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exercice d'analyse fonctionnelle


masterexercice d'analyse fonctionnelle

#msg3238562#msg3238562 Posté le 25-10-10 à 16:54
Posté par Profiljulien007 julien007

Bonjour à tous, je suis bloqué dans un exercice sur les convergences faibles :

Prouver que les suites ci-dessous convergent faiblement vers 0 dans L²(oméga), mais ne sont pas fortement convergentes à cause d'un problème :

1. d'oscillations (la suite oscille de + en +), où la suite définie sur oméga = ]-pi,pi[ est

   u_n(x) = (pi)^(-1/2) * cos(nx)

2. d'évanescence (la suite s'évanouit, elle se translate de + en + loin), où la suite est définie sur oméga = R par

   u_n(x) = u(x-n) où u est la fonction caractéristique de l'intervalle [0,1]

3. de concentration (la suite se concentre en un point), où la suite est définie sur oméga = ]-1,1[ par

   u_n(x) = n^(1/2) * u(nx) où u est la fonction caractéristique de oméga


Et voici mon raisonnement : u_n conv faibl vers 0 ssi l'intégale sur oméga de u_n(x)*h(x) dx tend vers 0 pour tout h dans L²(oméga).


1. J'effectue une intégration par parties et cela a marché (j'obtiens bien 0)

2. J'aboutis à l'intégrale sur [n,n+1] de h(x) dx et en faisant tendre n vers l'infini, j'obtiens 0 aussi

3. Je coince !


D'avance, je vous remercie de m'aider pour confirmer les 2 premières réponses (si ma méthode est bonne et que je ne trouve pas 0 par hasard) et pour me décoincer dans le 3.


NB  Je ne pense pas qu'il faut prouver que la conv forte n'a pas lieu dans les 3 cas (l'assistant a dit de ne pas le faire)
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238772#msg3238772 Posté le 25-10-10 à 17:36
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Bonjour.

Citation :
1. J'effectue une intégration par parties et cela a marché (j'obtiens bien 0)

Pourquoi as-tu le droit d'intégrer par parties ? Pour pouvoir intégrer par parties, il faudrait que le h \in L^2 soit C^1.
Or a priori, ce n'est pas le cas.
Vois-tu comment contourner ce problème ?

Ok pour la question 2 !

Pour la 3, fais un changement de variables.

Même si on ne te le demande pas, tu peux quand même montrer qu'il n'y a pas convergence forte pour t'entrainer.
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re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238784#msg3238784 Posté le 25-10-10 à 17:41
Posté par Profiljulien007 julien007

Bonjour,

mais dans tout l'exercice et donc dans 1. aussi, h est dans L²(oméga) (c'est ce que j'ai écris au début de mon raisonnement) => c'est permis, non ?

merci pour 2.

et pour 3. , on pose t=nx ?
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238794#msg3238794 Posté le 25-10-10 à 17:44
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Bah justement, ce que je dis, c'est que ce n'est pas permis !
Pour faire une intégration par parties, il faudrait que h soit C^1 donc dérivable !!
Quel sens donnes-tu à la dérivée de h si elle n'est pas dérivable ...

Pour la 3), essaye au lieu de demander ...
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238819#msg3238819 Posté le 25-10-10 à 17:49
Posté par Profiljulien007 julien007

1. ah oui, c'est au sens des distributions, c'est ça ? => emploi de la formule pour la dérivée d'une distribution

3. je vais essayer...
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238829#msg3238829 Posté le 25-10-10 à 17:52
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Inutile de passer par les distributions. (on peut y arriver comme ça, mais ça revient au même, et c'est moins élémentaire)

Tu es arrivé à montrer en intégrant par parties que \lim_{n \to \infty} \Bigint_{-\pi}^{+\pi}u_n(t)h(t)dt = 0 lorsque h est de classe C^1.
Est-ce que tu ne vois pas un moyen d'étendre le résultat à tous les h \in L^2 ?
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238854#msg3238854 Posté le 25-10-10 à 18:00
Posté par Profiljulien007 julien007

Non, je penses + aux limites de suites de Cauchy qui nous donnent des éléments de L² (j'ai vu que L² est un espace complété de l'espace des fcts de classe C infini et à support compact)
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238886#msg3238886 Posté le 25-10-10 à 18:07
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Oui, c'est plus ou moins ça !
Il faut utiliser la densité des fonctions régulières dans L^2. (sans nécessairement parler de complété)
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238921#msg3238921 Posté le 25-10-10 à 18:17
Posté par Profiljulien007 julien007

ca a marché et pour le 3. , j'obtiens avec t=nx, n^(-1/2) * intégrale de u(t) dt => on tend bien vers 0 pour n infini
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238943#msg3238943 Posté le 25-10-10 à 18:25
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

N'oublie pas la fonction test h ! Là, tu viens de vérifier qu'il y a convergence forte dans L^1, ce n'est pas le but de l'énoncé.
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3238975#msg3238975 Posté le 25-10-10 à 18:34
Posté par Profiljulien007 julien007

oh oui, juste, je l'ai bousillé...

j'ai alors n^(-1/2) * intégrale de u(t)*h(t/n) dt

=> pour n infini, h(t/n) -> h(0) = cste et le tour est joué en revenant à mon raisonnement sans h?
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239069#msg3239069 Posté le 25-10-10 à 19:10
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Tu ne peux pas dire que h(\frac{t}{n}) \to h(0), h est une fonction définie presque-partout. Parler de sa valeur en 0 n'a pas de sens !
Néanmoins, on peut conclure autrement.
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239085#msg3239085 Posté le 25-10-10 à 19:16
Posté par Profiljulien007 julien007

on majore la valeur absolue de l'intégrale et on est <= à la l'intégrale de la valeur absolue puis un facteur est <= à son suprémum qui est une constante et c'est juste ou je suis à côté ?
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239092#msg3239092 Posté le 25-10-10 à 19:18
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Détaille un peu plus, j'ai du mal à suivre ton raisonnement.
Il faut bien passer à la valeur absolue, mais la fin me semble un peu "baclée".
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239112#msg3239112 Posté le 25-10-10 à 19:23
Posté par Profiljulien007 julien007

oups pardon

Donc, |intégrale de u(t)*h(t/n) dt| <= intégrale de |u(t)*h(t/n) dt|
                                    <= sup u(t) * intégrale de |h(t/n)|

mais je ne suis pas sûr...
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239143#msg3239143 Posté le 25-10-10 à 19:33
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Quand on écris quelque chose, il faut être sur que c'est correct, sinon, c'est qu'on passe à côté. (après, même quand on écris des choses correctes, on n'est pas certain de résoudre un exercice, c'est une autre histoire ...)

N'oublie pas que u n'est pas une fonction quelconque, on peut simplifier grandement les choses.
Il reste aussi à montrer que l'intégrale de h(t/n) tend vers 0.
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239152#msg3239152 Posté le 25-10-10 à 19:36
Posté par Profiljulien007 julien007

Mais je pense ne pas avoir compris ce que c'est qu'une fct caractéristique sur oméga
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239157#msg3239157 Posté le 25-10-10 à 19:37
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

C'est la fonction qui vaut 1 sur Omega, et 0 ailleurs.
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239167#msg3239167 Posté le 25-10-10 à 19:41
Posté par Profiljulien007 julien007

mais comment simplifier les choses en sachant cela ? pour l'intégrale avec h(t/n) , je ne vois pas non plus que faire ?
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239211#msg3239211 Posté le 25-10-10 à 19:57
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Ben pour simplifier, tu remplaces u par son expression ...
Pour l'intégrale de h, écris proprement les choses, avec le facteur n^{-1/2}, et applique Cauchy-Schwartz par exemple. (n'oublies pas que h est L^2)
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239281#msg3239281 Posté le 25-10-10 à 20:24
Posté par Profiljulien007 julien007

et j'en déduis alors qu'on tend bien vers 0 dû à n^(-1/2) qui tend vers 0 et par Cauchy-Schwarz, on a l'intégrale qui est bornée.
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239291#msg3239291 Posté le 25-10-10 à 20:27
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Oui, c'est ça.
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239298#msg3239298 Posté le 25-10-10 à 20:29
Posté par Profiljulien007 julien007

Et bien merci pour tout, j'en ai appris des choses et c'est ce que je voulais

Merci
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239346#msg3239346 Posté le 25-10-10 à 20:44
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

De rien, courage pour la suite de tes études.
Tu as choisi un module d'analyse fonctionnelle pour ton parcours ?
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239378#msg3239378 Posté le 25-10-10 à 20:53
Posté par Profiljulien007 julien007

en fait, j'ai 60 ECTS par année d'étude et cette année-ci, en 5e polytech, je pouvais choisir des cours à la carte dans la faculté de polytech [et en + un ou plusieurs cours de la faculté de mon choix qui font 6 ECTS au maximum].

A noter que je suis à l'ULB en Belgique.

C'est ainsi que j'ai décidé de prendre des cours de math (puisque c'est ce qui me passionne) mais malheureusement, je suis limité à 6 ECTS max dans la faculté de mon choix (ici des sciences)

=> je suis un cours qui s'appelle analyse fonctionnelle à 5 ECTS.

En 4e polytech, j'ai eu un cours d'analyse fonctionnelle aussi mais les maths en polytech sont moins rigoureuses qu'en "maths purs" => c'est pour ca que par exemple, j'ai vu très brièvement les limsup et liminf par exemple.

Je ne connaissais pas non plus le lemme de Fatou ni le théorème de la convergence dominée de Lebesgue
=> c'est pour cela aussi que j'ai appelé à l'aide

En tout cas, je te remercie pour ta gentillesse et ta patience et bravo pour la réussite de l'exercice

Tu es professeur ?
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3239396#msg3239396 Posté le 25-10-10 à 20:58
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Non, je ne suis pas professeur, seulement un étudiant en Master 2 Maths recherche.

Si tu ne connais pas les énoncés du théorème de Lebesgue et du lemme de Fatou, je t'invite à lire un cours sur l'intégrale de Lebesgue.
Il y a quelques énoncés très importants à connaître en analyse fonctionnelle. (le théorème de Fubini est aussi primordial, plus des résultats sur les espaces L^p)
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3242331#msg3242331 Posté le 26-10-10 à 22:51
Posté par Profiljulien007 julien007

Merci encore et bonne continuation, tu m'as très bien aidé et c'était très clair et très interactif
re : exercice d'analyse fonctionnelle#msg3242338#msg3242338 Posté le 26-10-10 à 22:54
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Tout le plaisir était pour moi.
Bonne continuation à toi aussi !

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