Approximation affine locale

Posté par infophile infophile

Ca change rien au problème, ça le complexifie même un peu.

Posté par lucas951 lucas951

Pas à mes yeux, étant donné qu'une bonne partie des TS, du moins de mon lycée (je sais pas si on la construit comme ça en ES ou en section techno) ne voit pas vraiment (ou plutôt vraiment pas) l'intérêt de la fonction exponentielle après l'avoir vue à toutes les sauces en électricité, en méca, en radioactivité...
Par contre, la méthode d'Euler est pratique en physique (dt étant un intervalle de temps concret, on effectue ensuite une modélisation, chose que je n'ai jamais vue en maths) alors que dx serait égal à un... hyperréel infinitésimal ? Faudrait-il encore être capable de le définir en terminale... Ce dont je ne suis pas sûr qu'on y arrive.

Posté par infophile infophile

En même temps on ne va pas faire de l'analyse non standard en Terminale alors qu'on aborde tout juste l'analyse... Bien sûr qu'on ne peut pas tout définir rigoureusement en Terminale, c'est comme si tu donnais à des cinquièmes un cours sur la construction de l'anneau (Z,+,*) pour justifier la règle de calcul - * - = +

De la même manière oui on peut fonder une théorie qui justifie les calculs de physiciens où on manipule des quantités infinitésimales, mais ça dépasse le niveau License ! Il faut bien à un niveau inférieur admettre certaines choses pour faire des sciences, et admettre l'existence d'une solution au problème de Cauchy y' = y et y(0) = 1 en est une, et je ne comprends pas pourquoi ils ne voient pas "l'intérêt de l'exponentielle", c'est simplement la fonction qui est solution de cette équa diff, et on a bien sur besoin de savoir à quoi elle ressemble pour répondre par exemple aux problèmes de physique que tu cites.

Sinon pour en revenir au "dx" on en donne une justification en Terminale quand on voit la construction de l'intégrale de Riemann, on somme les aires des rectangles de "largeur dx" et de hauteur f(x), c'est d'ailleurs de là que viens le symbole

Posté par Mariette Mariette

Et je reprends que disait Kévin en fin de page 1 : qu'est-ce que c'est que ou puisque tu penses que ce sont les chiffres significatifs le problème ?

(comme quoi d'ailleurs tu fais de la physique et pas de math )

Je sais bien que beaucoup d'élèves de terminale mettent plus de sens derrière que derrière , mais c'est ce qui prouve qu'ils n'ont rien compris...

Posté par lucas951 lucas951

Kevin, je suis bien d'accord sauf que pour étudier de façon un minimum rigoureuse la méthode d'Euler, il faut avoir compris ces concepts, que le terminale moyen ne connaît pas.

De plus, quant à "l'intérêt de l'exponentielle", je pourrais aussi affirmer que la fonction exponentielle peut modéliser la décroissance de bactéries lors de la pasteurisation et de la stérilisation (j'en sais quelque chose, mon TPE est dessus). En première, j'ai appris que avant d'apprendre les caractéristiques de la fonction exponentielle. Et c'est bizarre, mais ça fait tout de suite plus concret... (même si, en soi, c'est pas génial mais tu sais d'où ce e vient).

Quant au dx, je connais la construction de l'intégrale de Riemann. M'enfin, je le comprends mieux en physique, car on ne définit dx que comme une petite longueur...

Et enfin, je dirais pour défendre les autres élèves de terminale qu'ils ont vu depuis pas mal de temps, qu'ils s'y sont accommodés, contrairement à e...

Posté par Arkhnor Arkhnor

Connaître et connaître sont deux choses complétement différentes ...
Le premier correspond à une quantité géométrique, que les élèves ont eu le temps d'apprivoiser depuis le temps qu'il la connaisse, alors que le second a besoin de l'exponentielle pour être défini. Si tu trouves ce nombre plus concret que e, je veux bien savoir comment.

Tu cites le développement en série de l'exponentielle, ce qui effectivement permet de montrer l'existence d'une solution à l'équation .
Mais ce n'est pas la seule façon de procéder, et ce n'est certainement pas la plus naturelle. (mais c'est peut-être la plus élémentaire, à condition de maîtriser un peu le maniement des séries)

Pour le dx, ce n'est qu'une notation pour dire qu'on intègre par rapport à la variable x, et rien d'autre.
Même si on peut lui attribuer une description plus "concrète".
Après, bien sur, on peut commencer à parler des formes différentielles, et lui donner un vrai sens mathématique ...

Posté par lucas951 lucas951

Je n'ai pas dit que c'était plus concret, mais que les élèves de terminale avaient tendance à le voir comme "plus concret" parce qu'ils maîtrisent un peu pi et pas e.

Ce développement en série de l'exponentielle est en tous cas le plus élémentaire que je connaisse. Parce que bon, on te sort la fonction exponentielle sans introduire e, en quelques sortes.

Quant au dx, une notation sans la définir, je dirais que c'est bête...

Mais d'ailleurs, je sens qu'on arrive de plus en plus à un débat : l'enseignement des maths peut est vulgarisé jusqu'où pour que les élèves puissent comprendre les maths ?

Posté par infophile infophile

Avant de parler des élèves de Terminale assure toi que TU maitrises ces notions de Terminale, car visiblement c'est encore flou dans ta tête. Après tu pourras juger de la qualité de l'enseignement.

Le développement en série de l'exponentielle n'a rien d'élémentaire à ton niveau, rien que la notion de somme infinie et le fait que celle-ci est solution du problème de Cauchy dont on parle n'est pas trivial si on démontre les choses proprement.

Posté par Porcepic Porcepic


Tu es sûr que dès le début de ton cours on parle de « e^x » ?
Personnellement, dans mes cours de l'année dernière, au tout début on parlait plutôt de « exp(x) »... jusqu'à ce qu'on dise qu'on note e=exp(1) et qu'on admette que e^x = exp(x).

Posté par lucas951 lucas951

Moi c'est plutôt "on utilise e et exp, exp est pratique pour les fractions (bah les fractions à l'exposant...) mais e est plus utilisé".

Posté par Mariette Mariette

euh...relis bien ton cours...Tu dois être comme tous ces élèves de terminale dont tu dis qu'ils ne comprennent pas grand chose : une fois qu'on a écrit e^x une fois, ils sont ravis et ne voient vraiment pas pourquoi on ne l'a pas utilisé avant

ce qui me choque dans ton discours, ce n'est pas que tu écrives 'la plupart des élèves de terminale etc...', mais que tu te sentes très au dessus en balançant des trucs qui montrent que sur ce chapitre, tu n'es pas meilleur que tes petits camarades.

Note que j'aime beaucoup le coup de la somme infinie : les séries, c'est juste tout un chapitre de spé, mais toi tu as tout compris...sans voir qu'il y a quand même un gros problème de définition

Posté par lucas951 lucas951


Sauf que je ne me dis pas au-dessus, mais au plus pas en-dessous...


Mais je ne dis pas que j'ai tout compris ! D'ailleurs, je ne sais pas d'où ça vient. Je sais juste que c'est égal à e. Et dans certains livres de terminale (dont le mien), on te demande de la calculer ! Donc bon, y a une différence entre "bon, ça c'est égal à e" et tout connaître...

Posté par infophile infophile

Alors si tu n'as pas tout compris à ces notions trouves-tu raisonnable de les juger (je cite) "bidons", "inintéressantes", "inappropriées" et "n'ayant rien à faire dans le programme" ?

Posté par lucas951 lucas951

Parce que je parlais des séries, que je n'ai pas jugées.

Posté par infophile infophile

Bon, je ne vais pas me fatiguer davantage j'ai mieux à faire, mais à l'avenir ne te fatigue pas non plus à écrire un topic de ce type : si c'est pour ensuite tenir de nouveau ce genre de propos.

A +

Posté par lucas951 lucas951

T'as raison, ça (je ?) tourne au ridicule.
Etant donné que je pense que je n'aurais pas lâché, c'est la meilleure chose à faire.

Posté par zaz_ zaz_

Salut,

lucas951

Tu dis vraiment n'importe quoi, incroyable de voir un tel ramassis de sottises (pour rester poli) dans le même topic.
L'analyse numérique, tu connais ? C'est un peu un gros domaine d'application des maths en ingénierie ...

Enfin bon, en Terminale tu dois en connaître des masses sur le calcul différentiel (me sort pas ton pipeau historique/quelques formules que tu ne sais pas démontrer pour te la péter stp)

Posté par lucas951 lucas951


D'abord t'as raison, c'est vrai que quand je me relis, mes yeux picotent...


Un tout petit peu, quand même. Il me paraît presque inconcevable d'utiliser une formule sans la démontrer, et c'est d'ailleurs pour ça que j'aime pas la chimie par exemple... (on peut pas dire qu'au lycée, on ait les éléments pour démontrer une propriété)
Pour faire (très) court, je pense être capable de résoudre "directement" quelques équas diff, évidemment rien de méchant... Mais en soi, il faut voir la réalité en face... Demande à un élève lambda de terminale de résoudre une équation différentielle avec la méthode d'Euler, je crois que sa réponse sera simple, à savoir "non".

Posté par Arkhnor Arkhnor

Si ce que tu appelles "résoudre une équa diff", c'est trouver une formule explicite pour la solution, alors il faudrait que tu saches que dans la quasi-totalité des cas (en fait tous les cas qui ne sont pas des cas d'écoles) c'est impossible.

D'où l'utilité d'avoir une méthode pour approcher la solution.
La méthode d'Euler ne sert pas à résoudre les équations au sens où tu l'entends, mais à en approcher numériquement les solutions ...

Posté par lucas951 lucas951


C'est d'ailleurs ce que je "reproche" à celle-ci : on ne fera que s'en approcher... C'est déjà pas mal mais pour cela, il faudrait vraiment que le pas tende vers 0, etc... pour avoir une représentation graphique correcte.
Mais bon, s'il n'y a pas (encore) de moyen pour résoudre au sens propre... ^^

Posté par Arkhnor Arkhnor

Il n'y aura jamais de moyen pour résoudre "au sens propre" comme tu le dis.
On constate déjà ce phénomène sur des équations "banales", comme certaines équations polynomiales de degré 5 ou plus, où l'on ne peut pas expliciter les racines avec de jolies formules.
Alors, pour des équations différentielles, on se doute bien que la résolution explicite n'est que très rarement possible.

Il y a des théories qui s'occupent de tout ça, si le nom de Galois te dit quelque chose ...

J'ai aussi l'impression que tu accordes un peu trop d'importance à la représentation graphique. Une représentation graphique, ce n'est pas une fonction ...

De toute manière, même pour , on sait que s'approcher de la valeur exacte, alors je ne comprends pas ton complexe avec ça ...

Posté par zaz_ zaz_

Pfff ils sont nuls ces matheux, pas capables de donner une valeur exacte de pi...

Posté par lucas951 lucas951

C'est sûr que c'est pas la fonction (si j'aime moyennement l'analyse, j'ai horreur des représentations graphiques) mais faut-il que celle-ci soit réaliste... Si on veut résoudre y'=y avec y(0)=1 ; on peut utiliser la méthode d'Euler avec un pas de 1 : on obtiendra la représentation graphique de 2^x, qui est quand même assez loin de celle de l'exponentielle en terme de valeurs.

C'est un peu les fameux arrondis du physicien... (je sais, c'est pas des maths, mais bon) On accepte la représentation de 2,718^x comme une représentation de la fonction exponentielle tout en sachant qu'elle est différente de e^x tout simplement parce que la différence de e^x par 2,718^x est epsilonesque.
Je veux dire par-là que, s'approcher, c'est bien, faut-il qu'on s'approche suffisamment pour que le résultat ne soit pas ridicule...

Posté par lucas951 lucas951

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Bien-sûr que si. Il suffit de diviser le périmètre d'un cercle par son diamètre... Et tu l'as, ta valeur de pi.
Si on parle de valeur décimale, c'est une autre histoire... Mais pourquoi on en aurait besoin ? Ce nombre n'admettrait pas une période dans ses décimales... En revanche, ça me paraît utile de connaître l'ensemble de fonctions d'une équation différentielle.

Posté par lucas951 lucas951

(désolé pour la citation en lien de zaz_ : "Pfff ils sont nuls ces matheux, pas capables de donner une valeur exacte de pi... ")

Posté par Arkhnor Arkhnor

J'ai l'impression que tu n'as pas compris (ou que tu ne veux pas te donner la peine de comprendre) l'intérêt de la méthode d'Euler.
Je tente une nouvelle explication, après j'abandonne.

Ce n'est pas une méthode pour calculer les valeurs de l'exponentielle avec tes petits doigts !
On code ça sur un ordinateur, qui lui va pouvoir prendre un pas très petit sans que ça lui prenne 3000 ans pour tout calculer, et il nous renvoie une valeur approchée.
Et toute la partie théorique qu'il y a derrière permet d'estimer l'erreur qu'il y a entre la valeur approchée fournie par l'ordinateur et la valeur exacte.

De plus, la méthode d'Euler, c'est quand même plus un cas d'école qu'autre chose, en pratique, les méthodes implémentées sur ordinateur sont beaucoup plus performantes, comme par exemple les méthodes de Runge-Kutta.

Il s'agit avant tout d'illustrer le principe.

Sinon, évidemment qu'il peut-être utile de connaître une formule explicite pour les solutions d'équations. Mais la plupart des équations qui surviennent naturellement ne peuvent PAS être résolue analytiquement.
Des mathématiciens comme Poincaré l'ont très bien compris il y a plus d'un siècle, et puisqu'on ne sait pas intégrer ces équations, et bien on les étudie avec des autres outils.
C'est ce qui a mené à la théorie des systèmes dynamiques, qui est un domaine actif des mathématiques ...

Il n'y a pratiquement aucune formules explicites pour les solutions d'équa diff, et il n'y en a aura jamais. Tout ce que l'on peut faire avec une équa diff, c'est donner un nom à la solution, et l'étudier. (et aussi dresser des tables de valeur avec des méthodes numériques)

D'ailleurs, tu dis que la méthode d'Euler ne permet que de s'approcher de la solution exacte, et que cela pose un problème.
Mais en quoi la formule est-elle plus performante ??
Si l'on veut obtenir une valeur de l'exponentielle, on ne pourra faire qu'un nombre fini de sommes, et donc seulement une approximation.
Quelque soit la manière dont on prend le problème, on retombe sur la même chose.


Un ingénieur a besoin des valeurs numériques, pour des raisons évidentes. Il faut donc des méthodes efficaces pour les calculer. Point, je ne vois pas en quoi on peut contester ça.


Ce genre de réponse, tout comme celle concernant pi, me laissent penser que mon "combat" pour te convaincre est perdu d'avance.
Enfin, j'espère quand même que ta vision des mathématiques n'est pas déjà figée dans le marbre, et que tu acceptes encore d'évoluer un peu ...

Posté par lucas951 lucas951


C'est marrant, mais comme ça, ça me va beaucoup mieux
Pour être franc, je crois que sur le fond on n'était pas réellement en désaccord.
La modélisation sur ordinateur me plaît bien plus. C'est d'ailleurs comme ça qu'on peut, par exemple, pouvoir représenter sur un ordinateur ce qu'on verrait d'une tension sur un oscilloscope..

Enfin globalement, je suis d'accord avec ce que tu dis, pour faire bref.
Le "truc" étant que je considérais la méthode d'Euler comme une méthode de résolution d'équation. Si j'ai à peu près compris ce que tu dis, c'est une méthode pour conjecturer la solution. Si c'est le cas, ça me va très bien.


Je ne suis qu'en terminale, je n'ai pas vu beaucoup de théories et j'en ai encore moins démontrées... On peut aussi considérer que je n'ai jamais fait d'algèbre de ma vie. J'espère bien que, par conséquent, ma vision des maths ne soit pas figée...

Posté par carpediem carpediem

la presque seule chose que tu ais faite de ta vie c'est justement de l'algèbre !!!!

tel mr Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir tu as manipulé des opérations de groupes, d'anneaux, de corps, d'espaces vectoriels... mais on ne t'as pas encore nommé les choses par les vrais noms car cela n'a pas (trop) d'importance pour l'instant....

Posté par lucas951 lucas951

A part démontrer des propriétés sur R^n, je ne vois pas trop ce que j'ai pu faire comme algèbre... (sauf si on considère "résoudre des équations" comme de l'algèbre )
Mais peut-on considéré avoir réellement vu les structures algébriques quand, dans toutes celles qu'on connaît, a+b = b+a ?

Posté par carpediem carpediem

...tu ne sais donc pas ce que tu connais alors.....

Posté par Surb Surb

Excusez-moi si je n'ai pas pris le temps de lire tout les messages précédant, mais cette "approximation affine locale" n'est-elle pas simplement un développement de Taylor à l'ordre 2 centré en ? Quant au applications du développement de Taylor elles sont "monumentales" dans toutes les analyses que je connaisse (analyse pure,analyse numérique, analyse fonctionnelle, géométrie analytique, etc...)

Posté par lafol lafol

affine = ordre 1 ....