Raisonnement par récurrence

Posté par J-D J-D

Bonsoir à tous

J'ai besoin d'explications pour cet exercice où je ne comprends pas la correction :



Voici la correction proposée :

Démontrons par récurrence : pour tout entier n supérieur ou égal à 4 :  2ⁿn²

* Initialisation :http://www.ilemaths.net/forum-nouveau-topic.php

2₄ = 16 et 4² = 16, donc 2₄  4²
La propriété " 2ⁿ n² est donc vérifiée si n = 4

* Hérédité :

Soit p un entier supérieur ou égal à 4.
Supposons : 2^p+1 ( p + 1 )² , et démontrons 2^p+1 ( p + 1 )².
On a 2^p+1 = 2 x 2^p, donc d'après l'hypothèse de récurrence :
2^p+1 2p² pour démontrer : 2^p+1 ( p + 1 )², il suffit de prouver 2p² ( p+1 )².

D'une part 2p² ( p+1)² 2p² p² + 2p +1 p² - 2p 1 0.

D'autre part la fonction polynome f : x x² -2x +1 est croissante sur [ 1 ; + [ et f(4) = 16 -8 + 1 = 9, ce qui implique que f est positive sur [ a ; + [, p étant supérieur ou égal à on peut affirmer : f( p ) C'est à dire 2p² ( p +1 )².

Je ne comprends pas du tout comment on peut utiliser la fonction f : x x² - 2x + 1 dans ce cas ..
De mon coté j'ai du faire un tableau de signe et faire une méthode assez " forcing ".

Bref si vous pouviez éclairer ma lanterne

Merci d'avance !


Jade

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Bonsoir Jade,

Quelques fautes (de frappe ?) dans le début ...

et tu en étais arrivé ici : il suffit de prouver 2p² ( p+1 )².

Il faut donc démontrer que 2p² p² + 2p + 1, soit p² - 2p - 1   0.

Le tableau de signe du trinôme montre que p² - 2p - 1   0 si p   .

Comme p 4, …

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

... et moi, deux fautes d'orthographe

et tu en étais arrivée ici (je viens de regarder ton profil)

Le tableau de signes du trinôme  

Posté par J-D J-D

Bonsoir

Oui désolée pour les fautes d'orthographes j'ai pas utilisé le Latex mauvaise idée :s
Bref, oui j'ai fait comme toi mais je ne comprends pas pourquoi le corrigé passe par la fonction x² - 2x + 1

Merci pour ton aide !


Jade

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Voici un texte rafraîchi

* Initialisation
2⁴ = 16 et 4² = 16, donc 2⁴ 4²
La propriété " 2ⁿ n² est donc vérifiée si n = 4

* Hérédité :

Soit p un entier supérieur ou égal à 4.
Supposons : 2^p p² , et démontrons 2^p+1 ( p + 1 )².
On a 2^p+1 = 2 x 2^p, donc d'après l'hypothèse de récurrence,2^p+1 2p²
Pour démontrer : 2^p+1 ( p + 1 )², il suffit de prouver 2p² ( p+1 )².

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Il y avait quand même une faute dans la supposition de l'hérédité...

Supposons : ...

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Et je reviens sur l'orthographe.  

C'était dans mon post que se trouvaient les fautes...

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Hérédité
Sachant que 2ⁿ n²  il faut démontrer que 2ⁿ⁺¹ (n+1)²
*
2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ 2*n²
or 2n² (n+1)² car 2n²-(n+1)² = n²-2n-1  est > 0 pour n > 4 ( voir son graphe )
=>
cqfd
A+