fractions rationnelles
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fractions rationnelles
Posté le 28-07-10 à 18:56
Posté par 
latiatia latiatia
bonjour, quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment décomposer en éléments simples des fractions rationnelles (sur le corps des nombres réels) SVP?
Je n'y ai strictement rien compris et je n'arrive pas a trouver un cours qui l'explique.
Je dois, par exemple, décomposer des trucs de se style:
F2(x)=2x+1
(x²-1)3ce trois étant un puissance
merci à ceux qui voudrons bien m'expliquer comment procéder.
latiatia latiatiabonjour, quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment décomposer en éléments simples des fractions rationnelles (sur le corps des nombres réels) SVP?
Je n'y ai strictement rien compris et je n'arrive pas a trouver un cours qui l'explique.
Je dois, par exemple, décomposer des trucs de se style:
F2(x)=2x+1
(x²-1)3ce trois étant un puissance
merci à ceux qui voudrons bien m'expliquer comment procéder.
re : fractions rationnelles Posté le 28-07-10 à 23:06
Posté le 28-07-10 à 23:06Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Bonjour à vous deux,
mdr_non, je ne sais pas comment tu vas l'expliquer à latitia, mais personnellement, j'ai été amené à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues…
Finalement,^3} = \fr{3}{16(x - 1)} - \fr{5}{16(x - 1)^2} + \fr{3}{8(x - 1)^3} - \fr{3}{16(x + 1)} - \fr{1}{16(x + 1)^2} + \fr{1}{8(x + 1)^3})
(sauf erreur).
Je suis curieux de voir comment j'aurais pu résoudre cet exercice plus simplement.
Hiphigenie HiphigenieBonjour à vous deux,
mdr_non, je ne sais pas comment tu vas l'expliquer à latitia, mais personnellement, j'ai été amené à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues…
Finalement,
Je suis curieux de voir comment j'aurais pu résoudre cet exercice plus simplement.
(l'explication n'est pas "facile" ..)re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 09:49
Posté le 29-07-10 à 09:49Posté par mdr_non mdr_non
le degrés de notre dénominateur est supérieur à celui du numérateur.
x² - 1 "identité remarquable"
(x - 1)(x + 1)
-1 et 1 sont des pôles multiples, (d'ordre 3 > 1)
notre décomposition aura donc comme allure:
 = \frac{a}{(x - 1)} + \frac{b}{(x - 1)^2} + \frac{c}{(x - 1)^3} + \frac{d}{(x + 1)} + \frac{e}{(x + 1)^2} + \frac{f}{(x + 1)^3})
et on doit trouver comme Hiphigenie..
es ce compréhensible ?
mdr_non mdr_nonle degrés de notre dénominateur est supérieur à celui du numérateur.
x² - 1 "identité remarquable"
(x - 1)(x + 1)
-1 et 1 sont des pôles multiples, (d'ordre 3 > 1)
notre décomposition aura donc comme allure:
et on doit trouver comme Hiphigenie..
es ce compréhensible ?
re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 10:01
Posté le 29-07-10 à 10:01Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Hiphigenie HiphigenieCitation :
et on doit trouver comme Hiphigenie..
es ce compréhensible ?
C'est fou ce que tu es généreux dans tes explications... surtout quand tu écris "et on doit trouver comme Hiphigenie" et on doit trouver comme Hiphigenie..
es ce compréhensible ?
re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 10:11
Posté le 29-07-10 à 10:11Posté par mdr_non mdr_non
..
j'ai fais les vérifications..
--------------------------
en superposant les graphes de
3/(16(x - 1)) - 5/(16(x - 1)^2) + 3/(8(x - 1)^3) - 3/(16(x + 1)) - 1/(16(x + 1)^2) + 1/(8(x + 1)^3)
et
(2x + 1)/(x^2 - 1)^3
et en calculant pour x = 13; x = 21
--------------------------
on obtient les même résultats..
mdr_non mdr_non..j'ai fais les vérifications..
--------------------------
en superposant les graphes de
3/(16(x - 1)) - 5/(16(x - 1)^2) + 3/(8(x - 1)^3) - 3/(16(x + 1)) - 1/(16(x + 1)^2) + 1/(8(x + 1)^3)
et
(2x + 1)/(x^2 - 1)^3
et en calculant pour x = 13; x = 21
--------------------------
on obtient les même résultats..
re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 10:28
Posté le 29-07-10 à 10:28Posté par thiblepri thiblepri
Bonjour à tous,
Suite à la remarque d'Hiphigenie:
J'ai eu un petit souvenir de maths sup, et plus particulièrement du prof de SI, qui nous avait dit pour faire ce genre de choses, d'étudier les limites et des valeurs particulières pour trouver a b c d e f
thiblepri thiblepriBonjour à tous,
Suite à la remarque d'Hiphigenie:
Citation :
mdr_non, je ne sais pas comment tu vas l'expliquer à latitia, mais personnellement, j'ai été amené à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues…
mdr_non, je ne sais pas comment tu vas l'expliquer à latitia, mais personnellement, j'ai été amené à résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues…
J'ai eu un petit souvenir de maths sup, et plus particulièrement du prof de SI, qui nous avait dit pour faire ce genre de choses, d'étudier les limites et des valeurs particulières pour trouver a b c d e f
re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 10:31
Posté le 29-07-10 à 10:31Posté par thiblepri thiblepri
Exemple simple:
1/(x²-1)= a/(x-1) + b/(x+1)
On multiplie à gauche et à droite de l'égalité par (x-1); et on prend x=1 (après).
On trouve a.
On reprend à 0. On multiplie à gauche et à droite de l'égalité par (x+1); et on prend x=-1 (après).
On trouve b.
Ah? C'est déjà fini??
thiblepri thiblepriExemple simple:
1/(x²-1)= a/(x-1) + b/(x+1)
On multiplie à gauche et à droite de l'égalité par (x-1); et on prend x=1 (après).
On trouve a.
On reprend à 0. On multiplie à gauche et à droite de l'égalité par (x+1); et on prend x=-1 (après).
On trouve b.
Ah? C'est déjà fini??
re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 10:43
Posté le 29-07-10 à 10:43Posté par mdr_non mdr_non
par exemple
y = x - 1
3$ \rm f(x) = \frac{a}{(y)} + \frac{b}{(y^2} + \frac{c}{(y^3} + \frac{d}{y + 2} + \frac{e}{((y + 2)^2} + \frac{f}{(y + 2)^3}
ensuite mettre sous un même dénominateur (on perd beaucoup de x.. et gagne de place )
mdr_non mdr_nonpar exemple
y = x - 1
3$ \rm f(x) = \frac{a}{(y)} + \frac{b}{(y^2} + \frac{c}{(y^3} + \frac{d}{y + 2} + \frac{e}{((y + 2)^2} + \frac{f}{(y + 2)^3}
ensuite mettre sous un même dénominateur (on perd beaucoup de x.. et gagne de place )
re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 12:09
Posté le 29-07-10 à 12:09Posté par cailloux cailloux 
Bonjour,
Une méthode qui permet d' éviter le système d' Hiphigenie et de prendre des valeurs particulières pour
(mais où il reste pas mal de calculs):
On a donc:
^3(x+1)^3}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{c}{(x-1)^3}+\frac{d}{x+1}+\frac{e}{(x+1)^2}+\frac{f}{(x+1)^3})
On mutiplie les deux membres par^3)
et on prend 
On obtient
On mutiplie les deux membres par^3)
et on prend 
On obtient
Je suppose qu' Hiphigenie a fait la même chose.
On passe ensuite les deux termes calculés dans le membre de gauche:
^3(x+1)^3}-\frac{3}{8(x-1)^3}-\frac{1}{8(x+1)^3}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{d}{x+1}+\frac{e}{(x+1)^2})
Après réduction, on a une simplification (systématique) par(x+1)=x^2-1)
:
^2(x+1)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{d}{x+1}+\frac{e}{(x+1)^2})
Et on recommence:
On mutiplie les deux membres par^2)
et on prend
On obtient
On mutiplie les deux membres par^2)
et on prend
On obtient
On continue:
^2(x+1)^2}+\frac{5}{16(x-1)^2}+\frac{1}{16(x+1)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{d}{x+1})
Après réduction, on a encore une simplification (systématique) par:
(x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{d}{x+1})
On mutiplie les deux membres par
et on prend
On obtient
On mutiplie les deux membres par
et on prend
On obtient
Bon, je ne suis pas vraîment sûr que c' est plus rapide que la méthode d' identification...
cailloux cailloux Bonjour,
Une méthode qui permet d' éviter le système d' Hiphigenie et de prendre des valeurs particulières pour
On a donc:
On mutiplie les deux membres par
On obtient
On mutiplie les deux membres par
On obtient
Je suppose qu' Hiphigenie a fait la même chose.
On passe ensuite les deux termes calculés dans le membre de gauche:
Après réduction, on a une simplification (systématique) par
Et on recommence:
On mutiplie les deux membres par
On obtient
On mutiplie les deux membres par
On obtient
On continue:
Après réduction, on a encore une simplification (systématique) par
On mutiplie les deux membres par
On obtient
On mutiplie les deux membres par
On obtient
Bon, je ne suis pas vraîment sûr que c' est plus rapide que la méthode d' identification...
re : fractions rationnelles Posté le 29-07-10 à 13:21
Posté le 29-07-10 à 13:21Posté par Hiphigenie Hiphigenie
Bonjour cailloux
Je ne l'ai évidemment point fait ... Je n'avais que les valeurs immédiates de c et de f
D'où, la longueur de la résolution !
Merci cailloux.
Hiphigenie HiphigenieBonjour cailloux
Citation :
On passe ensuite les deux termes calculés dans le membre de gauche:
On passe ensuite les deux termes calculés dans le membre de gauche:
Je ne l'ai évidemment point fait ... Je n'avais que les valeurs immédiates de c et de f
D'où, la longueur de la résolution !
Merci cailloux.
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