Enigmo 222 : Une boisson transcendante

Posté par verdurin verdurin

Alors il est facile d'obtenir un litre avec un pichet de contenance litre et l'autre de contenance 1+ litres.

Je ne vois vraiment pas ce que tu veux dire...

Mais je serais heureux de le comprendre.
J'ai le sentiment qu'il y a qqc d'intéressant, mais je n'arrive pas à le saisir.

Posté par jarod128 jarod128

Ma remarque est la suivante.
Pi et 1+Pi sont transcendants. Mais l'exercice ne marche pas veut dire dans mon esprit que l'on peut (et même très facilement) avoir 1 litre avec ces deux pichets. Et donc la suite de l'énoncé n'a pas d'intérêt.
Ce qui me fait dire que ce n'est pas la transcendance l'argument.
Il en est de même pour 2 et 1+2
par contre pi et e permettent d'avoir l'exercice comme il est posé mais également par exemple 2 et 3 qui ne sont pas transcendants mais irrationnels.
Ma conclusion est que le titre est mal choisi. Parler de boisson irrationnelle se rapprocherait comme bon titre mais ne serait toujours pas correct (cf 1+2 et 2) ...
Toujours pas d'accord avec moi?

Posté par LeDino LeDino

Bonjour jarod,

J'ai un autre exemple pour imager les subtiles nuances de ton intervention :
je dirais que ta remarque est "rationnelle"...
mais qu'elle n'est pas "transcendante".

Qu'en dis-tu ?

Posté par jarod128 jarod128

Bonjour LeDino.
Exact, mais j'ai toujours voulu être rigoureux en math.
Néanmoins, es-tu d'accord avec ma remarque ou bien je délire totalement?

Posté par LeDino LeDino

Bonjour jarod,

Je ne suis pas expert en "délires", alors je ne sais pas si ma réponse sera très pertinente, mais je vais faire de mon mieux ...

D'un coté, c'est vrai que le caractère transcendant de e et ne semble pas nécessaire pour poser le problème. Il aurait donc été en effet possible de formuler le même énoncé avec des nombres irrationnels non liés algébriquement.

Mais il faut d'un autre coté reconnaitre qu'un énoncé avec e et , a bien plus d'allure, et qu'une "boisson transcendante", outre qu'elle présente tous les signes d'un breuvage particulièrement digne d'intérêt, cela sonne tout de même mieux que "boisson irrationnelle algébriquement indépendante" ... Donc ne serait-ce que pour le charme de l'énoncé, jamo a probablement eu raison de choisir ce titre, ce d'autant qu'il n'a jamais eu la prétention d'inventer une classe de "problèmes transcendants" et que la transcendance évoquée n'a qu'une incidence purement narrative et secondaire dans l'énoncé...

Du reste, le même problème aurait également pu être posé en valeurs décimales... on aurait noté E=2,71828 l'approximation décimale de e, et P=3.14159 l'approximation décimale de , et on aurait demandé quel nombre minimal de transvasements permettait d'obtenir 1 litre à 1% près... Tout au plus n'aurait-on pas pu dire en introduction qu'aucune solution exacte n'existait à ce problème... Mais la solution du problème approché ainsi que le mode opératoire de sa résolution pratique, auraient été quant à eux en tous points similaires... D'ailleurs les outils informatiques utilisés pour trouver la solution étant à précision limitée, je suppose que tout le monde est parti de cette simplification pour trouver une solution au problème approché...

En conclusion, mon sentiment est que je ne vois vraiment pas de meilleur titre que celui proposé... tout en comprenant qu'on puisse ne pas être "dupe" de la présentation esthétique et flatteuse du problème .

Qu'en penses-tu ?

Posté par jarod128 jarod128

Et bien je suis évidement d'accord avec toi mais j'avais envie de faire cette précision car j'ai eu l'impression en lisant les réponses et autres commentaires pour cette énigme que certains des contributeurs pouvaient penser que c'était la transcendance de ces nombres la clef du problème alors que c'est le fait qu'ils soient algébriquement liés comme tu le précises si bien.

Posté par LeDino LeDino

En fait jarod, si on relit bien les interventions de noflah et de MatheuxMatou, ils posaient déjà très clairement la même alerte que toi.

noflah : "Serait-ce parce que pi et e son algébriquement indépendants ?"
MatheuxMatou : "Oui, effectivement, je m'étais posé la même question que NoFlash... est-il démontrée que x.e+y. = 1 n'a pas de solution dans ZxZ ?"
...
et si on lit encore plus attentivement l'énoncé de jamo, on voit que lui même introduit un "doute", voire une "interpellation" pour qui s'intéresse à la question :

jamo : "... même avec la meilleure volonté du monde et tous les transvasements possibles et imaginables, il ne sera jamais possible d'obtenir exactement 1 litre de boisson ! (ah bon ... ? )"

Conclusion :
Il n'y a pas vraiment de confusion engendrée par le titre. Et les lecteurs intéressés (et compétents) peuvent (comme l'ont fait noflah et MM), s'interroger sur le postulat proposé par jamo en introduction.

Je ne suis pas spécialiste, mais de fait, la question semble bien être celle de l'indépendance algébrique de e et ... qui du reste n'est pas à ce jour démontrée selon WIKI.

Quant au prof de maths de noflah, il a peut-être confondu avec e et exp(), qui sont démontrés comme algébriquement indépendants [Nesterenko en 1996]...

En tout cas, tant que personne ne réfute la conjecture de jamo, l'énoncé tient la route ...