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Optimisation d'une aire
Bonjour à tous ! J'aimerais obtenir de l'aide concernant un DM de Maths niveau Terminale S.
Voici l'énnoncé:
Partie A. Etude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur [-2;2] par f(x)= x
(4-x²). On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, on prendra pour unité graphique 4 cm.
1. Intervalle d'étude.
Expliquer pourquoi on peut limiter l'étude de f à l'intervalle [0;2]
2. Dérivabilité de f
a. Etudier la dérivabilité de f en 2 et interpreter graphiquement le résultat obtenu.
b. Justifier que f est dérivable sur l'intervalle [0;2] et calculer sa dérivée f'.
c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur [0;2]
3.Représentation graphique de f
a. Déterminer une équation de la tangente t à C au point d'abcisse 0.
b.Justifier que pour tout x de [0;2], f(x)
2x
En déduire la position de C par rapport à T, sur [0;2]
c. Tracer C et T sur [-2;2]
4. Solutions de l'équation (E): f(x) =1
Prouver que (E) admet exactement deux solutions sur [-2;2]
Donner un encadrement de ces réels à 10-3 près.
Ce que j'ai trouvé :
Pour la 1, il faut prouver que f était impair et donc calculer f(x) et -f(x). C'est ça ?
Pour la 2.a, on utilise la définition de la dérivabilité :
f(2+h)=(2+h)4-(2+h)[/sup]
f(2)=0
donc lim h
0 f(2+h) - f(2)/h
= lim h0 (2+h)4-(2+h)[sup] /h
= lim h0 (2+h)-4h-h[/sup] /h
= lim h0 -(2+h)-4h-h[sup] /h
=- 
car h inférieur à 0
f n' est donc pas dérivable en 2 car elle n'admet pas de limite finie quand h0
Pour la 2.b, je pense qu'il faut utiliser :
h(x)= 4-x²
g(x)= Vx
f(x) = goh(x)= (4-x²)
f(x) =x+ goh
après je n'y arrive pas et je ne peux pas aller plus loin.
Merci d'avance de votre aide
2.a. La méthode est bonne.
Bien préciser : h < 0.
La démonstration me semble insuffisante : la forme que tu obtiens est indéterminée. La limite est bien -oo, mais il faut lever l'indétermination.
Et tu as oublié de répondre à "interpréter graphiquement le résultat obtenu".
Pour le 2.a :
on arrive à une F.I du type o/o donc on simplifie et on arrive à la forme -(2+h)-4/h-1
On calcul ensuite les limites quand h0 séparément et on peut conclure que
lim h0 (pour h inférieur à 0) f(2+h)-f(2)/h = -
f n'est donc pas dérivable en 2
Interprétation graphique : Cf admet une tangente verticale en 2.
Pour le 2.b :
f(x)=u.v
f'(x)=u'.v + u.v'
f'(x)=4-xcarré + x/24-xcarré
donc cette forme est la dérivée d'un produit.
mais je ne vois pas pourquoi il faut passer par cette étape pour faire la dérivée des fonctions composées.
En utilisant la dérivation des fonctions composées :
f'(x)=-2xcarré +x +8 /24- xcarré.
C'est bon ?
Pour le 2.c, il faut étudier les variations de f et dresser le tableau de variation.
Le problème c'est que je ne suis vraiment pas sur de ma dérivée et donc je ne peut pas remplir le tableau.
Pour étudier les variations de f mais je ne sais pas comment faire.
Pour le 3.a j'ai trouvé :
y = 0 comme équation de la tangente
Pour le 3.b, comment faut-il s'y prendre justifier que pour tout x de [0;2], f(x) 2x ?
2.b. Je ne comprends pas bien ce que tu fais, puisque tu sembles proposer deux formes différentes de f '(x).
Pour la 2.b, tu m'avais dit : "Dérive d'abord comme un produit. Puis fais intervenir la dérivation des fonctions composées"
j'ai donc fais la dérivée de deux manières, mais je ne sais pas laquelle est la bonne.
La bonne manière est celle qui donne des résultats exacts.
Je voulais dire de dériver comme un produit, tout en utilisant la dérivation des fonctions composées pour exprimer v ' (avec tes notations).
Je ne comprends pas ta seconde manière. Quels f et g as-tu choisi dans (fog) ' ?
je me suis trompée, f'(x)=-2xcarré +x +8 /24- xcarré est la forme simplifiée de f'(x)=4-xcarré + x/24-xcarré
j'ai aussi trouvé ça sauf que le x au dessus de la division n'est pas au carré.
si on prend f'(x)=u'.v + u.v' avec u(x) = x et u'(x) = 1 ; v(x) = 4 - x2 et
v'(x) = 1 / 2 4+ x2
donc , sauf erreur, il n'y a pas de carré sur le x de la division
Ton v '(x) est faux. Comme je te l'ai dit plusieurs fois, pour dériver v, il faut appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées.
2.c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur [0;2]
je ne vois pas comment, à partir de l'expression de f'(x), on peut étudier le signe de f'(x).
On peut quand même déduire que 4-x2 est positif car x2 est positif.
Pour le reste, x2, est aussi positif donc l'expression de x2 / 4-x2 est positive.
C'est bon ?
Bonjour !
Je possède le même exercice à faire, mais je suis bloqué un peu plus loin dans les questions [la question 4. , en fait]. Mais pour une meilleure visibilité, je continuerai les questions dans l'ordre.
2.b Résumons un peu :
On a
La formule pour dériver un produit est :
Or , donc
(car x
x dérivable sur 
, donc sur [0;2[)
Et , donc
, d'après, comme tu l'as dit :
(car v(x)=4-x^2>0 pour
[0;2[, donc dérivable sur [0;2[)
Cl : f dérivable sur [0;2[ et 
[0;2[ : .
Soit, comme le dit le gentil M.Poisson, après légère simplification : .
On peut encore tout mettre sur le même dénominateur, ce qui sera plus simple pour la suite.
On passe à la 2.c?
Aucune manifestation.. je continue, donc.
2.c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur [0;2] :
A la question précédente, on obtient :
On étudie donc le signe des expressions qui la compose :
Pour tout x de l'intervalle [0;2[ :
*
* 2>0
Donc, le signe de f'(x) dépend du signe de (2-x²).
Or, (2-x²) possède 2 racines évidentes :
*
*
Or, n'est pas une solution dans l'intervalle considéré (car
, [est-ce utile de le préciser?]).
On obtient donc le tableau de variation suivant :
* f(0)=0 * f(2)=0 * f(2)=2
Le plus simple est peut-être de factoriser : (-x²+2) = -(x-V2)(x+V2)
et de faire un tableau de signes sur [0;2]
En tout cas, OK avec le résultat.
Ah, oui... mais cela ne revient-il pas au même ? On ne voit que plus clairement les racines évidentes.. mais toujours est-il qu'il faut justifier, non ?
3.a. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
Au point d'abscisse 0, l'équation de la tangente T est :
y=f'(0)(x-0)+f(0)
Soit,
3.b Justifier que pour tout x de [0;2], f(x)=2x. En déduire la position de C par rapport à T, sur [0;2] :
On souhaite savoir si, x[0;2], f(x)2x.
Pour cela, vérifions que f(x)-2x0, et ce, x[0;2].
Or, pour tout x de [0;2], x
0 et 0.
Cl : x[0;2], f(x)-2x0, soit f(x)2x.
Or, la droite d'équation y=2x est aussi l'équation de la tangente T. Donc, la courbe C est situé en dessous de la tangente T dans l'intervalle considéré.
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