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Triangle rectangle


secondeTriangle rectangle

#msg3167102#msg3167102 Posté le 24-09-10 à 16:52
Posté par ProfilSamR SamR

Bonjours,
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à faire l'exercice suivant ?

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8cm et AC = 4cm. Soit M un point du segment [AB] et AM = x.
N est un point de [BC] et P un point de [AC] tel que AMNP soit un rectangle.

Soit F la fonction qui a chaque x associe l'aire du rectangle AMNP.

Question 1: Quel est l'ensemble de définition de F ?

Question 2: Montrer que f(x) = \frac{1}{2}x(8-x).

Question 3.a: Verifier que f(x) = -\frac{1}{2}(x-4)2+8

Question 3.b: En déduire que l'aire du triangle AMNP est maximale pour une position particulière du point M que l'on précisera.

Triangle rectangle
re : Triangle rectangle#msg3167122#msg3167122 Posté le 24-09-10 à 17:08
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

Bonjour,

AMNP est un rectangle MN AP

tu peux utiliser Thalès pour trouver MN:

   MB/AB = MN\AC

puis l'aire du rectangle
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re : Triangle rectangle#msg3167202#msg3167202 Posté le 24-09-10 à 17:40
Posté par ProfilSamR SamR

\frac{BM}{AB}=\frac{MN}{AC} c'est-à-dire \frac{8-x}{8}=\frac{MN}{4} soit MN = \frac{8-x*4}{8}
donc MN = -4x
C'est bien ca ?
re : Triangle rectangle#msg3167223#msg3167223 Posté le 24-09-10 à 17:46
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

le début est bon

4$\rm \frac{MN}{4} = \frac{8-x}{8}

4$\rm MN = \frac{4(8-x)}{8}

4$\rm MN = \frac{(8-x)}{2}
re : Triangle rectangle#msg3167264#msg3167264 Posté le 24-09-10 à 17:56
Posté par ProfilSamR SamR

Donc pour calculer l'aire du rectangle AMNP on doit faire Ll c'est-à-dire AMMN donc x\frac{(8-x)}{2}
re : Triangle rectangle#msg3167285#msg3167285 Posté le 24-09-10 à 18:02
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

oui c'est bien ça

attention au signe "multiplié" qui ressemble trop au "x"

dans ce cas là je préfère rien mettre

3$\rm aire du rectangle = x\frac{(8-x)}{2}

ou encore comme ça:

3$\rm aire du rectangle = \frac{1}{2}x(8-x)
re : Triangle rectangle#msg3167706#msg3167706 Posté le 24-09-10 à 20:34
Posté par ProfilSamR SamR

Et pour la question 3.a: Vérifier que f(x) = -\frac{1}{2}(x-4)2+8

Moi, j'ai fait -\frac{1}{2}(x-4)2+8 = -\frac{1}{2}x2-4x-4x+16+8 = -\frac{1}{2}x2-8x+24. Mais après, qu'est ce qu'il faut faire ???
re : Triangle rectangle#msg3167751#msg3167751 Posté le 24-09-10 à 20:49
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

si tu développes tu dois retrouver la même chose:

3$\rm -\frac{1}{2}(x-4)^2 + 8

3$\rm -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) + 8

3$\rm -\frac{1}{2}(x^2 - 8x ) - 8 + 8

3$\rm \frac{1}{2}(8x - x^2)

3$\rm \frac{1}{2}x(8 - x)

c'est la forme canonique:

3$\rm \frac{1}{2}x(8 - x)

3$\rm \frac{1}{2}(8x - x^2)

3$\rm -\frac{1}{2}(x^2 - 8x)

3$\rm -\frac{1}{2}[(x-4)^2 - 16]

3$\rm -\frac{1}{2}(x-4)^2 + 8
re : Triangle rectangle#msg3167761#msg3167761 Posté le 24-09-10 à 20:52
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

après c'est la question 3b

en partant de la forme canonique:

(x-4)² est un carré toujours 0

-(x-4)² est toujours 0

je te laisse finir le raisonnement
re : Triangle rectangle#msg3167762#msg3167762 Posté le 24-09-10 à 20:52
Posté par ProfilSamR SamR

Ah d'accord, j'ai compris, merci !!!
Au fait l'ensemble de définition de f c'est f(x)= Aire du rectangle AMNP, n'est-ce pas ?
re : Triangle rectangle#msg3167768#msg3167768 Posté le 24-09-10 à 20:54
Posté par ProfilSamR SamR

Une minute, c'est quoi la forme canonique (j'avais pas recu ton dernier message)
re : Triangle rectangle#msg3167790#msg3167790 Posté le 24-09-10 à 21:03
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

le point M se déplace sur le segment [AB]

l'ensemble de définition c'est x [0;8]

la forme canonique d'une expression (un trinôme)

c'est faire apparaitre un carré

de façon à pouvoir trouver les extrémums de la fonctions,

étudier ses variations, factoriser,...
re : Triangle rectangle#msg3167824#msg3167824 Posté le 24-09-10 à 21:15
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

(x-4)² 0

le minimum de (x-4)² est zéro pour x=4

-(x-4)² 0

le maximum de -(x-4)² est zéro pour x=4

-(1/2)*(x-4)² + 8

le maximum de -(1/2)(x-4)² + 8 pour x=4 est ...
re : Triangle rectangle#msg3167835#msg3167835 Posté le 24-09-10 à 21:18
Posté par ProfilSamR SamR

-4 ? Mais, il n'y aurait pas une autre facon de pouvoir savoir pour quelle position particulière du point M, l'aire du rectangle AMNP est maximale. Parce que je crois que je n'ai pas encore étudier la forme canonique.
re : Triangle rectangle#msg3167849#msg3167849 Posté le 24-09-10 à 21:25
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

pour la forme canonique

tu n'es pas obligé de savoir que ça s'appelle comme ça

l'énoncé te le donne en 3a

il faut utiliser ce qu'on te donne

il suffit de savoir qu'un carré est toujours positif ou nul

l'aire sera maximale quand le carré sera nul

pour x=4

-(1/2)(x-4)² = 0

-(1/2)(x-4)² - 8 = 8

aire maximale est de 8 cm² quand x = 4 cm

le point M est au milieu de [AB]   AM = 4 cm

le point P est au milieu de [AC]   AP = 2 cm

aire AMNP = 4*2 = 8 cm²
re : Triangle rectangle#msg3167852#msg3167852 Posté le 24-09-10 à 21:27
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

c'est un plus évidemment !!!

-(1/2)(x-4)² + 8 = 8
re : Triangle rectangle#msg3167863#msg3167863 Posté le 24-09-10 à 21:31
Posté par ProfilSamR SamR

Aaaaaaaaaaaaaah !!! J'ai compris !!!
Merci beaucoup Daniel62 !!!
re : Triangle rectangle#msg3167867#msg3167867 Posté le 24-09-10 à 21:33
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

mais de rien

l'exo est terminé

Bonne soirée
re : Triangle rectangle#msg3167872#msg3167872 Posté le 24-09-10 à 21:35
Posté par ProfilSamR SamR

A toi aussi.
Bye
re : Triangle rectangle#msg3176496#msg3176496 Posté le 27-09-10 à 21:10
Posté par ProfilSamR SamR

Re-bonjours,
Sur le même exercice, il y a une autre question qui me gène et qui est la suivante:
Déterminer algébriquement les valeurs exactes de x pour lesquels l'aire de AMNP est égale à 4 cm2 (on justifiera que l'équation f(x)=4 équivaut à (x-4-8)(x-4+8)=0).
Pour prouver que (x-4-8)(x-4+8)=0 j'ai utilisé l'identité remarquable (a-b)(a+b)=a2+b2 c'est-à-dire que (x-4-8)(x-4+8)= (x-4)2+8
Mais après, que faut-il faire ?
re : Triangle rectangle#msg3176605#msg3176605 Posté le 27-09-10 à 21:35
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

l'aire du rectangle c'est -(1/2)(x-4)² + 8

pour une aire de 4 cm²

-(1/2)(x-4)² + 8 = 4

-(1/2)(x-4)² + 8 - 4 = 0

- + 4 = 0

4 - (1/2)(x-4)² = 0

différence de 2 carrés

2² - (1/2)(x-4)² = 0

2² - [(x-4)/2]² = 0

2² - [(x-4)*2/2]² = 0

[2 + 2*(x-4)/2]*[2 - 2*(x-4)/2] = 0

[4 + 2*(x-4)]*[4 - 2*(x-4)] = 0

[42 + 2*(x-4)]*[42 - 2*(x-4)] = 0

[22 + (x-4)]*[22 - (x-4)] = 0

ouf !!!

8 = 22
re : Triangle rectangle#msg3176635#msg3176635 Posté le 27-09-10 à 21:39
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

après on trouve les 2 solutions

x1 = 4 + 8

ou

x2 = 4 - 8
re : Triangle rectangle#msg3176647#msg3176647 Posté le 27-09-10 à 21:43
Posté par ProfilSamR SamR

Ah d'accord !!! Mais 1000 fois Daniel62.
re : Triangle rectangle#msg3176651#msg3176651 Posté le 27-09-10 à 21:44
Posté par ProfilSamR SamR

Ah !!! Désolé, je voulais dire MERCI 1000 fois !!!
re : Triangle rectangle#msg3176694#msg3176694 Posté le 27-09-10 à 21:52
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

de rien
re : Triangle rectangle#msg3176710#msg3176710 Posté le 27-09-10 à 21:57
Posté par ProfilDaniel62 Daniel62

je l'ai prouvé sans avoir le résultat

à partir du résultat on doit pouvoir développer

et prouver que c'est bien égal à f(x)-4

(8 + (x-4))(8 - (x-4))

8 - (x-4)² = 0

4 - 1/2*(x-4)² = 0

8 - 1/2*(x-4)²  = 4
Triangle rectangle#msg4844938#msg4844938 Posté le 13-10-13 à 20:02
Posté par Profilartpop artpop

Quelle est la réponse a le question 1 ?

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