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Exercice : la droite d’Euler
bonjour j ai un petit souci je ne sait rien faire dans ce dm car je ne comprend rien pouvez vous m aider merci
pour moi les hypotheses sont OH=OA+OB+OC et 2 OA'=AH
APRES JE SUIS COINCé POUVEZ VOUS M'AIDER MERCI BEAUCOUP
On considère un triangle ABC non équilatéral , on désigne par A' le milieu du
segment : [BC] , B' celui de [AC] et C' celui de [AB] , O le centre du cercle
circonscrit , G le centre de gravité . H est le point défini par :
OH=OA+OB+OC(vecteur
1) Ecrire les hypothèses
2) Démontrer que : AH=2OA'(vecteur
En déduire que (AH) est une hauteur du triangle ABC puis que H est
l'orthocentre du triangle ABC.
3) Démontrer que OH=3OG(vecteur
4) En déduire que les points O, G, H sont alignés. La droite qu'ils définissent
est appelée : « droite d'Euler du triangle ABC »
5) Quelle est la particularité de la droite d'Euler du triangle ABC lorsque ce
triangle est isocèle ?.
6) Pourquoi l'énoncé précise t-il que le triangle ABC n'est pas équilatéral ? .
7) Construire la figure avec Géogébra et l'imprimer
Hello.
1) Les hypothèses on les trouve dans l'énoncé, c'est ce qu'on donne comme situation :
ABC non équilatéral
A' le milieu du segment [BC]
B' celui de [AC]
C' celui de [AB]
O est le centre du cercle circonscrit
G le centre de gravité
H est le point défini par : OH=OA+OB+OC (vecteurs)
2)
AH=2OA' il faut le démontrer ce n'est pas une hypothèse, ce n'est pas une donnée. Il faut démontrer cette égalité vectorielle à partir des hypothèses ( voir 1) ).
Pour démontrer cette égalité il faut utiliser la relation de Chasles, il faut l'utiliser pour introduire A dans OH et A' dans OB et OC de l'égalité : OH=OA+OB+OC. Tu devras ensuite repérer des opposés.
Enfin AH étant colinéaire à OA' les droites (AH) et (OA') sont parallèles. Pour démontrer que (AH) est une hauteur il te suffira de montrer que (OA') est perpendiculaire à (BC).
Tu devras faire la même chose pour (BH) perpendiculaire à (AC).
3)
Toujours dans la même égalité et toujours avec Chasles tu introduiras G, puis tu utiliseras la propriété du centre de gravité.
4)
facile.
5)
facile
6)
facile
7)
facile
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