Une identité !

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Une identité !

Posté le 28-07-10 à 12:46

Posté par elhor_abdelali

Bonjour

_{un exercice pour les vacances !}

montrer que $6$\blue\fbox{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{sin x}dx=2\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}}$

_{sauf erreur bien entendu}

re : Une identité !

Posté le 28-07-10 à 15:02

Posté par presquepartout

Bonjour,

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re : Une identité !

Posté le 28-07-10 à 19:32

Posté par bc92

Bonjour,

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Bruno

re : Une identité !

Posté le 31-07-10 à 13:48

Posté par elhor_abdelali

Bonjour ;

Utiliser un DSE de la fonction arctan est sans doute un moyen pour aboutir au résultat .

Peut on trouver une preuve niveau terminale ?!

re : Une identité !

Posté le 01-08-10 à 01:10

Posté par elhor_abdelali

Une idée :

considérer la suite de terme général $6$\fbox{I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{sin x}cos(2nx)dx}$

_{sauf erreur bien entendu}

re : Une identité !

Posté le 01-08-10 à 19:10

Posté par elhor_abdelali

on montre en effet assez facilement que pour tout entier naturel $n$ on a $6$\fbox{I_n-I_{n+1}=\frac{2(-1)^n}{(2n+1)^2}}$

_{sauf erreur bien entendu}

re : Une identité !

Posté le 03-08-10 à 14:56

Posté par bc92

Bonjour,

Elhor,

Chapeau, c'est très astucieux. Effectivement, ton I_n - I_(n+1) = ... se montre assez facilement en terminale.

Comme on cherche I_0, il faut faire la somme télescopique des (I_n - I_(n+1)), tout va bien mais il reste à montrer que I_n tend vers 0 quand n tend vers infini.

Je propose, en terminale, de montrer que la suite I_n est alternée positive négative, qu'on peut extraire les sous-suites adjacentes paires et impaires. Il faut donc prouver que ces deux suites sont adjacentes, de signe opposé, et en déduire que leur limite commune est 0. A mon avis, niveau terminale mais en mettant des questions intermédiaires appropriées.

A moins que tu ne voies une preuve plus directe que I_n tend vers 0 ?

Bruno

re : Une identité !

Posté le 03-08-10 à 21:28

Posté par Onoff

Bonsoir

Citation :
A moins que tu ne voies une preuve plus directe que I_n tend vers 0 ?

Une intégration par parties permet de s'en tirer. Cela étant, au niveau terminale, la justification de la continuité en 0 des fonctions qu'on intègre reste délicate.

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