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Demonstration de lien entre loi gamma et de poisson
Posté par ndoma
Soit X une variable aléatoire entière suivant une loi de poisson de paramètre µ et F_x sa fonction de répartition. Soit Y une variable aléatoire suivant une loi gamma de densité
f(x)=(e^(-y) y^(x-1))/(Γ(x)) et F_y la fonction de répartition.
Montrer que F_x (x)=1-F_y (µ),pour tout x∊N,x≠0. Que peut-être l^' utilité d^' une telle formule. N désigne l'ensemble des entiers positifs
Bonjour,
D'abord il me semble que pour toi, la fonction de répartition est définie par une égalité stricte : FX(n) = P(X<n); d'accord ? (J'écris n au lieu de x puisque X prend des valeurs entières ).
Je prends le cas particulier n = 2. Tu as :
i) FX(2) = P(X<2) = P(X=0)+P(X=1) = (1+
)e-;
ii) Y est une va 
(2,1) de densité f(y) = y e-y, donc
D'où l'égalité cherchée. Tu dois pouvoir traiter le cas général par récurrence.
Pour le cadre général regarde la théorie des processus de Poisson : le nombre X d'événements qui se produisent dans l'intervalle de temps [0,t] suit une loi de Poisson et le temps d'attente Y du n-ème événement suit une loi gamma; ces deux variables sont liées par la relation Y
t 
X
n . Une chose me dérange cependant dans l'interprétation de ton égalité : est le nombre moyen d'événements qui se produisent dans l'intervalle [0,1] et FY() est la probabilité que le n-ème événement se produise avant le temps . Bizarre ! Mais ça n'empêche pas l'égalité d'être formellement juste.