Somme de Riemann avec racine au dénominateur

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Somme de Riemann avec racine au dénominateur

Posté le 06-09-10 à 17:25

Posté par jasmine94320

J'ai oublié comment calculer une somme de Riemann du type Un = ∑(1/√(n² - k²)) (de k=0 à n-1)
Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait cool

re : Somme de Riemann avec racine au dénominateur

Posté le 06-09-10 à 17:57

Posté par cailloux

$3$\red{\text{Bonjour,}}$

$S_n=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)$ avec $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\lim_{n\to +\infty}S_n=\Bigint_0^1f(x)\,\text{d}x$

re : Somme de Riemann avec racine au dénominateur

Posté le 06-09-10 à 18:02

Posté par jasmine94320

Merci énormément!

re : Somme de Riemann avec racine au dénominateur

Posté le 06-09-10 à 18:08

Posté par cailloux

De rien jasmine94320

_{La prochaine fois, pense à commencer par un petit "bonjour"; cela facilite les échanges...}

re : Somme de Riemann avec racine au dénominateur

Posté le 06-09-10 à 18:19

Posté par jandri

Bonjour,

Le résultat donné par cailloux est exact mais on ne peut pas le justifier par la limite des sommes de Riemann d'une fonction continue sur un segment. D'ailleurs, l'intégrale de f sur [0,1[ est une intégrale impropre.
La justification se fait en utilisant le fait que f est croissante: on encadre son intégrale sur [k/n,(k+1)/n] par 1/n f(k/n) et 1/n f((k+1)/n), puis on ajoute les inégalités pour k de 0 à n-2.

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