Démonstration par récurrence

Posté par alexandra83 alexandra83

Bonjour à tous !

J'ai un petit soucis avec un exos de maths :

Montrer que 1x2+2x3+3x4+....n(n+1)= k(k+1)=1/3n(n+1)(n+2), pour tout n1.

Voilà ce que j'ai écrit :

Initialisation :

n=1   1(1+1)=1/3x1(1+1)(1+2)
        2   =   2
P(1) est donc vraie.


Hérédité :

On suppose que pour tout m1,

(de k=1 à k=m) k(k+1)=1/3m(m+1)(m+2)

On va montrer que (de k=1 à k=m+1) k(k+1)=1/3(m+1)(m+2)(m+3)

Et je bloque pour la démonstration !
Pourriez vous de donner un petit coup de pouce ?               

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

Hypothèse récurrence : 1x2+2x3+3x4+....n(n+1) = (1/3)n(n+1)(n+2)
A démontrer : 1x2+2x3+3x4+....n(n+1)+(n+1)(n+2) = (1/3)(n+1)(n+2)(n+3)

1x2+2x3+3x4+....n(n+1)+(n+1)(n+2) = (1/3)n(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)

donc

1x2+2x3+3x4+....n(n+1)+(n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)[(1/3)n+1] = ....

Et c'est fini.

Posté par boninmi boninmi

Pour passer de la somme correspondant à m à celle correspondant à m+1, tu ajoutes un terme à la somme précédente: (m+1)(m+2)

Il faut donc vérifier que

(1/3)m(m+1)(m+2) + (m+1)(m+2) = (1/3)(m+1)(m+2)(m+3)

Factorise et arrange le premier terme.

Posté par alexandra83 alexandra83

En factorisant j'ai donc :

[(1/3)m+1](m+1)(m+2)=[(1/3)m+(3/3)](m+1)(m+2)=(m+3)(m+1)(m+2)

Et ainsi la propriété est vraie pour tout m1.

Merci beaucoup pour votre aide ! Je vais peut être enfin comprendre la démonstration par récurrence... =D

Posté par littleguy littleguy

> alexandra83

Dans ta conclusion il te manque le facteur 1/3

Posté par alexandra83 alexandra83

Aaah oui j'avais pas vu ca... Oups ! J'ai plus qu'a tout recommencer ! Le problème c'est que je vois pas du tout comment je peux faire pour avoir le 1/3 et le (m+3)...

Posté par littleguy littleguy

Je reprends la fin de mon dernier post :

(n+1)(n+2)[(1/3)n+1] = (n+1)(n+2)[(n+3)/3]

et tu as ton 1/3

Posté par alexandra83 alexandra83

Ah oui d'accord c'est plus facile comme ca ! Merci beaucoup de ton aide !
Bonne soirée !