distinction des cas

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distinction des cas

Posté le 10-10-10 à 14:19

Posté par mathfan

bonjour puis je avoir une aide sur le probleme suivant :

si $x,y,z\geq 2$ et $xy\leq z$ alors $x+y\leq z$ .

merci

re : distinction des cas

Posté le 10-10-10 à 14:50

Posté par Bachstelze

Salut,

si x et y sont tous deux ≥ 2, x+y ≤ xy.

Preuve : quitte à changer l'ordre des termes, on considère que y ≥ x.

xy - (x+y) = x(x+(y-x)) - 2x+(y-x) = x^2 + x(y-x) - 2x + (y-x) = x(x-2) + (x+1)(y-x).

x ≥ 0 car x ≥ 2
x-2 ≥ 0 idem
x+2 ≥ 0 idem
y-x ≥ 0 car y ≥ x

On a au final xy - (x+y) ≥ 0, d'où xy ≥ x+y.

re:

Posté le 12-10-10 à 01:57

Posté par mathfan

merci bcp

re : distinction des cas

Posté le 12-10-10 à 07:30

Posté par niparg

bonjour
x et y

x+y

xy
posez x=2+a et y=2+b avec a et b

0
alors x+y=4+(a+b) et xy=4+2(a+b)+ab

xy-(x+y)=(a+b)+ab

re : distinction des cas

Posté le 12-10-10 à 14:55

Posté par niparg

une autre démonstration
x et y

$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ CQFD

re:

Posté le 12-10-10 à 15:38

Posté par mathfan

merci

solutions diversfiees, vive la logique

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