intersection de la maille

Posté par Rumbafan Rumbafan

Bonjour,

Il n'y a pas de solution


en effet si le premier point est P1(0;0)
toutes les coordonnées (2n;2m) n et m entiers en dehors de lui sont à exclure car un point ainsi placé définirait avec P1 un segment dont le milieu serait (n;m)

prenons P2(1;0)
toutes les coordonnées (2n+1;2m) n et m entiers en dehors de lui sont à exclure (raisonnement analogue par  rapport à P2)

prenons dès lors P3(0;1)
toutes les coordonnées (2n;2m+1) n et m entiers en dehors de lui sont à exclure (id)

Les seules coordonnées restant disponibles pour les points suivants sont du type (2n+1;2m+1) n et m entiers
choisissant P4 dans cette famille fait que toutes les autres possibilités doivent être exclues

==> il n'y a pas de possibilité de choix d'un cinquième point P5

Bonne journée et merci pour toutes vos colles

A+

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Le problème est impossible.
Les coordonnées des points sont d'un des quatre types : (pair;pair), (pair;impair), (impair;pair), (impair;pair).
Parmi cinq points, deux au moins sont du même type. La somme des abscisses et la somme des ordonnées de ces deux points sont paires. Les moyennes de leur coordonnées respectives, moyennes qui sont aussi celles du point au milieu d'eux, sont entières et le milieu est un point du quadrillage.
Cette amusette fut signalée par l'ancienne revue Jeux & Stratégies.

Posté par infophile infophile

Bonjour

Problème impossible d'après le principe des tiroirs.

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

je pense que le problème est impossible.

En effet, si (x1,y1),...,(x5,y5) sont les coordonnées de 5 points, alors il y a forcément deux points dont les coordonnées sont les memes modulo 2 (car il n'y a que quatre éléments dans {0,1}X{0,1}). Le milieu du segment reliant ces deux points est donc à coordonnées entières.

Merci pour l'énigmo,
1emeu

Posté par Jalex Jalex

Problème sans solution

Il faut remarquer que le milieu de deux points du quadrillage "tombe" sur le quadrillage si, et seulement si, les deux points en question ont des abscisses de même parité et des ordonnées de même parité. Si on choisit cinq points parmi les types (P;P),(P;I),(I;P) et (I;I) (au niveau des parités, par exemple (P;I) indique un point d'abscisse paire et d'ordonnée impaire), alors il y aura forcément deux points de même type et leur milieu se trouvera sur le quadrillage !  

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Ma réponse: "problème impossible"  

Posté par sanantonio312 sanantonio312

Chaque fois que j'ai choisi "impossible", j'ai eu droit à
Donc, en breton têtu, je propose: Impossible.

Posté par antoninbecile antoninbecile

Le repère est à maille carré, il est donc orthonormé. Chaque point de la grille est repéré par des coordonnées entières.
Les 5 points choisis ont des coordonnées entières. Leur abscisse et leur ordonnées ont donc une parité.

Tout couple de points A et B distincts forment un segment dont le milieu a pour coordonnées
avec x l'abscisse et y l'ordonnée.

Or on choisit les 5 points de telle manière que les milieux de tous les segments qu'ils définissent aient au moins une de leurs coordonnées non-entière, car si les deux coordonnées sont entières, le milieux est sur un point de la grille.

Pour qu'un milieu ait des coordonnées non-entières, il faut que les abscisses des points A et B et/ou les ordonnées des points A et B n'aient pas la même parité.

Posons a,b,c,d,e et a',b',c',d',e' les abscisses et les ordonnées des points A,B,C,D et E.
Si a,b,c,d,e ont la même parité alors a',b',c',d',e' doivent nécessairement avoir des parités deux à deux différentes, ce qui n'est pas possible.
Si a a une parité différente de b,c,d,e, alors b',c',d',e' ont des parités différentes deux à deux ce qui n'est encore une fois pas possible.
Si a et b ont une parité différente de c,d,e, alors a',b' ont des parités distinctes (ce qui est possible) ainsi que c',d',e' (ce qui est impossible).

Ainsi tous les cas s'avère impossible. On en conclut qu'un pareil quintuplet ne peut exister.

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

J'aurais mieux fait de prendre des vacances.  

Posté par pierrecarre pierrecarre

Bonjour !

" Problème impossible ".

Cordialement,

r².

Posté par carpissimo carpissimo

A priori, je ne trouve pas de solutions.

Si 5 points A, B, C, D, E avec pour contraintes celle de l'ennoncé.
Il faut que la moitié des différences des coordonnées soit différente d'un entier au minimum en X ou en Y.
Pour cela je trouve :
(p-p')/2=entier
(p-i)/2entier
(i-i')/2=entier
soit :
Xa;Ya paire, paire
Xb;Yb paire, impaire - ok avec A Yentier
Xc;Yc impaire, paire - ok avec A Xentier ; ok avec B XetYentier
Xd,Yd impaire, impaire - ok avec A XetYentier ; ok avec B Xentier ; ok avec C Yentier
Jusque là tout va bien
Xe,Ye toutes les combinaisons ont été faites avec pp, ip, pi, ii ; ce qui quelque soit le point choisit je me retrouve dans un cas existant où la dif/2 sera entiere en Y et X ce qui me positionne le mileu du segment sur un point.

En espérant ne pas faire le boulet de service

@++

Posté par torio torio

problème impossible.

P = pair
I = impair

il y a 4 types de points selon que les coordonnées sont paires ou impaires

<P;P>   <P;I>   <I;P>  <I;I>

En choisissant 5 points, il y aura deux points du même type

<x;y>  et <xx;yy>    
avec x même parité que xx
et y même parité que yy


x+xx sera pair      y +yy sera pair  et le milieu de ces points est

< (x+xx)/2  ; (y+yy)/2 > de coordonnées entières.

A+
Torio

      

Posté par jonjon71 jonjon71

Bonjour,

Bon allez je me lance et tant pis pour le poisson. Voici ma réponse :

Problème impossible.

Voilà !

Merci.

Posté par Z-Karya Z-Karya

La solution est : "problème impossible"

Posté par Samito Samito

"problème impossible"

Ca flaire le , mais bon...
J'attends de voir la ou les solution(s).

Sinon, à part ça, merci Jamo pour toutes ces belles énigmes.

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Dans ma deuxième réponse, je m'aperçoit qu'il manque 2 segments, un d'entre eux ayant le milieu sur un point.

Si ma première réponse était bonne(???), je comprendrais néanmoins d'être gratifié d'un .

C'est pas possible d'être aussi nul.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

En effet, et c'est rare que j'en propose un, ce problème est impossible !

On peut s'en convaincre en étudiant, selon la parité de a et b, si (a+b)/2 est entier ou pas, ce qui conduit à pouvoir placer uniquement 4 points, et pas 5.

Quel est l'intérêt de proposer une énigme où la réponse n'existe pas ?

Tout d'abord à réfléchir, à chercher, et à essayer de s'en convaincre pour oser répondre que c'est impossible.

Posté par dpi dpi

Comme d'habitude
Tout allait bien jusqu'à ce que 1/2 1/8
ait bien sûr un milieu sur un point interdit.

Posté par LeDino LeDino


Je cite Jeanbaptiste (Posté le 20-07-10 à 10:44) :



Je crois qu'un poisson s'impose ...
Je sais que c'est pas beau de cafter ...
Mais si on l'encourage quand il dit une bêtise... comment progressera-t-il ?

Posté par jamo jamo

J'ai hésité pour noter cette réponse.

Parce qu'il répond "c'est possible", alors que le problème est impossible, mais ensuite il donne des explications pour montrer que c'est impossible ...

Donc j'hésite ...

Posté par LeDino LeDino

Bonjour jamo.

Je ne crois pas que JB cherche à expliquer que c'est impossible... je pense au contraire qu'il donne une solution qu'il pense viable, en plaçant 5 points X, X1, X2, X3, X4 par "déplacements relatifs"...

Il conclut d'ailleurs ainsi :

Citation :
En les reliant tous ensemble, jamais un milieu de segment passe par une intersection de la maille...

... ce qui semble signifier : "le milieu de tous les segments reliant ces points ne tombe jamais sur un point de la grille"... c'est à dire la propriété cherchée dans l'énoncé.

Mais bon, c'est pas moi l'chef ...

Posté par jamo jamo

Ah oui, en effet, j'ai vraiment eu du mal à le suivre ... donc voilà du poisson frais !

Posté par LeDino LeDino


... faut avouer que son langage est un peu "codé" ...

Celà dit, sa solution était "élégante" :

(0,0) +5 +1 (5,1) +4 +1 (9,2) +3 +1 (12,3) +2 +1 (14,4)

... il n'a juste pas vu que le segment X-X4 (14,2) a pour milieu (7,1)...

Posté par Eric1 Eric1

Bonjour Jamo,

En fait, c'est surtout rare qu'un Problème impossible n'ait que 2 étoiles

Donc plus difficile à déceller