logo

Trigo équation

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. » premièreforum de première » trigonométrietopics traitant de trigonométrie » [tout]lister tous les topics de mathématiques

premièreTrigo équation

#msg3100086 Posté le 29-07-10 à 00:22
Posté par Profilleguignol leguignol

Bonjour tout le monde,
j'aimerais avoir de l'aide pour résoudre dans R:
sin3x=1  et
cos3x=sin2x
Merci encore a tous!!
re : Trigo équation#msg3100090 Posté le 29-07-10 à 00:34
Posté par ProfilLeFou LeFou

Bonsoir, à une heure pareille tu vas voir beaucoup de monde.

Mais je suis là.

Pour sin(3x)=1

Je te rappelle que sin(\frac{\pi}{2})=1

Et que sin(X)=sin(Y) <=> X=\pi-Y[2\pi] ou  X=Y[2\pi]

Pour le deuxième.
Utilises les formules trigonométriques pour arriver à quelque chose de la formesin(X)=sin(Y) ou cos(X)=cos(Y)

Rappel: cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) \\         sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

Et cos^2(x)+sin^2(x)=1
re : Trigo équation#msg3100095 Posté le 29-07-10 à 00:51
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonsoir,

Je suis encore là, mais pas pour longtemps...

Pour le 2ème, tu pourrais aussi penser à la formule : \rm sin a = cos(\frac{\pi}{2} - a)  ou aussi à la formule : \rm cos a = sin(\frac{\pi}{2} - a).

Tu pourras ainsi traiter une équation en sin  ou  en cos  suivant le choix de ta formule.
re : Trigo équation#msg3100117 Posté le 29-07-10 à 09:28
Posté par Profilpppa pppa

Bonjour

je pense que Lefou et hiphigénie t'ont donné des éléments pr te mettre sur la bonne voie. Pr résoudre ce type d'équations, il ne faut pas oublier les périodes des fonctions intervenant ds les équations. On a de la chance, les fonctions sinus et cosinus ont ttes 2 la même période : 2.

Comme l'a indiqué Lefou, la 1ère équation revient à résoudre

3$\sin(3x)=\sin(\frac{\pi}{2}), mais compte tenu que la fonction sin est de périodique, l'équation à résoudre n'admet pas qu'une solution, mais une infinité.

Il faut dc poser :

3$3x\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]3$x\equiv\frac{\pi}{6}[\frac{2\pi}{3}],ou ce qui revient au même si on n'utilise pas la relation de congruence :

S={3$\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}, k\in\mathbb Z}  (S: ensemble des solutions cherché).

pr la 2ème équation, partir de l'idée donnée par hiphigénie, et poser par ex:

3$\sin(\frac{\pi}{2}-3x)=\sin(2x) 3$(\frac{\pi}{2}-3x)\equiv 2x[2\pi]3$ 5x\equiv(\frac{\pi}{2})[2\pi]
3$ x\equiv(\frac{\pi}{10})[\frac{2\pi}{5}]

ou ce qui revient au même si on n'utilise pas la relation de congruence :

S={3$\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}, k\in\mathbb Z}  (S: ensemble des solutions cherché).

D'accord avec ce que j'ai écrit ?
re : Trigo équation#msg3100122 Posté le 29-07-10 à 09:45
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonjour pppa

N'aurais-tu pas oublié une partie des solutions ?

3$\rm \sin(\frac{\pi}{2}-3x)=\sin(2x) \Longleftrightarrow\ (\frac{\pi}{2}-3x)\equiv 2x[2\pi] ou (\frac{\pi}{2}-3x)\equiv (\pi-2x)[2\pi] \Longleftrightarrow\ 5x\equiv(\frac{\pi}{2})[2\pi] ou x\equiv \frac{-\pi}{2}[2\pi] \Longleftrightarrow\ x\equiv(\frac{\pi}{10})[\frac{2\pi}{5}] ou x\equiv \frac{-\pi}{2}[2\pi]
re : Trigo équation#msg3100123 Posté le 29-07-10 à 09:46
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

sin A = sin B \Longleftrightarrow A = B + k.2\pi ou \textrm A = (\pi - B) + k.2\pi  où k appartient à Z  
re : Trigo équation#msg3100126 Posté le 29-07-10 à 09:50
Posté par Profilpppa pppa

Bonjor hiphigénie

j'ai pas compris ?
re : Trigo équation#msg3100127 Posté le 29-07-10 à 09:52
Posté par Profilpppa pppa

Oui ca y est, j'ai compris

excuses et merci
re : Trigo équation#msg3100128 Posté le 29-07-10 à 09:54
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Citation :
Oui ca y est, j'ai compris
J'en étais sûr !!!
re : Trigo équation#msg3100129 Posté le 29-07-10 à 10:01
Posté par Profilpppa pppa

Merci Hiphigénie, j'ai mis le tps qd même...

Et alors si on essaye - pr prolonger l'exercice de Leguignol (en espérant qu'il ne m'en voudra pas de cette prolongation) - de résoudre une équation avec des fonctions trigonométriques dt les périodes et les ens. de définition sont différents, c'est + dur là

Par ex : sin 3x = tan 2x. J'essaye ?
re : Trigo équation#msg3100279 Posté le 29-07-10 à 17:06
Posté par Profilpppa pppa

Citation :
Par ex : sin 3x = tan 2x. J'essaye ?


Pas évident. J'ai regardé ds qqs livres de 1ère, avec ou sans corrigés, récents ou - récents, aucun ne propose des équations de ce type.

La seule chose que je pense voir c'est que ici  3$ x\in [-\frac{\pi}{8};\frac{\pi}{8}] [\pi], cpte tenu des valeurs que peut prendre la fonction sinus.
re : Trigo équation#msg3100284 Posté le 29-07-10 à 17:22
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Je n'y ai pas encore regardé, mais le ferai probablement ce soir.
re : Trigo équation#msg3100392 Posté le 29-07-10 à 22:38
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Voilà, pppa…

La résolution n'est peut-être pas miraculeuse, mais elle a le mérite d'exister !

sin 3x = tg 2x

Condition :  \rm 2x \neq \fr{\pi}{2} + k\pi \Longrightarrow\ x \neq \fr{\pi}{4} + k\fr{\pi}{2}

Nous étudierons les racines de l'équation sur [0 ;2π] puisque 2π est la période commune à sin 3x et tg 2x.

\rm sin 3x = \fr{sin 2x}{cos 2x}

\rm 3sin x - 4sin^3x = \fr{2sin x.cos x}{2cos^2x - 1}

\rm 3sin x - 4sin^3x - \fr{2sin x.cos x}{2cos^2x - 1} = 0

\rm sinx(3 - 4sin^2x - \fr{2cos x}{2cos^2x - 1}) = 0

\rm sinx = 0 ou 3 - 4sin^2x - \fr{2cos x}{2cos^2x - 1} = 0

D'abord,    \rm sinx = 0 \Longleftrightarrow\ x = k\pi (j'ai écris la solution générale, même si nous travaillons dans [0 ;2π])

Ensuite   \rm 3 - 4sin^2x - \fr{2cos x}{2cos^2x - 1} = 0

\rm 3 - 4(1 - cos^2x) - \fr{2cos x}{2cos^2x - 1} = 0

\rm -1 + 4cos^2x - \fr{2cos x}{2cos^2x - 1} = 0

\rm \fr{(-1 + 4cos^2x)( 2cos^2x - 1) - 2cos x}{2cos^2x - 1} = 0

\rm (-1 + 4cos^2x)( 2cos^2x - 1) - 2cos x = 0

\rm 8cos^4x - 6cos^2x - 2cos x + 1 = 0

La résolution de cette équation du 4ème degré en cos x donne comme solutions réelles : cos x ≈ 0,935 ou cos x ≈ 0,284.

Comme nous travaillons dans [0 ;2π], nous avons :

\rm cos x \approx\ 0,935 \Longleftrightarrow\ x \approx\ 0,3625 ou x \approx\ 5,92

\rm cos x \approx\ 0,284 \Longleftrightarrow\ x \approx\ 1,283 ou x \approx\ 5

On peut alors écrire l'ensemble des solutions…  
re : Trigo équation#msg3100405 Posté le 29-07-10 à 23:20
Posté par Profilpppa pppa

Bonsoir Hiphigénie

je vais être franc, je vais pas y regarder ce soir en détail

mais je peux déjà te dire :
- grand merci
- et que je vais essayer de suivre ta démo step by stp, dc sache que la peine que tu t'es donnée n'est pas perdue, même si j'ai un autre exercice complètement différent avec Cailloux que je suis en train de disséquer aussi pr le maîtriser (rien à voir avec la trigo).

Je comprends prquoi on ne donne pas ce genre d'exercices à résoudre en 1 ère.

J'ai un vieux livre de trigo des années 50 ; je regarderai dedans si on proposait de telles équations.

Finalement j'ai qd même jeté un 1er coup d'oeil sur ta démo,  c'est p.e pas si compliqué que ça, faudra juste que je valide les 3 dernières lignes mais a priori ça devrait pas poser de pb ; c'est juste que je ne vois pas comment ty'as fait pr résoudre l'équation finale de degré 4. Solveur, itérations, ou méthode générale inconnue de moi ?
Merci de me dire

re : Trigo équation#msg3100407 Posté le 29-07-10 à 23:26
Posté par ProfilLeFou LeFou

Bonsoir pppa, oui la résolution de telles équations n'est pas si compliquée mais demande plus lignes et de rigueur.
Pour la résolution de la fin, équation bicarée tu poses X=x²
re : Trigo équation#msg3100409 Posté le 29-07-10 à 23:31
Posté par ProfilLeFou LeFou

Pardon, en fait elle ne se résout pas comme ça^^

C'est la calculette qui a donné les solutions
re : Trigo équation#msg3100412 Posté le 29-07-10 à 23:34
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Pour la résolution de l'équation du 4ème degré, je ne me suis pas foulé... Calculatrice CASIO.

Pour la rigueur, il est vrai que j'ai donné une résolution en premier jet, mais on pourrais évidemment la peaufiner!

N.B. Ce n'est pas une équation bicarrée...
re : Trigo équation#msg3100414 Posté le 29-07-10 à 23:36
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Citation :
mais on pourrais
mais on pourrait !!!
re : Trigo équation#msg3100415 Posté le 29-07-10 à 23:57
Posté par ProfilLeFou LeFou

Citation :
Ce n'est pas une équation bicarrée...


Oui, d'où mon message suivant, je vais dodo moi, je vois plus très bien
re : Trigo équation#msg3100416 Posté le 30-07-10 à 00:16
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Oui, je l'ai bien remarqué quand tu as écris ceci :
Citation :
équation bicarée tu poses X=x²
au lieu de : équation bicarrée, tu poses X = cos²x.

Rigueur, rigueur ...  
re : Trigo équation#msg3100436 Posté le 30-07-10 à 09:00
Posté par Profilpppa pppa

Bonjour à tous

Citation :
au lieu de : équation bicarrée, tu poses X = cos²x.


Ca donnerait dc 8X²-6X-2X+1=0

qui n'est pas une équation bivcarrée comme on l'a remarqué et qui ne se résoud pas par une méthode générale.

Sinon, une fois les solutions trouvées, je pense que seule la 1ère convient, compte tenu des contraintes et ds la mesure où x est exprimé en radians ?

Merci de me dire
re : Trigo équation#msg3100437 Posté le 30-07-10 à 09:09
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonjour pppa,

Je ne comprends pas vraiment pourquoi tu voudrais exclure cette possibilité : \rm cos x \approx 0,284 \Longleftrightarrow x \approx 1,283 ou x \approx 5.

Les valeurs trouvées pour x, en radians, appartiennent bien à [0;2].

Franchement, je ne situe pas très bien ta question
re : Trigo équation#msg3100439 Posté le 30-07-10 à 09:20
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Regarde ceci

re : Trigo équation#msg3100468 Posté le 30-07-10 à 12:00
Posté par ProfilJ-P J-P Correcteur

Juste pour info:

Résolution des équations du quatrième degré selon FERRARI.

Soit à trouver les solutions de l'équation:
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
On divise par a et on pose x = X - \frac{b}{4a} \ \ \ (1)
On est alors ramené à une équation de la forme:
X^4 + AX^2 + BX + C = 0 \ \ \ (2)
Si on a B = 0, on est en présence du équation bicarrée que l'on résout en posant X² = t.
Si B\neq 0, alors:
On cherche les racines de l'équation:
u^3 - Au^2 - 4Cu + 4AC - B^2 = 0 \ \ \ (3)
Avec une des valeurs de u trouvée, on calcule: z = \frac{B}{2(u-A)} \ \ \ (4)
On résout les équations du second degré:
X^2 - \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} + z.\sqrt{|u-A|}=0 (5)
et
X^2 + \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} - z.\sqrt{|u-A|}=0 (6)
Les valeurs réelles trouvées pour X soit dans (5) soit dans (6) replacées dans (1) donnent des valeurs réelles de x solutions de l'équation de départ.
-----------------------------------------------------

Un exemple:
Soit à trouver les solutions de l'équation:
x^4 + 5x^3 - 7x^2 - 29x + 30 = 0 \ \ \ (1)
Poser x = X - \frac{5}{4}
x^2 = X^2 - \frac{5}{2}X + \frac{25}{16}
x^3 = X^3 - \frac{15}{4}X^2 + \frac{75}{16}X - \frac{125}{64}
x^4 = (x^2)^2 = X^4 - 5X^3 + \frac{75}{8}X^2 - \frac{125}{16}X + \frac{625}{256}
(1) \to
Après simplification: X^4 - \frac{131}{8}X^2 + \frac{33}{8}X + \frac{12285}{256} = 0 \ \ \ (2)
On a A = -\frac{131}{8}, B = \frac{33}{8} et C = \frac{12285}{256}
u^3 + \frac{131}{8}u^2 - \frac{4*12285}{256}u - \frac{131*12285}{2*256}-(\frac{33}{8})^2=0 \ \ \ (3)
Dont les solutions réelles sont u = -16,125 ; u : -14,125 ; u = 13,875.
On prend par exemple u = -16,125.
et on calcule alors: z = \frac{B}{2(u-A)} = 8,25 \ \ \ (4)
On résout l' équation du second degré:
X^2 - \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} + z.\sqrt{|u-A|}=0 (5)
X^2 - 0,5X - 3,9375 = 0
dont les solutions sont: X = 2,25 et X = -1,75.

On résout l' équation du second degré:
X^2 + \sqrt{|u-A|}X + \frac{u}{2} - z.\sqrt{|u-A|}=0 (6)
X^2 + 0,5X - 12,1875 = 0
dont les solutions sont: X = -3,75 et X = 3,25.

On a alors:
X = 2,25\ \to\ x = X - \frac{5}{4} = 1
X = -1,75\ \to\ x = X - \frac{5}{4} = -3
X = 3,75\ \to\ x = X - \frac{5}{4} = -5
X = 3,25\ \to\ x = X - \frac{5}{4} = 2

Les solutions de l'équation x^4 + 5x^3 - 7x^2 - 29x + 30 = 0 sont donc x = -5, x = -3, x = 1 et x = 2.
re : Trigo équation#msg3100641 Posté le 30-07-10 à 17:22
Posté par Profilpppa pppa

>>Hiphigénie : Eh bien je pensais (à tort sûrement) que comme sin 3x prend ses valeurs entre -1 et 1, tan 2x, qui doit lui être égal, aussi. Dc que x, mesure d'angle cherchée en rd, doit être comprise entre -\frac{\pi}{8} et \frac{\pi}{8}, modulo \pi,
et dc que 5 rd, ça ne correspondait pas  à ces plages, mais ton graphique semble prouver que ce que j'écris ne colle pas..


>> JP : intéressant, et détaillé. Je me le copie sous word et le garde. Merci
re : Trigo équation#msg3100707 Posté le 30-07-10 à 20:49
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

pppa
Citation :
Dc que x, mesure d'angle cherchée en rd, doit être comprise entre -\frac{\pi}{8} et \frac{\pi}{8}, modulo \pi,
Effectivement, la mesure de x doit être comprise entre -\frac{\pi}{8} et \frac{\pi}{8}, modulo \frac{\pi}{2}.

Tu a oublié de diviser également la période par 2  

En calculant les invervalles en question, tu verras bien que toutes les racines proposées y appartiennent.

Bonne soirée.
re : Trigo équation#msg3100754 Posté le 30-07-10 à 22:40
Posté par Profilpppa pppa

>>Hiphigénie
J'ai compris mon erreur et je te remercie pr tes explications
question#msg3101111 Posté le 01-08-10 à 01:41
Posté par Profilleguignol leguignol

re a tous, on me demande de placer les solutions dans un cercle trigo, mais est-ce que les solution sont obligés d'être sur le cercle ou elle peuvent être a l'intérieur????(sur les axes)
MERCI#msg3101112 Posté le 01-08-10 à 01:42
Posté par Profilleguignol leguignol

o faite!!!! merci a tous!!!!
re : Trigo équation#msg3101152 Posté le 01-08-10 à 08:09
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonjour leguignol,

Tu places les solutions sur le cercle trigonométrique et tu obtiens ainsi les angles au centre de ce cercle correspondants.

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir
    Pour plus d'options, connection connectez vous !

  • Fiches de maths

    * trigonométrie en première
    3 fiches de mathématiques sur "trigonométrie" en première disponibles.
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. » premièreforum de première » trigonométrietopics traitant de trigonométrie » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil   favoris  imprimer
maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2012