Suites et récurrence

Posté par Lhareen Lhareen

Bonjour, je planche actuellement sur un exercice de suites et certaines questions me posent des problèmes. Je sollicite donc votre aide et je présente l'énoncé:

L'objet du problème est d'étudier la convergence de la suite (Un), n , définie par la relation (1):
(Un+1)=Un+(a^n)*(Un-1) pour tout n* et 0< u0 < u1 (où a ]0,1[ ).

1) Montrer que la suite (Un) définie par la relation (1) est toujours strictement positive.
2) En déduire que la suite (Un) est strictement croissante.
3) Montrer que pour tout entier naturel n >1 : 0 < Un+1 < (1+a^n)*Un

Pour la 1), dois je faire à nouveau un raisonnement par récurrence, par l'absurde, ou autre? J'ai tenté par la récurrence mais je me suis retrouvé bloqué à l'étape de l'hérédité.
Pour la 2) , je pars du résultat à trouver du 1) et j'en conclus facilement.
Pour la 3) , j'ai essayé de partir de 0< un < un+1 puis de 0 < un+1 < un+2. Sans résultat.

Néanmoins je n'ai encore mis l'exercice au complet car je veux encore réfléchir par moi meme pour la suite.
Merci d'avance.

Posté par veleda veleda

bonsoir,
3)
la suite est strictement croissante,=>pour

Posté par Lhareen Lhareen

Merci veleda.

Je suis cependant bloqué à la 4ème question de l'exercice:
4) En déduire que, pour tout entier naturel n > 1: 0 < Un < U1*(p=1 à n-1)*(1+a^p)

Posté par efpe efpe

Récurrence de nouveau, en t'aidant de la question précédente dans ton hérédité

Posté par Lhareen Lhareen

Désolé, mais j'ai beau essayé de faire l'hérédité, je n'arrive pas à retrouver ce que demande l'énoncé!
Comment peut on faire?

Posté par efpe efpe

On suppose que : Un < U1*(p=1 à n-1)*(1+a^p)
Or on sait que Un+1 < (1+a^n)*Un

D'où Un+1 < (1+a^n)*U1*(p=1 à n-1)*(1+a^p)

donc Un+1 < U1*(p=1 à n)*(1+a^p)

CQFD