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exercice à initiatives

Posté par
froudjiba 18-10-10 à 17:31

Bonjour,
Je bloque sur cet exercice, un peu d'aide serait bienvenue


On a \huge u_0=0 et \huge u_{n+1}=\sqrt{12-u_n}

Je dois montrer que \huge \forall n\in\mathbb{N},|u_{n+1}-3|\leq\frac{1}{3}|u_n-3|, en déduire que \huge \forall n\in\mathbb{N}*,|u_{n}-3|\leq\frac{1}{3^{n-1}}, puis conclure sur la convergence de la suite \huge (u_n).



Je ne sais pas du tout comment aborder le problème, merci de m'aider svp

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice à initiatives 18-10-10 à 17:36

Bonjour,
Formes toujours |u_{n+1}-3|= \sqrt{12-u_n}-3|
Multiplies haut et bas par la quantité conjuguée |\sqrt{12-u_n}+3| et tu vas trouver une forme qui sera plus facile à traiter pour montrer que c'est inférieur à ce que l'on te demande

Posté par
raymond Correcteurre : exercice à initiatives 18-10-10 à 17:40

Bonsoir.

3$\textrm |u_{n+1}-3| = |\sqrt{12-u_n}-3| = |\fra{(\sqrt{12-u_n}-3)(\sqrt{12-u_n}+3)}{\sqrt{12-u_n}+3}|

Posté par
froudjibare : exercice à initiatives 18-10-10 à 18:08

Ok donc si j'ai bien compris cela revient à prouver que \huge |3+\sqrt{12-u_n}|\geq 3

Je ne suis pas très sûr...

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice à initiatives 18-10-10 à 18:31

Pourquoi ne pas dérouler la piste que nous t'avons tracé au lieu de partir sur d'autres considérations (que je n'ai pas comprises d'ailleurs)?
le numérateur est un (A+B)(A-B)

Posté par
froudjibare : exercice à initiatives 18-10-10 à 19:04

Une erreur de signe dsl :

En mutipliant par l'expression conjuguée, on doit donc prouver que :
\huge \|-\frac{u_n-3}{3+\sqrt{12-u_n}}\|\leq\frac{1}{3}|u_n-3|\Leftrightarrow\frac{1}{\|-(3+\sqrt{12-u_n})\|}\leq\frac{1}{3}\Leftrightarrow\|-(3+\sqrt{12-u_n})\|\geq 3 (termes positifs)


C'est pas bon ?

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice à initiatives 18-10-10 à 19:09

Quand tu en es à |\frac{U_n-3}{3+\sqrt{21-u_n}}| tu dis juste que pour majorer la fraction, il suffit de minorer le dénominateur et donc que c'est < |u_n-3| /3

Posté par
froudjibare : exercice à initiatives 18-10-10 à 19:20

Euh oui je suis d'accord sauf que là c'est \huge 3-u_n qu'on trouve avec la quantité conjugée et non \huge u_n-3...

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice à initiatives 18-10-10 à 19:21

C'est pareil |3-u_n| = |u_n-3| c'est magique les valeurs absolues

Posté par
froudjibare : exercice à initiatives 18-10-10 à 19:26

Ah ok désolé et merci beaucoup pour ton aide.

Pour la suite ca se fait par récurrence ?

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice à initiatives 18-10-10 à 19:27

non tu réitères l'inégalité en faisant décroître n comme pour les suites géométriques.

Posté par
froudjibare : exercice à initiatives 18-10-10 à 19:49

Euh désolé mais je comprends pas...

On a : \huge |u_{n}-3|\leq\frac{1}{3}|u_{n-1}-3|

Je ne vois pas trop quoi faire avec ca...

Posté par
froudjibare : exercice à initiatives 18-10-10 à 20:15

S'il vous plait...

Posté par
froudjibare : exercice à initiatives 18-10-10 à 20:21

Ah mais j'a vérifié, tout compte fait ca se fait très bien par récurrence grace à l'inégalité qu'on a prouvé juste avant !

Posté par
raymond Correcteurre : exercice à initiatives 19-10-10 à 15:33

Bonne soirée


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