Le polygone.

Posté par J-P J-P

On a un polygone régulier dessiné sur une feuille de papier.
Ce polygone a été décalqué sur un papier calque.

On pose le calque sur le papier de telle manière que les 2 polygones se superposent exactement.

On pique une aiguille pour qu'elle traverse le centre des 2 polygones superposés.

En maintenant la feuille de papier fixe, on fait alors pivoter le calque autour de l'aiguille d'un angle de exactement 31,5 degrés.

Et ... on constate que les 2 polygones sont de nouveau exactement superposés.

Quel est le nombre minimum de cotés du polygone régulier ?

La réponse sera accompagnée du raisonnement pour mériter un smiley.
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Bonne chance à tous

Posté par mauricette mauricette

euh
ca me semble trop simple ...
je me suis surement plantée qq part ... ms bon je tente ...
la somme de tout les angles formés par le centre et 2 cotés consécutifs doit faire 360

on divise donc 360 par 31,5 pour trouve le nb minimum d'angle kil faut avoir,
on trouve 11,428571

dc jen déduit quil faut au minimum 12 cotés au polygone ...

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Si les deux polygones sont superposés après rotation de 31,5°, c'est que cet angle au centre délimite un nombre entier de côtés.
Soit n le nombre de côtés soustendus et N le nombre total de côtés.
On a :
n/N = 31,5/360 = 7/80 (qui est une fraction irréductible).
Donc on a pour valeurs minimales n = 7 et N= 80
Le nombre minimum de côtés du polygone régulier est donc de 80 ...

Posté par Dieu (invité)

   le polygone est régulier.Il est donc inscrit dans un cercle C de centre O et de rayon r.
   on effectue une rotation de centre O et d'angle 31.5 degrés. Comme on retrouve le polygone initial alors on peut affirmer que le point A qui avait pour coordonée polaire : [O;r ] est transformé en           B [31,5 °;r] et B est aussi un sommet du polygone initial .
     360 = 31.5 * 11 + 13.5 = 346.5 + 13.5
un autre sommet du cone est C [ 346.5 ;r ]
  Soit a l'angle  B_{[/sub]n O B[sub]}n+1
      avec B[sub][/sub]n le sommet de coordoné [ a * n ; r ]     ( n un entier naturel  )

   Comme B et C sont des sommets du polygone alors 31.5 et (360-346.5)= 13.5 sont des multiples de a .
  On veut determiner le polygone ayant le plus petit nombre de cotés donc l'angla a le plus grand possible.

Soit a = PGCD ( 315 ; 135 ) /10 = 4.5 °

360 = 80 * 4.5
    Le polygone regulier qui est solution posséde donc 80 cotés.

Posté par pietro (invité)

n'est pas un nombre entier.
L'angle au centre de 31,5° interceptera plusieurs côtés successifs du polygone. Soit x ce nombre de côtés et soit n le nombre de côtés du polygone cherché.

=
2³.3².5. =
On a donc n = 5.2⁴ =80 et x = 7
Un côté est intercepté par un angle au centre de ° = 4,5° et 7 côtés successifs sont interceptés par un angle au centre de 7.4,5° = 31,5°

Posté par bigufo bigufo

soit n le nombre minimum de cotés du polygone.
l'angle qui intercepte un coté d'un polygone est = 360/n , les 2 polygones vont se superposer si on tourne le calque d'un angle égal à ou un multiple de
donc 31.5 = k*360/n n = k*360/31.5
donc le nombre minimum k qui vérifie cette équation est 7. ce qui donne n=80

Posté par Severus (invité)

Hello,

Un polygone régulier à n faces est composé de n triangles isocèles dont l'angle du somment au centre du polygone vaut .

Pour retrouver le polygone de départ après une rotation de 31.5°, il faut que 31.5 soit un multiple du fameux angle du triangle isocèle (à chaque rotation de on retrouve notre polygone).

On a donc ():
.

Le polygone cherché a donc 80 faces et on a "pivoté" de 7 faces pour mesurer notre angle de 31.5°.

Severus

Posté par manpower manpower

Soit le nombre de côtés du polygone régulier convexe minimal.
( en fait cela ne change pas grand chose s'il est étoilé car il devra avoir les mêmes sommets )
La somme des angles d'un polygone régulier convexe à n côtés vaut donc, en notant, l'un des angles du polygone régulier on devra avoir

Par ailleurs, le polygone régulier en question doit être stable ou globalement invariant par la rotation de centre O, centre du polygone, et d'angle de mesure 31,5. Ce qui signifie que l'angle au centre (marqué en vert) ou l'un de ses multiples vaut 31,5. Mais alors puisque les triangles verts sont isocèles, les deux angles à la base (marqués en rouge) sont égaux et valent (180-)/2 donc les deux angles rouges adjacents qui forment un angle du polygone régulier indiquent qu'un angle du polygone vaut 180-.

On a donc .
Enfin, la solution n'est pas possible s'il on considère que est un angle au centre du polygone régulier (i.e. s'il s'agissait de la première superposition après rotation), donc il y a bien superposition finale mais en passant pendant la rotation par d'autres superpositions, ce qui veut dire que 31,5 est un multiple de . On peut ainsi écrire où est un entier.

L'équation précédente se ramène donc à qui conduit après simplifications à puis .
Le minimum (plus petite valeur entière) est donc réalisé pour et on en déduit .

Conclusion: Le nombre minimum de cotés du polygone régulier est de .
(l'ensemble des solutions étant l'ensemble des polygones réguliers (convexes ou étoilés) dont le nombre de côtés est multiple de 80)

Posté par Lopez Lopez

soit un polygone régulier à n côtés, de sommets A₁,...,A_n, inscrit dans un cercle de centre O
on a =
je note cet angle
donc n = et n

on fait pivoter le polygone de 31,5°
alors soit   = 31,5 et alors n = 360/31,5 : cette solution n'est pas la bonne car n doit appartenir à
soit il existe k tel que = 31,5/k et alors n = 360/(31,5/k) = 360k/31,5
après simplification par 5*3*3 = 45 on obtient
n = =

donc il faut chercher le plus petit entier naturel k tel que 80k/7 soit entier donc k = 7
d'où n = 80

80 est le nombre minimum de côtés

Posté par paltan (invité)

Soit n le nombre de côtés du polygone et
     k le nombre de côtés séparants deux sommets qui se superposent après rotation d'angle 31,5°.
Un angle de sommet le centre du polygone et de côtés passant par deux sommets consécutifs du polygone vaut 360/n degrés.
On a donc (360/n)k=31,5 avec n et k entiers.
donc n=80k/7. Le pus petit entier n de cette forme est 80.
80 est le nombre minimum de cotés du polygone régulier.

Posté par eldamat (invité)

On sait que pour 3 côtés il faudra une rotation de 120°, 240° ou 360°
pour 4 côtés il faudra une rotation de 90°, 180°, 270° ou 360°
pour 8 côtés il faudra une rotation de 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° ou 360°
donc on remarque que la plus petite rotation posible est égale à 360 divisé par le nombre de côtés. Les autres rotations possibles sont un multiple de ce nombre.
360/31.5 ne donne pas un entier donc la plus petite rotation est pour un sous multiple de 31.5
on trouve un entier pour 31.5/7=4.5 et 360/4.5=80

le nombre minimum de côtés est donc 80

Posté par EmGiPy (invité)

Hello tout le monde

enigme assez simple à mon gout, j'espère ne pas être tombé dans le piège!
On remarque que ne donne pas un nombre entier.
C'est pourquoi on cherche un réel tel que:

= y

En effectuant quelques calculs....
x = 7 et y = 80

On trouve très vite que au minimum il faut un polygone régulier de 80 de coté!

Ma réponse est donc:

* image externe expirée *

++ EmGiPy ++

Posté par shintao (invité)

80 cotés

Posté par borneo borneo

le polygone aura au minimum 80 côtés, car si je divise 360 degrés par 80 je trouve un angle au centre de 4.5 degrés. Si je fais tourner mon polygone de 7 "portions" je trouve mon angle de 31.5 degrés (7x4,5=31,5). Sur excel j'ai divisé 360 par une série d'entiers à partir de 3, ce qui m'a donné la valeur des angles au centre. Puis j'ai cherché quel angle au centre donnait un entier quand il divise 31,5.

Ma réponse : 80 côtés au minimum

Posté par doc_78 doc_78

Bonjour tout le monde,
On a donc tourné le calque d'un nombre entier de cotés pour qu'il coïncide avec la figure de départ.
31,5° correspondent à 7/80 de 360°.
On peut don imaginer un polygone régulier à 80 cotés, et chaque sommet aura tourné de 7 places.
Egalement valable pour 160,240 côtés, etc...
J'espère que le raisonnement va suffire...pour avoir un petit smiley !

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Réponse : 80

Méthode :
Un polygone régulier à n côtés est divisé en n secteurs égaux de 360/n °
Si on pivote le calque d'un nombre entier, k, de secteurs :
k.(360/n)=31.5 => ... => 80k=7n
=> le nombre minimal de secteurs pivotés est 7 pour ce polygone de 80 côtés.

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par Redman Redman

On converti 31,5 ° en radian:

La rotation s'est fait d'un angle de 7pi/40

on retrouve un autre sommet
donc l'angle que forment deux sommets avec le centre est de 7pi/40

donc on a 76 cotés.

Posté par BABA72 (invité)

Bonjour,

Here is it:

On fait pivoter le calque de 31,5° et on retrouve la même figure, donc on a superposé 1 coin sur un autre.
Supposons que ce soit 2 coins consécutifs, alors 360/31,5 devrait être un entier, ce n'est pas le cas, donc on écarte cette hypothèse.
Supposons que ce soit 1 coin sur 2 qui se superposent, donc 360/(31,5/2) devrait être un entier, idem, et idem.
Bref, ainsi de suite jusqu'à trouver 360/(31,5/n) = (360/31,5).n soit entier.

360/31,5 = 720/63 = 80/7 ; on voit que si n=7, ça le fait grave.

Donc un coté "forme" un angle à partir du centre de 31,5/7=4,5° ; il ne reste plus qu'à faire alors 360/4,5 = 80

Ma réponse est au minimum 80 cotés.

BABA

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

Je pense que le polygone comprend 80 côtés.

Explication:

Dans un polygone de N côtés, l'angle au centre qui intercepte un côté vaut 360°/N

De plus, si on fait pivoter le calque de sorte que le côté "1" se superpose au côté "k" de la figure dessinée sur la feuille, on fait tourner le calque de k*360°/N

Le problème consiste à chercher les plus petits k et N tels que 31.5=k*360/N
Ceci revient à dire N/k=360/31.5=80/7

Conclusion: le polygone comprend 80 côtés et il faut faire tourner le calque afin que le côté "1" qui s'y trouve se superpose au côté "8" de la feuille.

Posté par lyonnais lyonnais

salut J-P et bonjour à tous :

Bon, ça sent le , mais bon, je me lance ...

Réponse : cotés au minimum = octacontagone


raisonnement : 315 est divisible par 1 , 3 , 9 , 7 , 5 -> donc 31,5 l'est aussi.

             


On peut inscrire le polygone dans un cercle dont le centre coinside avec le centre du polygone. Ainsi, la somme des angles internes du polygones est égale à 360° .
Moins le polygone régulier à de cotés, plus l'angle intérieur séparant de sous ensemble est grand.

  -> marche pas.

-> marche pas.

-> marche pas.

   ->  marche.

-> marche pas.

On en déduit donc que le polygone régulier est constitué de 80 cotés ( au minimum ) avec un angle intérieur séparant deux sous ensemble ( des triangles isocèles ) égal à 4,5°.
Ainsi, quand on fait pivoter la figure de 31,5°, on saute 7 sous ensembles et on retombe exactement sur la même figure.

Et voici la bête :

@+
lyonnais



  

Posté par franz franz

Si on note par les sommets du polygone régulier d'affixe respective   et son centre, la rotation de centre O et d'angle laisse le polygone globalement invariant. Cela signifie qu'elle transforme le sommet en le sommet et que par conséquent

     .

n et k étant des entiers naturels non nuls et comme 7 est premier avec 80, 80 divise n. Le plus petit entier n vérifiant est .

Le polygone a au moins côtés.

Posté par kiki63 (invité)

j'ai bien une réponse mais je suis vraiment pas sur.

si un polynome a N cotés si on tourne de 360/N on retonmbe sur le même polynome donc ici
360/31.5=11.42857143

comme le nombre de coté doit être un nombre entier

nbre de coté = 11.42857143*100000000=1142857143 cotés

Posté par Sticky Sticky

Tentons ...
Soit un polygone régulier de centre O.
Soit A et B deux sommets consécutif de ce polygone.
La rotatin de centre O qui transforme A en B transforme ce polygone régulier en lui-meme, il est donc invariant par cette rotation

On peut donc dire que 31,5degrés et la "valeur de la rotation" vu que 2 polygones sont de nouveau exactement superposés.

Soit x le nombre de cotés, on a:


Il doit donc a avoir au minimum 11 côtés

Sticky

Posté par Razibuszouzou (invité)

Par définition, un polygone régulier à N côtés est une figure plane à N côtés, convexe,  inscrite sur un cercle, et dont tous les côtés ont la même longueur.  La propriété fondamentale du polygone régulier à N côtés, c'est qu'il est laissé invariant quand on fait une rotation autour du centre du cercle,  et d'angle 360°/N.

On notera :
- qu'une rotation plus petite que 360°/N ne laissera pas notre polygone invariant
-mais qu'une rotation de 360*M/N (avec M entier) le laissera invariant, puisqu'elle cette rotation reviendra à M rotations de 360°/N.


Ici, notre polygone est conservé par une rotation de 31,5°.

Or 31,5 = 360*7/80. Il semblerait donc que l'on se retrouve dans le cas précédent avec M = 7 et N = 80. Notre polygone serait donc un polygone à 80 côtés. Mais vérifions tout ça.

Prouvons d'abord qu'une rotation de 360°/80 laisse invariant notre polygone :

Si l'on opére 23 fois la rotation de 31,5°, le polygone est toujours invariant.
Or 23*31,5 = 724,5° = 2 tours complets plus 4,5°
La rotation de 23 fois 31,5° equivaut donc à une rotation de 4,5° = 360°/80.

Prouvons ensuite que 80 est la plus petite valeur de N possible :

S'il existait une valeur P<80, telle que 360°/P soit invariant, alors la rotation  de 31,5° en serait un multiple, et on aurait 360*7/80 = 360*Q/P. C'est impossible car 7 et 80 sont premiers entre eux, on ne peut donc simplifier 7/80 pour obtenir Q/P avec P<80.

CQFD.

En définitive, la plus petite valeur de N possible est bien 80 côtés.

Posté par paysan77 (invité)

soit n le nombre de cotés sautés par la rotation de 31.5 degrés
donc pour passer d'un coté du polygone a un autre il faut faire une rotation de 31.5/n degré
mais ce nombre de cotés doit etre entier
donc
31.5/n doi diviser 360
donc 80n/7
il faut que n soi un multiple de 7 car 80 ne l'est pas
or il faut le nombre le plus petit donc n=7
pour 31.5 il y a 7 cotés qui ont sauté.
donc un coté pour 4.5 degré.
il y a donc 80 cotés de 4.5  degré ce qui verifie le resultat précédent
j'espere que les poissons m'épagneront

Posté par hakaka (invité)

Un polygone régulier à n côtés est découpé en n secteurs angulaires valant chacun 360/n degrés.
360/31.5=80/7.
Cela signifie qu'en se plaçant à un sommet et en tournant de 31.5 °, on retrouvera une figure superposable en se trouvant 7 sommets plus loin avec un polygone à 80 côtés.
Et pour se retrouver au sommet de départ, il faudra faire 7 rotations complètes de 360 °.
J'espère avoir été assez clair ?!?!?!

Posté par Triso_mimick (invité)

Salut je suis nouveau sur le site et je viens de découvrir la partie enigme qui est très énigmatique . Oui je sais je suis trisomique

Donc pour la question moi je dirais au pif 80 côtés, mais j'ai pas envie de mettre la démonstration tout simplement parce que je n'en ai pas
Et oui en effet je me sert très bien de ma calculette et les divisions sont mon domaine préférée.

A moi de vous proposer une enigme particulièrement difficile, d'ailleurs je me suis planté comme une m**** !

Quelle était la couleur du cheval blanc d'Henri IV ?

Bonne réflection, au fait en passant la réponse est blanc, ne me demandais pas pourquoi, c'est mon psy qui me l'a dit.



@+ pour de prochaines enigmes

Posté par kyrandia (invité)

bonsoir,

soit n le nombre de côtés du polygone régulier
soit p la mesure de l'angle au centre du polygone régulier

on a donc 360/n = p (1) : formule de l'angle au centre pour un polynome de n côtés
de plus k*p=31,5 (2) : car il y a superposition pour un angle de 31,5

en combinant (1) et (2) j'obtient :

n = (360/31,5)*k
comme k et n entier, la première valeur de n vaut 80 pour k =7

ainsi le nombre minimum de cotés du polygone régulier est 80

Posté par paulo paulo

bonjour,

voici mon raisonnement:

il faut trouver un polygone regulier dit de base dont l'angle au centre multiplie par un nombre entier donne  31°5 . ensuite en divisant 360° par cet angle au centre on doit obtenir un nombre entier d'angles egaux , donc de cotes opposes egaux donc un polygone regulier.

soit:





pour x = 7 , on trouve N = 80


les autres sont 160 , 240 , 320  etc...

le nombre minimum de cotes du polygone regulier est de  80 cotes.

merci et au suivant

PAULO                                              

Posté par Choun (invité)

Il faut trouver le plus grand nombre inférieur à 31.5 dont 31.5 est un multiple et par lequel 360 est divisible.
Autrement dit : il faut que soit un entier et que soit le plus petit possible.

Le plus petit x trouvé pour satisfaire ces conditions est 7.
Cela veut donc dire qu'il y a 7 segments du polygone dans un angle de 31.5°.
On a donc .

Le polygone doit avoir 80 côtés minimum.

Posté par pinotte (invité)

L'angle au centre du polygone devra être de 31,5° exactement lorsque l'on relie deux sommets du polygone au centre. J'ai donc divisé 360° par , n étant le nombre de petits triangles consécutifs formant l'angle de 31,5° (ouf... j'ai jamais eu l'impression d'être aussi précise!).

L'obtention d'un nombre entier se fait lorsque n = 7. Ainsi, chaque angle au centre entre deux sommets est de 4,5°. Le polygone a donc minimalement 80 côtés!

Vraiment pas certaine de celle-là :S

Posté par lechintok (invité)

Le polygone a au moins 40 cotés car 1260°(soit 3 tours et demi) divsé par 31.5° est égal à 40, d'où ma réponse.

Posté par infophile infophile

Bonjour à tous

Alors je préviens tout de suite, moi je n'attache pas de raisonnement à ma réponse car je n'en est pas lol, oui en fait il se trouve que j'ai résolu l'énigme au pif, donc je sais que j'aurais le poisson mais bon ce n'est qu'un jeu. (et puis je ne voudrais pas en désavantager d'autre qui eux auront fait preuve de logique et n'auront pas jouer avec la calculette jusqu'à trouver )

J'ai fait comme ceci:

J'ai cherché à savoir quelle nombre (multiple de 360°) est divisible par 31.5 et qui tombe juste (qui aboutit à un entier), donc j'ai multiplié 360° par plusieurs entiers relatifs, et à 7 ca à marché, en effet:



Donc en fait je dirais qu'il y a au minimum 80 côtés qui composent le polygone régulier considéré

Merci pour l'énigme

@+ sur l'
Kevin

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

La réponse attendue était 80.

A bientôt pour de futures énigmes.

Posté par shintao (invité)

Pourquoi est-ce qu'on a droit à un poisson quand on ne répond que partiellement à l'énoncé? Pourquoi ne pas simplement annuler la réponse?

Merci quand même pour l'énigme

Posté par infophile infophile

Bonjour shintao, et bien c'est la politique des enigmes. En effet, si tu as faux ou partiellement juste, ta réponse est considérée de la même façon. Les correcteurs d'énigmes ne prennent en compte que la première réponse, c'est à dire le premier post (d'ailleurs c'est ce qui va me coûter le prochain poisson pour l'enigme de l'âne). Si tu tiens vraiment au points (je le rappelle ce n'est qu'un jeu), alors vaut mieux s'abstenir de poster que de poster en ayant le préssentiment d'avoir faux ou en sachant que le raisonnement demandé n'est pas complet.

Voila, en tout cas on s'amuse mieux avec ces énigmes n'est-ce pas .

@+ sur l'
Kevin