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Etude d'une suite un+1=racine(2-un)


maths spéEtude d'une suite un+1=racine(2-un)

#msg3128542#msg3128542 Posté le 08-09-10 à 15:48
Posté par ProfilWeis Weis

Bonjour,
J'essaye d'étudier la suite un+1=racine(2-un) avec u0 inconnue mais je bloque.
Ds un premier temps j'ai essayé d'étudier la fonction f(un)=un+1 qui est décroissante sur ]-infini;2] mais ensuite je n'arrive pas vraiment à continuer. Il faut probablement étudier trois cas selon les valeurs de uo?
Pour l'étude du point fixe je trouve -2 et 1...
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128563#msg3128563 Posté le 08-09-10 à 15:55
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

C'est déjà nécessaire d'avoir des quantités positives sous la racine... Donc déjà u_0 \leq 2

Ensuite, -2 n'est pas point fixe!

Donc commence par regarder pour quels x on a f(x) < 2, ce qui te limitera les possibilités pour u_0...
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re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128590#msg3128590 Posté le 08-09-10 à 16:01
Posté par ProfilWeis Weis

Citation :
Ensuite, -2 n'est pas point fixe!
Pourtant quand on fait f(x)=x on trouve x²+x-2=0 et les racines sont -2 et 1 non?
Citation :
pour quels x on a f(x) < 2
On trouve pour x >=-2
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128611#msg3128611 Posté le 08-09-10 à 16:05
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

f(-2)=\sqrt{2-(-2)}=\sqrt{4}=2\neq -2

(piège classique... racine parasite après une élévation au carré)

Oui, de toute façon, pour que la suite existe c'est nécessaire d'avoir -2\leq u_0\leq 2. Maintenant tu montres par récurrence, que cette condition assure l'existence de TOUTE la suite.
Etude d'une suite U_n+1=Racine(3-U_n)#msg3128664#msg3128664 Posté le 08-09-10 à 16:15
Posté par ProfilDOMOREA DOMOREA

Bonjour,
J'imagine que tu as résolu l'équation x=racine(2-x)
Fais attention, les termes sont positifs à partir de U1
Observe que la suite (u_n) n'est pas définie si u_0<-2
Si u_0=-2 u_1=2 et ensuite u_n>0 -2 n'est pas un point fixe.
1 est point fixe ok
1 est le seul point fixe.
Observe la fonction f(x)=racine(2-x) et travaille avec la fonction id(x)=x
C'est classique On a f'(1)=-1/2 c'est important .
Montre que si u_0 appartient à [-2,2] u_n converge vers 1
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128719#msg3128719 Posté le 08-09-10 à 16:24
Posté par ProfilWeis Weis

Je viens de réussir la récurrence, j'ai utilisé la fonction f(un)=un+1 sachant qu'elle est décroissante sur ]-infini;2]
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128812#msg3128812 Posté le 08-09-10 à 16:46
Posté par ProfilWeis Weis


Ok donc
Donc on a f([-2;2]) inclue dans [0;2]
Et f est contractante sur [-2;2]
Et f a un point fixe 1 qui appartient à [-2;2]
Donc (un) avec u0 appartient à [-2;2] converge vers 1
C'est bien ça?
Et maintenant pour connaître la monotonie je dois sans doute faire des cas suivant les u0 possible non?
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128838#msg3128838 Posté le 08-09-10 à 16:53
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Oui, ça tend vers 1. Je ne vois pas pourquoi tu veux faire la monotonie... De toute façon avec une fonction décroissante ça fait un escargot...

Etude d'une suite un+1=racine(2-un)
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128854#msg3128854 Posté le 08-09-10 à 16:58
Posté par ProfilWeis Weis

Oui exact mais on me demande d'étudier la suite et par conséquent la monotonie non?
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128897#msg3128897 Posté le 08-09-10 à 17:04
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Ben, elle n'est pas monotone...
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3128966#msg3128966 Posté le 08-09-10 à 17:15
Posté par ProfilWeis Weis

Dans ce cas ne faut-il pas étudier les suites extraites (u2n) et (u2n+1)?
re : Etude d'une suite un+1=racine(2-un)#msg3130629#msg3130629 Posté le 09-09-10 à 14:11
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Si tu veux, c'est une méthode différente pour montrer la convergence. mais tu l'as déjà fait en utilisant l'argument "contractant"

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