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fonction définie comme une intégrale

   
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autrefonction définie comme une intégrale

#msg3100062 Posté le 28-07-10 à 23:32
Posté par Profilleeloo4444 leeloo4444

Bonsoir, je bloque sur l'exercice suivant
on me définit g(x) comme l'intégrale de x à x^2 de 1/t lnt
J'ai calculé l'intégrale avec un changement de variables et ej tombe sur :
ln (ln x^2) - ln (ln x)
et je simplifie en écrivant ln ( 2lnx / ln x) = ln 2
Je suis sûre qu'il y a une erreur mais je ne parviens pas à la trouver.
pourriez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100068 Posté le 28-07-10 à 23:48
Posté par ProfilNoflah Noflah

Bonjour leeloo,

Je me suis peut être également trompé mais je trouve :

g(x)=\int_x^{x^2} \frac{ln(t)}{t}dt = [ln(t)^2]_x^{x^2} - \int_x^{x^2} \frac{ln(t)}{t}dt = ln(x^2)^2-ln(x)^2 - g(x) \\ g(x)=\frac{3}{2}ln(x)^2


Sauf erreur de ma part :-/
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100075 Posté le 29-07-10 à 00:00
Posté par Profilleeloo4444 leeloo4444

je suis désolée j'ai mal écrit l'énoncé en fait c'est 1 / (t * ln t).
[quote][/quote]
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100076 Posté le 29-07-10 à 00:07
Posté par ProfilNoflah Noflah

Ah d'accord ! Je cherche et je te dis si je trouve
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100077 Posté le 29-07-10 à 00:08
Posté par ProfilNoflah Noflah

g est définie sur quel ensemble ?
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100079 Posté le 29-07-10 à 00:11
Posté par ProfilNoflah Noflah

Hmm oublie, question stupide
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100080 Posté le 29-07-10 à 00:14
Posté par Profilleeloo4444 leeloo4444

re : fonction définie comme une intégrale#msg3100081 Posté le 29-07-10 à 00:15
Posté par ProfilNoflah Noflah

Non rien à faire, je trouve comme toi, et bonne nouvelle : maple aussi. Que dis la suite de l'exo ?
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100084 Posté le 29-07-10 à 00:19
Posté par ProfilNoflah Noflah

Sauf au moment où on divise par ln(x), on suppose x différent de 1. Ce qui est logique, lorsque x=1 l'intégrale est clairement nulle.
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100087 Posté le 29-07-10 à 00:22
Posté par ProfilNoflah Noflah

On peut également définir g(0)=0. Mais en dehors de ces deux points : g(x)=ln(2)
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100088 Posté le 29-07-10 à 00:27
Posté par Profilleeloo4444 leeloo4444

En fait dans l'exercice deux intégrales sont définies il y a également f(x)  qui est l'intégrale de x à x^2 de (dt/ln t)
et à la question suivante on me demande :

"en utilisant la fonction g et des encadrements de f(x) montrer que f est pronlongeable par continuité à R +. "

Rassure-moi Noflah, ça n'aurait pas de sens de dire que g a pour variable t au lieu de x n'est-ce pas ? Puisque t est une variable muette ?
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100513 Posté le 30-07-10 à 14:01
Posté par ProfilNoflah Noflah

Bonjour leeloo,

Désolé pour la journée de latence,

Non, effectivement g a pour variable x, ça c'est sur.
Pour l'exercice, il s'agit de montrer que f est prolongeable par continuité sur R+, ce qui équivaut à quoi selon toi ?
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100542 Posté le 30-07-10 à 14:36
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Bonjour,

g(x) est calculable en posant t=e^q \Rightarrow dt = dq.e^q = dq.t, non ?

\displaystyle \int_x^{x^2} \frac{dt}{t\ln(t)} = \int_x^{x^2} e^{-q}.dq = e^{-x} - e^{-x^2}
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100546 Posté le 30-07-10 à 14:41
Posté par ProfilNoflah Noflah

Bonjour Boltzman,

N'aurais tu pas oublié un q au dénominateur ?
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100552 Posté le 30-07-10 à 14:48
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Argghh, j'ai pas oublié un q mais de ln(e^q)= q. La honte !


Bonjour,

g(x) est calculable en posant t=e^q \Rightarrow dt = dq.e^q = dq.t, non ?

Citation :
\displaystyle \int_x^{x^2} \frac{dt}{t\ln(t)} = \int_x^{x^2} \frac{1}{q}.dq = \ln(x^2) - \ln(x) = \ln(x)
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100553 Posté le 30-07-10 à 14:48
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

\displaystyle \int_x^{x^2} \frac{dt}{t\ln(t)} = \int_x^{x^2} \frac{1}{q}.dq = \ln(x^2) - \ln(x) = \ln(x)
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100554 Posté le 30-07-10 à 14:52
Posté par ProfilNoflah Noflah

Changement de variable => changement de borne
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100558 Posté le 30-07-10 à 15:02
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Décidément, je crois que je ne vais pas rester aujourd'hui. J'écris que des âneries.


\displaystyle \int_x^{x^2} \frac{dt}{t\ln(t)} = \int_{\ln(x)}^{\ln(x^2)} \frac{1}{q}.dq = \ln(\ln(x^2)) - \ln(\ln(x)) = \ln(\frac{\ln(x^2)}{\ln(x)}) = \ln(2).

Mea culpa.
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100560 Posté le 30-07-10 à 15:06
Posté par ProfilNoflah Noflah

Non non boltzmann, je t'en prie, j'avoue que tu m'as bien fait peur, j'ai mis quelques minutes pour trouver l'erreur ! Et du coup je cherchais mon erreur ^^
Donc, après quelques frayeur, nous sommes tous bien d'accord sur la valeur de g, là on est 3 à confirmer le calcul (4 avec maple), par plusieurs méthodes en plus, on est sûr de ce point.
Maintenant ce qui nous pose problème, c'est l'énoncé : pourquoi veulent-ils prolonger f par continuité à tout R+ alors que, à mon sens du moins, la fonction est définie sur R+ ? Etes vous d'accord ?
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100564 Posté le 30-07-10 à 15:18
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Et encore une bêtise. Ma méthode est encore incomplète.

Je recommence.

\\ \displaystyle \int_x^{x^2} \frac{dt}{t\ln(t)} = \int_{\ln(x)}^{\ln(x^2)} \frac{1}{q}.dq = \ln(|\ln(x^2)|) - \ln(|\ln(x)|) = \ln(\frac{|\ln(x^2)|}{|\ln(x)}|) = |\ln(2)|.

Je regarde pour f.
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100566 Posté le 30-07-10 à 15:20
Posté par ProfilNoflah Noflah

Pour la dernière étape je dirai plutôt : ln(|2|).
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100568 Posté le 30-07-10 à 15:22
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

\displaystyle \int_x^{x^2} \frac{dt}{t\ln(t)} = \int_{\ln(x)}^{\ln(x^2)} \frac{1}{q}.dq = \ln(|\ln(x^2)|) - \ln(|\ln(x)|) = \ln(\frac{|\ln(x^2)|}{|\ln(x)}|) = \ln(2).
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100569 Posté le 30-07-10 à 15:23
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Oui. Aujourd'hui, rien ne va. C'est pas mon jour, je tombe dans tout les pièges à ***, grrrr.
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100582 Posté le 30-07-10 à 15:39
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Pour f.

La fonction est définie sur R+* (le ln n'est pas défini en 0 !!).
Si on veut prolonger de R+* à R+, c'est possible (avec un encadrement de 1/ln(t) sur t app à [x,x²]).

\\ \forall x\in]0,1], \forall t\in[x,x^2], x^2 \geq t \geq x \\ \\ \ln(x^2) \geq \ln(t) \geq \ln(x) \\ \\ \frac{1}{\ln(x^2)} \leq \frac{1}{\ln(t)} \leq \frac{1}{\ln(x)} \\ \\ \int_x^{x^2} \frac{dt}{\ln(x^2)} \leq \int_x^{x^2} \frac{dt}{\ln(t)} \leq \int_x^{x^2} \frac{dt}{\ln(x)} \\ \\ \frac{x^2-x}{\ln(x^2)} \leq \int_x^{x^2} \frac{dt}{\ln(t)} \leq \frac{x^2-x}{\ln(x)}

Et en passant à la limite + Théorème des gendarmes, on a la limite en 0 qui est 0+ (-x/ln(x)...).
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100609 Posté le 30-07-10 à 16:34
Posté par ProfilNoflah Noflah

Boltzmann :

J'aurais tendance à dire que 00 f(t)dt = 0 ...
C'est pour ça que j'aurais définit f(0)=0, sans me soucier de si ln(0) est défini. Mais je ne sais pas si c'est le bon point de vue à adopter.
Ceci dit il est vrai que ce point de vue ne me garantit pas la continuité de f en 0 (comme le témoigne l'exemple de g).
re : fonction définie comme une intégrale#msg3100616 Posté le 30-07-10 à 16:55
Posté par ProfilBoltzmann_Solver Boltzmann_Solver

Quand c'est pas défini. Il faut nécessairement passer par un calcul de limite.

D'ailleurs, il reste à faire x=1 qui n'est pas défini (se traite avec des équivalents (ou Dl)).
re : fonction définie comme une intégrale#msg3101007 Posté le 31-07-10 à 19:51
Posté par Profilleeloo4444 leeloo4444

Alors après mûres réflexions je pense que le problème pour f est que si x vaut zéro on se retrouverait avec un ln (0) problématique et pour x = 1 on aurait un zéro au dénominateur. D'où le problème de continuité. J'ai fini par trouvé comme prolonger ! OUF !

Merci Noflah et Boltzmann_Solver !!

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