Suite de Fibonacci et grenouilles

Posté par Dadoof-tef Dadoof-tef

Bonjour à tous, premier Devoir maison de l'année, premiers soucis.

On considère une grenouille qui peut faire des sauts de 1 mètre ou de 2 mètres. On appelle Un le nombre de façons de parcourir une distance de n mètres, la grenouille se déplaçant en ligne droite toujours dans le même sens ...
Il est donc clair que U1 = 1 ( un saut d'un mètre ) et U2 = 2 ( deux sauts d'un mètre ou un saut de deux mètres )

Partie A :

1) Calculer U3 et U4.
[ En envisageant toutes les possibilités, U3 = 3 et U4 = 5 ]

2) Démontrer que pour tout n 3, Un = U(n-1) + U(n-2).
[ Je n'arrive pas et je suis coincé ici ]

Merci d'avance

Posté par Jalex Jalex

Bonjour

Pour faire n+1 mètre, la grenouille peut faire
- d'abord n mètre puis sauter un mètre
- d'abord n-1 mètres puis sauter 2 mètres

Posté par monrow monrow

Salut

pour parcourir le n-ème mètre, la grenouille a deux possibilités: soit elle est au mètre n-2 et elle va faire un saut de 2mètres, soit elle est au mètre n-1 et elle va faire un saut de 1 mètre ..

Donc le nombre de manières pour arriver au mètre n, et la somme des manières d'arriver au mètre n-2 ou au mètre n-1

c'est plus clair?

Posté par Jalex Jalex

Pardon, j'ai mal lu les indices utilisés. Je recommence :
Pour faire n mètres, la grenouille peut faire
- d'abord n-1 mètres puis sauter un mètre
- d'abord n-2 mètres puis sauter 2 mètres

Posté par Dadoof-tef Dadoof-tef

En gros pour franchir n mètres, il faut en franchir n-1 ou n-2 donc n ne peut être inférieur à 3 sinon le n-2 vaudrait zéro . Merci !

Partie B :
On s'intéresse aux suites (Tn) avec n1 vérifiant la relation (R) : Tn = T(n-1) + T(n-2).
1) Si la suite Tn vérifie la relation (R) et si elle est géométrique de raison q, démontrer que q est solution de l'équation q² = q + 1.
[ Pour trouver la raison je crois avoir besoin de Uo mais impossible à trouver ici ... ]

Posté par monrow monrow

tu en as pas besoin de u0 ... remplace Tn par dans la relation (R) et regarde ce qui va se passer ...

Posté par Dadoof-tef Dadoof-tef

Uo x qⁿ = T(n-1) + T(n-2)
En clair dans la deuxieme partie de l'égalité dois je trouver Uo et qⁿ ?