Enigmo 212 : Derrick mène l'enquête

Posté par Romb Romb

Bonjour

Il me semble que la probabilité que le voleur soit blond est égale à la probabilité que là Mère Michel ait bien vue. Je dirais donc 80%.

Posté par guizmou guizmou

0,8

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Voilà un mois qui commence bien mal avec cette énigme !!

Comme l'a remarqué je ne sais plus qui, le fait que je cite les noms de Kahneman et Tversky n'était pas innocent, puisque ce sont les noms de deux chercheurs, psychologues et économistes, qui ont obtenu le prix Nobel pour certains de leurs travaux.

En particulier, l'énigme que je vous ai proposé vient d'eux, mais sous une forme d'une histoire de taxis. Vous la trouverez par exemple à la 3ème page de ce document :

Dans cette énigme, il était donc question de probabilité conditionnelle, qu'on peut résoudre en utilisant le théorème de Bayes, ou alors en utilisant des effectifs, au travers d'un schéma par exemple :

Prenons 100 personnes et faisons tous les calculs nécessaires pour déterminer les effectifs au bout de chaque branche.
Au total, nous avons 29 personnes "reconnus blonds", dont seulement 12 sont vraiment blonds ... d'où la probabilité de 12/29 !

Ce problème a été inventé pour nous surprendre, étant donné que le résultat est inférieur à 50%, alors que la personne est certaine d'elle et qu'elle ne se trompe que dans 20% des cas.
Mais je vous laisse lire ce qu'on peut trouver sur cet exemple pour vous faire votre idée.

En conclusion, nous devons aussi retenir que nous sommes assez mauvais pour le calcul des probabilités dès que le problème se corse un tout petit peu !

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Bonjour,

Tout d'abord félicitations pour ceux qui ont trouvé la bonne réponse, et merci a Jamo pour ces superbes enigmes qu'il nous fait decouvrir.

Franchement, je ne m'attendais pas a avoir un poisson puisque j'etais (presque) sûr de mon raisonnement mais apres avoir lu les réponses je m'appercois effectivement que mon raisonnement etait correcte sauf pour l'interpretation du: "elle reconnait la couleur des cheveux d'un homme en pleine nuit dans 80% des cas, qu'il soit blond ou brun, et donc se trompe dans 20% des cas."

Pour aboutir a la reponse de 12/29, il fallait comme l'a dit Nofutur2 (a qui je salut et felicite pour son 18eme etoile): "Attention, il faut suppposer que la probabilité d'erreur de la Mère Michel soit identique pour les blonds vus comme des bruns et pour des bruns vus comme des blonds...Sinon, on ne peut conclure." (on peut voir ce raisonnement d'ailleurs sur le schema de Jamo)

De mon coté, j'avais interprété cette phrase par: Sur 100 personnes (blondes et brunes), elle reconnait la couleur de 80 d'entre elles et se trompe avec les 20 autres et j'ai commencé a prendre tous les cas possibles en respectant le nombre de bruns et blonds/100. Exemples, sur 100 personnes il y a:
80 bruns reconnus, 0 blond reconnu, 5 bruns non reconnus (ou 5 bruns reconnus blonds), 15 blonds non reconnus (ou 15 blonds reconnu bruns)
79 bruns reconnus, 1 blond reconnus, 6 bruns non reconnus, 14 blonds non reconnus
...
65 bruns reconnus, 15 blonds reconnues, 20 bruns non reconnus, 0 brun reconnu

On obtient 16 cas, d'ou ma reponse etait:
"Sur 1600 personnes, on a:
1360 brunes soit 85% et 240 blonds soit 15%

La mère Michel reconnait la couleur des cheveux de 1160 personnes brunes et 120 personnes blondes, et se trompe avec 120 personnes blondes et 200 personnes brunes en croyant respectivement qu'ils etaient brunes et blondes; soit dans 80% des cas, elle donnait la vrai reponse et se trompait dans les autres 20% des cas.

Pour etre plus clair:


Ainsi sur 1600 personnes, elle croyait que 320 d'entre elles etaient blondes et sur ces 320 personnes, elle s'est trompé 200 fois puisque 200 sur 320 etaient en faite brunes.
Par suite, la probabilité que le voleur soit blond est 120/320=3/8=0.375"

Je pense, que la facon dont j'ai procédé en denombrant tous les cas possibles est une certaine equiprobabilité aussi, mais pas entre bruns et blonds chacun seul, c'est a dire je n'ai pas considéré que sur 100 blonds elle reconnait 80 (en respectant l'equiprobabilité entre les blonds) et que sur 100 brunes elle reconnait 80 (en respectant l'equiprobabilité entre les brunes), j'ai considéré que sur 100 personnes (brunes et blondes) elle reconnait 80 (en respectant l'equiprobabilité entre les personnes).

Mais peut-etre, la phrase en gras s'interprete par ce qu'a dit Nofutur2 (d'ailleurs, apres reflexion maintenant, je le pense aussi). Ma question est, considerons que la phrase en gras etait redigée dans le sens de mon interpretation, la bonne reponse etait 3/8?

Merci.

Posté par borneo borneo

Hi hi... que de s

^{Jolie démo, Kévin}  

Posté par borneo borneo

Jun_Milan : en terminale, tu feras plein d'exercices de ce type, dans le chapitre "probabilités conditionnelles".

Dans la pratique, on applique la formule sans trop se poser de questions.  

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Borneo:
Désolé, mais cela n'est pas ma facon de travailler..

D'ailleurs, pour appliquer la formule dont tu parles, il faut quand-meme comprendre ou reside l'equiprobabilité dans la phrase en gras, sinon ca change tout. Par exemple, moi je l'ai interprétée d'une autre facon, mais le reste du raisonnement est tres semblable a celui de Jamo, donc..

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour à tous,

Voir par exemple le sujet Probabilités : fiabilité d'un alcootest , qui explique que je n'ai pas grand mérite à avoir résolu l'énigme de Jamo, car j'étais déjà tombé sur le problème concerné.

Posté par borneo borneo



En règle générale, moi non plus, je ne travaille pas comme ça. Au brevet (BEPC ) j'ai loupé les maths car j'essayais de démontrer d'abord tous les théorèmes dont je me servais, comme faisait mon prof.

Mais dans les probas conditionnelles, à force d'aider les élèves, j'ai fini par considérer qu'il ne faut pas trop chercher à comprendre la nuance entre par exemple :

P(elle trouve la réponse à l'énigmo sachant qu'elle est blonde) et P(elle est blonde, sachant qu'elle a trouvé la réponse à l'énigmo)

Voilà  

Posté par Jun_Milan Jun_Milan


Idem pour moi, mais a ta difference je ne sentais pas mon prof intéréssée par les demonstrations.

Concernant tes exemples, ils refletent bien la probabilité conditionnelle.
Ne serait-ce pas meilleur d'utiliser les memes temps verbaux pour illuster l'idée de "j'ai fini par considérer qu'il ne faut pas trop chercher à comprendre la nuance" ?

On pourrait concevoir un exercice de probabilité ou le temps serait un facteur important, et ainsi il y aura une difference entre:
P(elle a trouvé la reponse a l'enigmo sachant qu'elle est bonde) et P(elle trouve la reponse a l'enigmo sachant qu'elle est blonde), mais faudra ainsi definir la durée de deroulement en fonction des temps verbaux utilisés. Bon, je m'arrete-la puisqu'on peut quand-meme considéré le passé composé comme un evenement qui vient de se dérouler

Comme tu l'as dit, il y a quand-meme une petite nuance entre eux (les exemples que tu m'as donnés) puisque la premiere cherche a trouver la probabilité d'avoir la bonne reponse (avec la condition d'etre blond) quand a la deuxieme, la probabilité d'etre blonde (avec la condition d'avoir la bonne reponse). Une analyse rapide nous fait remarquer que la probabilité de chacun des ces evenements (inclu surement les conditions) est la meme, puisque l'ordre ne joue pas un role important ici, on ne peut pas connaitre la reponse puis etre blond par exemple, ainsi ce qui est important a souligner dans ces evenements (malgré leur formulation) est le fait d'etre a la fois blond et avoir la bonne reponse, d'ou je comprends: "j'ai fini par considérer qu'il ne faut pas trop chercher à comprendre la nuance"

Merci pour les exemples,
Allez, bonne chance pour l'enigmo d'aujourd'hui

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Je dois vite revoir mon francais:

considerer*
le premier*
au deuxieme*

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Borneo et Jun_Milan,

Je ne suis pas sûr d'avoir compris comme il faut vos messages, mais ce dont je suis sûr, c'est qu'il n'y a pas de raison a priori que : ,  l'un valant d'ailleurs   et l'autre   .

Posté par jamo jamo



Ces 2 probabilités sont en effet complétement différentes dans le cas général !!

A ca propos, j'ai répondu à ce topic : , dans lequel on voit bien la différence entre "probabilité d'avoir un accident sachant qu'on a bu" et "probabilité d'avoir bu sachant qu'on a eu un accident".

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Oui, oui il y a une difference.. D'une part, parmi les accidentés, la probabilite d'avoir bu et d'une autre part, parmi ceux qui ont bu, la probabilité d'avoir fait un accident n'est pas toujours egal. (dans le lien de Jamo, comme exemple, on voit bien qu'elles ne le sont pas: 3/10 contre 3/20)

Avec cette formulation, tout est bien (j'aurai dit qu'elles ne sont pas toujours egales) mais avec "probabilité d'avoir bu sachant qu'on a eu un accident" et "probabilité d'avoir un accident sachant qu'on a bu"  (qui est apparemment equivalente a la precedente), je n'avais pas interprété "sachant qu'on" par "parmi ceux qui". J'avais en tete, autre chose.

Je l'ai interprété en s'appuyant sur les evenements qui se deroulent en premier, donc sur l'ordre.
Par exemple, l'expression qui suit "sachant que" m'avait l'air celle qui se deroule en premier et l'autre, en deuxieme (en général)

Par exemple, par probabilité d'avoir un accident sachant qu'on a bu, je l'ai interprété par quelle est la probabilité d'avoir bu puis avoir fait un accident quand a probabilité d'avoir bu sachant qu'on a eu un accident, quelle est la probabilité d'avoir fait un accident puis aller boire. (Meme si la deuxieme est un peu illogique; et on remarque qu'avec cette interpretation la probabilité de chacun de ces 2 evenements n'est pas necessairement egale puisque l'ordre joue un role important dans ce cas.). _{Il faudra que je revois quelques notions de grammaire, apparemment (malgré que j'ai un bon francais).}

Certes, pour revenir aux exemples de Borneo, j'avais considéré que ca n'a pas de sens de mettre un ordre (etre blond puis savoir la reponse ou savoir la reponse puis etre blond) et par suite, j'avais interprété ces 2 exemples par: "a la fois".
(A moindre de connaitre la reponse, et puis teindre les cheveux blonds ou vice versa )
Mais maintenant, que j'ai compris que "sachant qu'on" s'interprete par "parmi ceux qui" en general, bien evidemment la probabilité peut differer dans ces exemples, tout depend des données.

Apres reflexion, on peut aussi inserrer le deroulement des evenements a "sachant qu'on" ou "parmi ceux qui".
Dans le lien de Jamo, on voit bien qu'il y a seulement un ordre:
les conducteurs etaient dans une soirée (certains ont bu et d'autres non) puis on conduit la voiture (certains ont fait un accident et d'autres non).

On pourrait faire une autre etude, sur 100 personnes 30 ont fait d'accidents.
20 ont bu seulement avant, 7 ont bu seulement apres et 3 avant et apres etc.

Merci pour ces informations, ca me sera utile pour cette annee

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

(Meme si la deuxieme est un peu illogique, ca pourrait arriver; et on remarque [...])

Posté par LeDino LeDino


Jun_Milan, si tu changes l'énoncé, pour lui donner le sens que tu veux lui donner, alors en effet ta réponse va devenir "juste". Mais dans ce cas tu auras résolu un problème différent de celui posé.



Cet énoncé est non équivoque. La précision "qu'il soit blond ou brun" est d'ailleurs superflue. Nofutur2, que je salue au passage, se donne une peine inutile en "précisant son interprétation".

L'énoncé dit simplement que lorsqu'on présente un individu en pleine nuit à ce témoin, la couleur de cheveux qui sera annoncée sera dans 80% des cas juste et dans 20% des cas erronée. Celà suffit à résoudre le problème.

Ton "interprétation", Jun_Milan, est carrément "tirée par les cheveux" (ce qui est doublement de circonstances ...). Du reste, le test qui a été réalisé pour vérifier les capacités occulaires du témoin n'est pas explicité et en aucun cas il ne fait référence à l'effectif de la population (85/15). On sait juste qu'un test a été fait et que à la question "quelle est la couleur de cheveux de tel individu", le témoin voit juste à 80% et se trompe à 20%.

Il faut donc beaucoup plus qu'un simple "changement d'interprétation" pour valider ton approche Jun_Milan.

Mais je peux me tromper ...

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Tout d'abord, juste pour preciser, je n'ai pas ecrit mon post du 22-08-10 à 11:50 pour dire que si le probleme etait rédigé dans le sens que j'ai donné, j'aurai eu la bonne réponse; ainsi dans le but de justifier mon poisson. (D'ailleurs, je le dis, je le merite puisque j'ai mal interprété une phrase et je veux bien comprendre mon erreur, si possible.)

Revenons un peu a l'affirmation de Nofutur2: "Attention, il faut suppposer que la probabilité d'erreur de la Mère Michel soit identique pour les blonds vus comme des bruns et pour des bruns vus comme des blonds...Sinon, on ne peut conclure."

La phrase soulignée m'a fait un peu hésité, puisque je n'avais pas considéré cet interpretation et j'etais (presque) sur de ma reponse, avec mon autre raisonnement bien sur. Donc, je voulais avoir votre avis, (et non dans le but de contredire le champion Nofutur2, pas du tout, juste pour relever mon hesitation..)



Deja, bonjour Ledino.
Merci pour la confirmation, et d'avoir lu mes posts.




Désolé d'insiter (je repete, tout ca dans le but de comprendre mon erreur), mais c'est la ou je bloque, qui dit que "80% des cas" 'implique' blonds a part, et bruns a part, et pas ensemble ou en general?



C'est vrai, qu'il n'y a pas de reference a 85/15, mais non plus bruns a part, et blond a part.. A moindre qu'il y a quelque chose que je ne vois pas.

Peux-tu me donner une phrase (dans le but de mieux faire la difference) dont la formulation reprente le sens de mon interpretation (qui differe de la vraie et correcte interpretation de cette enigme) concernant les 80% et 20%, s'il te plait?

Merci.

Posté par borneo borneo

Bonjour à tous  

P(elle trouve la réponse à l'énigmo sachant qu'elle est blonde) et P(elle est blonde, sachant qu'elle a trouvé la réponse à l'énigmo) sont évidemment différentes, je suis désolée de vous avoir embrouillés avec mon exemple.

Je voulais juste dire qu'il suffit d'appliquer correctement les formules, sans trop s'attacher au sens. Ce sont de simples exercices, donnés pour que les élèves s'entraînent, pas pour en tirer des conclusions philosophiques.

Il y a sur l'île des exercices d'anthologie sur ce thème, où les élèves essaient vainement de comprendre, alors qu'il suffit de calculer. En particulier un exercice où on cherche la probabilité qu'un malade soit sourd des deux oreilles, sachant qu'il est sourd à droite, ce qui n'est pas la même chose que la probabilité qu'il soit sourd à droite, sachant qu'il est sourd des deux oreilles

Ici  

Posté par Jun_Milan Jun_Milan

Apres avoir compris la signification du terme "sachant que", bien sur il y a une difference entre ces 2 derniers exemples puisque d'une part, parmi les sourds a droites, quelle est la proba d'etre aussi sourd a gauche (ce n'est pas necessaire que la proba soit 1) et d'une autre part, parmi les personnes sourds a deux oreilles, quelle est la proba d'etre sourd a droite (on n'a pas dit seulement a droite ce qui donnait une proba de 0, donc la proba est bien sur 1 dans ce cas) ne sont pas toujours les memes.

J'ai appris des choses avec cette enigme, surtout en corrigeant mes erreurs d'interpretation..
J'attends toujours la reponse de Ledino.

Merci.

Posté par LeDino LeDino


... La seule formulation brève que je puisse proposer est :
- Trouver une solution tirée par les cheveux, répondant à coté du sujet.
Mais je doute qu'elle te convienne ...

La réponse que tu as faite est arbitraire et complexe. La formulation du problème correspondant sera à peu près aussi longue que ta démonstration. En gros, au lieu de simplement poser (comme dit dans l'énoncé) que la probabilité de reconnaitre la bonne couleur est de 80% pour chaque individu quelle que soit sa couleur de cheveux (et donc 20% de probabilité de se tromper)... il faudrait poser que chaque éventualité que tu as décrite est équiprobable :
80 Bruns OK + 5 Bruns FAUX + 0 Blonds OK + 15 Blonds FAUX
79 Bruns OK + 6 Bruns FAUX + 1 Blonds OK + 14 Blonds FAUX
78 Bruns OK + 7 Bruns FAUX + 2 Blonds OK + 13 Blonds FAUX
...
etc

Mais je suis également intéressé par un énoncé plus court qui aboutirait à ta réponse ... Le défi est lancé...



  

Posté par LeDino LeDino

Bonjour Jun_Milan.

J'ai peut-être trouvé un énoncé qui rendrait ta réponse valable. Le voici :



En fait, le point critique de cet énoncé est l'équiprobabilité des cas de répartition BRUNS/BLONDS parmi les reconnus corrects et erronés. Cette équiprobabilité ne découle pas d'une hypothèse simple sur les facultés de reconnaissance du témoin (en tout cas pas aussi simple que l'hypothèse de l'énoncé d'origine qui dit que la reconnaissance est de 80% indépendamment de la couleur de cheveux).

Et l'extrapolation du test que fait Derrick dans cet exemple est elle même sujette à discussion... car Derrick considère chaque cas de répartition comme représentatif d'une faculté de reconnaissance différenciée entre BRUNS et BLONDS, puis fait une synthèse en considérant chaque cas comme équiprobable.

Ainsi, le cas :
80 BR OK + 5 BR FAUX + 0 BL OK + 15 BL FAUX...
correspondrait à une faculté de reconnaissance de 80/85 pour un BRUN et de 0/15 pour un BL.

Le cas :
79 BR OK + 6 BR FAUX + 1 BL OK + 14 BL FAUX...
correspondrait à une faculté de reconnaissance de 79/85 pour un BRUN et de 1/15 pour un BL.

Etc... jursqu'au cas :
65 BR OK + 20 BR FAUX + 15 BL OK + 0 BL FAUX...
correspondrait à une faculté de reconnaissance de 65/85 pour un BRUN et de 15/15 pour un BL.

Au final :
En superposant les cas (ou en calculant une moyenne), le taux de reconnaissance d'un BRUN serait de 1160/1360, soit 85,29% et le taux de reconnaissance d'un BLOND ne serait que de 50,00%.


Avec ces hypothèses, je crois qu'on trouve ton résultat ...

Et si quelqu'un a plus simple à proposer, merci d'avance !

Posté par LeDino LeDino

Je précise par rapport à ce qui précède, que si le test de capacité du témoin a été fait sur un échantillon composé à 50/50 de BRUNS et de BLONDS (ce qui est une hypothèse parfaitement réaliste pour une extrapolation plus efficace)... alors en appliquant le même calcul que Jun_Milan, on retrouve naturellement que le taux de reconnaissance est de 80% pour les BRUNS comme pour les BLONDS.

Donc outre l'erreur d'interprétation de l'énoncé consistant à distinguer la faculté de reconnaissance des BRUNS de celle des BLONDS, il y a également un arbitraire dans le fait de reconstituer cette capacité différenciée, à partir d'un test supposé effectué sur un échantillon ayant la même proportion 85/15 de BR et BL que celle de la population du village... car cette dernière hypothèse n'était absolument pas spécifiée dans l'énoncé...

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour LeDino,

L'énoncé :
          "elle reconnait la couleur des cheveux d'un homme en pleine nuit dans 80% des cas, qu'il soit blond ou brun, et donc se trompe dans 20% des cas"

me semble à la fois explicite et suffisant pour le problème ; il signifie, en français ordinaire sans faire appel à la philosophie ni à la formalisation des probabilités :

          "devant un blond en pleine nuit, elle déclare qu'il est blond dans 80% des cas et qu'il est brun dans 20% des cas ; devant un brun en pleine nuit, elle déclare qu'il est brun dans 80% des cas et qu'il est blond dans 20% des cas"

Posté par borneo borneo

Bonjour à tous  

Je remarque qu'à chaque nouveau message on récupère un ou un

"Autrefois" on en avait un de plus, et c'est tout.  

Posté par Pierre_D Pierre_D

C'est donc pour avoir un de plus que tu as envoyé le message ci-dessus ! Déception ...

Posté par LeDino LeDino



Bonjour Pierre_D,

Si tu reconstitues l'échange que j'ai eu avec Jun_Milan, tu verras que c'est exactement ce que je lui ai dit ...

Jun_Milan a mal compris l'énoncé. Il a du coup imaginé un procédé plutôt complexe... pour résoudre un problème différent de celui posé.

Ayant finalement compris son erreur, il s'interrogeait néanmoins sur l'énoncé qui aurait convenu à sa réponse... un peu comme si on posait le problème à l'envers : voici la réponse, quel est le problème qui lui convient ...

J'ai alors répondu à sa question...

Posté par borneo borneo



Que nenni ! C'est pour faire avancer le schmilblick


Et pour ceux qui ont aimé cette énigme, je vous mets un lien vers un exercice tout frais, qui a lui aussi un résultat qu'on n'attend pas. En probabilités, il ne faut pas se fier à son intuition, mais écouter ce que disent les calculs, sans se casser la tête.

Voilà l'exercice :

Posté par Rodolphe Rodolphe

Bonsoir Jamo,

de retour de vacances, je m'attendais à un smiley ! Surprise : un , je ne sais pas ce que j'ai fichu, pourtant mon raisonnement était le bon. Je m'y reprendrai à deux fois la prochaine fois.

Merci quand même pour cette énigme.

Posté par infophile infophile

Merci borneo j'ai donné des cours à une terminale cet été donc j'ai du me replonger dans les probas (3 ans que j'en avais pas fait ^^)

Posté par Pierre_D Pierre_D

D'accord, LeDino, c'est plutôt à Jun_Milan que mon message du 24-08-10 à 18:35 devait s'adresser.

Posté par borneo borneo



Tu as vu qu'on est tous les deux au classement des énigmes d'aout ?  

Posté par infophile infophile

Oui je viens de voir qu'il y a eu énormément d'ex aequo ces derniers mois, ce n'était pas le cas avant il y avait plus d'énigmes, mais j'aime les énigmes poissoneuses comme celle-ci

J'attends mon à la 214 maintenant

Posté par totti1000 totti1000

Salut infophile

ahh... l'enigmo 214...

Posté par jamo jamo



Oui, c'est vrai que bien souvent, c'est le temps moyen qui départage tous les ex-aequo.
J'essaie de proposer 5 énigmes par mois, ça me prend déjà un peu de temps, et si j'en proposais trop, j'arriverais peut-être à sec un de ces jours ... (d'ailleurs, je vais lancer un petit appel pour de nouveaux posteurs d'énigmes).

De plus, je reconnais que bien souvent, mes énigmes ne sont pas d'une difficulté diabolique, et qu'avec un niveau correct en math, à condition de ne pas faire d'étourderie, on peut y arriver.
Je privilégie plutôt le fait qu'un maximum de personnes participent aux énigmes, donc je ne peux pas en mettre des trop complexes ... même si cela arrive parfois !

Posté par borneo borneo

Merci Jamo  

Tu peux forcer sur les probas, ça fait du bien à tout le monde  

Posté par infophile infophile

Bien sûr jamo, avant il y avait plusieurs posteurs à la fois (puisea, minkus, JP etc), donc plus d'énigmes comme celles-ci (cf le ver ) et donc moins d'ex aequo. Mais bon le principal est de s'amuser

borneo > J'ai renoué avec les probas, en Terminale je détestais ça, et marco ?

Posté par borneo borneo



Ha ha, le ver. Par ici, les bizuts...

Seuls philoux (invité) et  pietro (invité) avaient trouvé ...

Posté par ZeDab ZeDab

IL FAISAIT NUIT !!!!
la nuit, tous les blonds sont gris...
la probabilité que la personne soit blonde sera déduite de la fréquence des blonds dans la population !

Posté par iloarnaud iloarnaud

12/29 je pense