Approximation affine locale

Posté par borneo borneo

Bonjour à tous  

Je viens de redécouvrir (voire de découvrir, je ne sais pas si ça avait déjà été inventé "à mon époque" ) l'approximation affine locale, pour aider une élève de 1e S.

Bref, je résume :

f(x₀ + h) = f(x₀) + h*f '(x₀)


J'ai compris comment calculer les approximations affines locales, mais je ne vois pas bien à quoi ça sert, et quels sont les prolongements dans le cours de 1e et de terminale.

Un "vrai" prof peut-il m'expliquer ?
Merci

Posté par sloreviv sloreviv

bonjour
en fait ton = c'est

Posté par sloreviv sloreviv

dessine une courbe quelconque de fonction derivable en , trace la tangente en regarde les points appeles et sur la tangente en A , tu vois que $y_M\simeq y_P$ donc voilà ton "presque égal ".

ca servait en notre temps.... jeune Borneo par rapport a moi... pour calculer cos(46°) par ex c'est presque en se servant de
j'envoie un dessin "generique "

Posté par sloreviv sloreviv

erreur de } en trop et un 1 en trop

Posté par borneo borneo

Merci pour vos réponses  

Effectivement, qui dit "approximation", dit

Moi, en 1e C, j'ai surtout des souvenirs de géométrie dans l'espace.

Posté par sloreviv sloreviv

bon ... j'ai mis le temps ...
ensuite  à quoi ça sert à l'heure des calculatrices...
à avoir une idee type calcul mental d'un resultat quand on travaille pres d'un point connu
sans doute que dans le passé ça a servi par ex. à Leonard Euler pour imaginer la courbe de exp par une succssion de segments : comme , il decide de prendre un h petit fixé par ex 0.05
il continue : en P qu'il nomme on a
avec f=exp:
,
il dessine un petit segment parallele à la tangente à la vraie courbe exp en cela donne le point
;

mais comme

il prend

et avec exp f'=f
donc il considere les suites c'est la construction de la courbe approchant celle de exp par la methode d'Euler


Enfin je brode un peu je pense qu'il a fait quelque chose comme ça. avec ton eleve tu peux faire avec f(x)=x^2 et A(1;1)et h=0.05 et  là
moins interessant mais..

Posté par Porcepic Porcepic

Bonjour,


En maths on ne s'en sert pas forcément beaucoup (j'ai le souvenir de l'avoir juste utilisé dans une activité d'introduction sur l'exponentielle d'ailleurs...), par contre ça sert plus souvent en terminale en physique, avec les problèmes qui font intervenir des équations différentielles (qu'on ne sait assez rapidement plus résoudre), pour avoir tout de même une idée de l'évolution du système étudié (mais en physique, ça reste très guidé, les formules sont rappelées).

Posté par Mariette Mariette

Bonjour,

c'est comme l'ont dit sloreviv et Porcepic à la base de la méthode d'Euler. Théoriquement, on devrait l'utiliser plusieurs fois, mais en pratique on n'a guère le temps que pour exponentielle. Ils le feront aussi en physique.

Et puis c'est quand même le premier développement limité qu'ils rencontrent ! Donc ils peuvent la rencontrer dans un problème de limite un peu construit.

Posté par borneo borneo

Merci Mariette. J'ai posté un exo là-dessus. Peux-tu me dire si la présentation est correcte ?  

Posté par borneo borneo

Plus la peine, Camélia vient de me dire que c'est bon.

Merci à tous.

Posté par lucas951 lucas951

Bonjour,


C'est marrant, dans mon cours, j'ai cette définition de dérivée : DL à l'ordre 1, et pour DL en a à l'ordre n : approximation polynomiale de degré n locale en a.

Quant aux utilisations... Je l'ai déjà utilisé pour construire la fonction exponentielle avec la méthode d'Euler (qui m'a l'air bidon, parce qu'il faudrait que le pas soit epsilonesque, ce qui n'est jamais le cas bien évidemment) en radioactivité de façon assez claire, puis en chimie de façon totalement bidon (c'est-à-dire sans l'expression de la courbe).

Posté par lucas951 lucas951

Quand je dis "dérivée", je dis bien évidemment "tangente à la courbe représentative de la fonction"

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

C'est un peu pour ça qu'on introduit la notion de dérivée au départ quand même : pour pouvoir dire que localement, la fonction se comporte comme une application affine ...


Ce n'est pas bidon, c'est une des manières de  construire effectivement la fonction exponentielle : on construit une approximation avec un pas fixé, et puis on fait tendre vers 0.
On peut de la même façon montrer l'existence de solutions pour des équa diffs plus générales.
C'est aussi comme ça qu'on approche numériquement les solutions des équa diffs.

Posté par lafol lafol

Bonjour

c'est à la base de la linéarisation des équations, en physique entre autres.
Quand on veut étudier les petites oscillations d'un pendule, par exemple, on a des équations barbares avec des sinus, et on arrive à une solution approchée en remplaçant sin(u) par son approximation affine u pour des petites valeurs de u ... Les équations linéaires, c'est quand même vachement plus sympa que les équations avec des mélanges de u, sin(u) et j'en passe

Posté par lafol lafol

et tu ne te rappelles pas bien, borneo, mais à ton époque, tu en as calculé (à la main, forcément) des en utilisant l'approximation affine de la fonction racine au voisinage de 4 ...

Posté par borneo borneo



Hello Lafol  

A mon époque, il y avait la règle à calcul. Moins pratique que la calculatrice pour planquer les formules, j'avoue.

Posté par lafol lafol

écrites tout petit sur un ruban de papier sous la réglette coulissante .... j'en ai connu qui faisaient ça ....

Posté par verdurin verdurin

Bonsoir à tous.

On ne m'avais pas dit ça.
La technique, enseignée par ma prof de physique, était :

Et je l'utilise encore pour faire du calcul mental :
par exemple

Et il fallait savoir par cœur les DL1 en 1 des fonctions usuelles.

Un peu plus tard le prof de math nous expliqua d'où venait ces résultats.

Posté par littleguy littleguy

> verdurin :

On utlisait les approximations classiques faciles à retenir

; ; (à rapprocher avec la première...), et on essayait de s'y rapporter. Voir récemment :

Posté par lucas951 lucas951


Justement : la seule façon d'avoir un epsilon très petit est de formuler tout ça avec une suite géométrique, puis de trouver f(1), f(2) etc. Sauf que je ne vois pas comment on peut construire la fonction exponentielle quand on fait tendre vers 0 : on n'a pas de moyen de calculer les images d'entiers, sachant qu'on ne connaît pas vraiment la valeur d'epsilon. Donc on ne peut pas tracer précisément la fonction exponentielle par la méthode d'Euler.
Après, mes idées doivent être forgées par celles de ma prof de maths, qui a tenu à torcher ça en cinq minutes car sans aucune utilité selon elle...

Posté par Arkhnor Arkhnor

On ne sait pas le faire précisément, mais de toute manière, on ne sait rien faire très précisément dès qu'il s'agit de calculer numériquement des valeurs ...

Par contre, on sait très bien estimer l'erreur qu'on a commise ...
Ce qui est amplement suffisant dans tous les cas importants en calcul scientifique et ingénierie, où on a besoin de l'informatique : à partir du moment où l'on sait que la valeur numérique qu'on a trouvé ne diffère de la valeur réelle que d'une erreur fixée à l'avance, on est content !

On sait que pour un assez petit (et on sait estimer comment) on aura une valeur qui est raisonnablement proche de celle espérée.

Et puis, la méthode où on fait tendre epsilon vers 0 permet de démontrer théoriquement l'existence de la fonction exponentielle (existence qui est admise au lycée ...)
Si ça c'est bidon, alors toutes les mathématiques le sont aussi ...

Posté par Arkhnor Arkhnor


C'est quand même surprenant d'entendre dire ça. Que ce soit sans utilité pour avoir son bac en fin d'année, je veux bien en convenir.
Après, que ce soit sans utilité dans l'absolu, je vois mal comment quelqu'un qui a un minimum de fibre mathématique peut affirmer ça. Tout ce que l'on peut dire à la limite, c'est qu'on ne connait pas personnellement d'applications. Mais dans ce cas là, on peut se renseigner ...

Posté par borneo borneo

L'élève que j'ai aidé avait 15 exercices sur l'approximation affine à faire dans le week-end. Là, ça frise l'acharnement.

C'est chez ce prof que j'aurais dû envoyer mon "élève préféré"

Posté par lucas951 lucas951

Sauf que pour estimer cet epsilon, il faut encore connaître la fonction exponentielle, savoir que ce e est environ égal à 2,718. Disons qu'une reproduction "acceptable" de la fonction exponentielle par méthode d'Euler se situerait entre les représentations graphiques de 2,70^x et 2,74^x. Sauf qu'on ne connaît pas du tout le nombre e au départ. Et à partir du moment où on est très peu à saisir que pour tout x réel et h qui tend vers 0, f(x+h) environ égal à f(x)(1+h), ça n'a rien à faire là.
Donc, dans les mathématiques que je connais (fort peu, j'en suis conscient), la méthode est complètement bidon et n'a rien à faire là, sauf peut-être pour la connaître (et en faire une compétence exigible de l'élève). C'est comme tout au lycée : on fait quelques petites démonstrations, on admet beaucoup. Mais là, c'est l'une des choses les plus capillotractées (malheureusement pas dans un bon sens) qu'on puisse voir au lycée.

Posté par lucas951 lucas951



On dirait mon prof de philo.

Posté par borneo borneo

Ne me dis pas que tu es déjà en terminale, Lucas... tu as sauté des classes, ou c'est moi qui ne vois pas le temps passer ?  

Posté par lucas951 lucas951

Bah si, je suis "déjà" (je suis plus sceptique quant au "déjà" ) en terminale.
D'ailleurs, demain j'ai BAC blanc de philo, et évidemment, on a à peine commencé le programme... Ca va être folklo

Posté par borneo borneo

Pour réussir en philo, ce n'est pas une question de programme. Il faut montrer qu'on sait réfléchir par soi-même. Pas évident pour les "bons élèves".  

Posté par lucas951 lucas951

C'est vrai. Et ça se rapproche des maths de ce côté-là.
Le problème étant que je trouve que les maths et la philo sont des matières très ressemblantes. Sauf qu'en maths, je connais la formule "instantanément", il suffit que je lise ou que j'écrive une fois la démo pour la comprendre parfaitement et savoir la refaire sur feuille ; tandis qu'en philo, il faut que j'apprenne un minimum mon cours.

Posté par Arkhnor Arkhnor

C'est dommage que je n'ai pas réussi à te convaincre de l'utilité de la méthode.
Enfin, je pense que tu as suffisamment de recul sur la question pour pouvoir juger qu'un point du programme est "complètement bidon" et "qu'il n'a rien à faire là".

Posté par lucas951 lucas951

Bah franchement... Je n'ai peut-être pas beaucoup de recul sur la chose mais suffisamment pour dire qu'elle n'a pas été comprise par la grande majorité des élèves toutes TS comprises de mon lycée. On aurait pu travailler sur la signification de ce e plutôt qu'autre chose dans la méthode d'Euler. Mais bon, tracer 2,5^x, youhou... Après c'est peut-être de la frustration de ma part, j'en conviendrais si c'est le cas, mais il n'empêche qu'on n'a pas pu la construire précisément

Posté par Arkhnor Arkhnor

Si l'enseignant à traité ça en moins de 5 minutes, c'est sur qu'il est difficile d'appréhender l'intérêt de la chose ...
Il n'empêche que le principe de cette méthode est à la base de toutes les méthodes utilisées en ingénierie pour résoudre numériquement les équations différentielles, et qu'elle peut-être utilisée pour démontrer rigoureusement l'existence de l'exponentielle.

Après, c'est peut-être plus dur de le voir dès la première approche, et je veux bien le croire.
Mais les expressions que tu utilises sont quand même inappropriées je trouve, le vocabulaire français étant assez riche pour pouvoir se passer d'une expression comme "complétement bidon", qui a la même valeur que "complétement nul" ...

Pour cette histoire de "très précisément", je ne sais pas ce que tu attends. Personne ne sait tracer la fonction exponentielle, ni même la fonction racine carrée, très précisément. On sait seulement trouver de bonnes approximations.

Posté par lucas951 lucas951

L'existence ? En soi j'aurais plutôt dit l'unicité mais soit...

Ensuite, autre que "complètement bidon", il y a "complètement inappropriée pour un élève lambda de terminale". Ca revient un peu à étudier le théorème de Fermat et affirmer qu'il est vrai sur ]2, +[...

Puis comme "très précisément", je ne parle pas d'une précision absolue, qui est impossible à atteindre évidemment... (on n'arrive pas à tracer la fonction carrée avec une précision absolue), mais déjà, tracer 2,72^x serait amplement suffisant, voire même 2,7^x... Sauf que pour faire ça, il faut déjà prendre un pas petit (je dirais pour 2,7^x de l'ordre de 0,01) et forcément certains élèves calculeront f(0,01) puis f(0,02) à n'en pas finir, tout ça pour représenter sur ]-5, 5[ à valeurs dans ]e^-5, e^5[. ^^

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bah on doit à la fois prouver l'existence et l'unicité. L'unicité n'est pas très difficile, en admettant qu'une fonction à dérivée nulle est constante.

Mais il reste quand même à montrer l'existence, c'est-à-dire qu'il existe bien une fonction dérivable telle que et .

Ce qui n'a rien d'évident !

Posté par Arkhnor Arkhnor


En réalité, personne ne fait ces calculs à la main, ce sont les ordinateurs ou les calculatrices qui s'en chargent.
Mais c'est seulement pour illustrer le principe. A la limite, si on comprend l'idée, il est inutile d'aller faire le calcul à la main ...

Posté par lucas951 lucas951

C'est sûr que quand on ne connaît pas la fonction, ça n'a rien d'évident...

Mais quand on l'admet, comme en terminale () sans trop chercher à démontrer son existence mais seulement à l'introduire de cette façon (parce que c'est le programme), la méthode n'a rien d'intéressante. Par contre, pour résoudre des équations différentielles comme par exemple x²f'(x) = 3x^4cos(x/2)f(x), c'est intéressant.

Posté par carpediem carpediem

salut

si je peux me permettre :

"autrefois" on voyait la fonction exp comme réciproque de la fonction ln qui elle-même est l'unique primitive de la fonction inverse s'annulant en 1....ce qui est tj au programme (qui date de ...?) de STI

maintenant on le voit .....comme maintenant !! (approximation numérique...) qui, comme le fait remarquer Arkhnor, à un intérêt pour toute les méthodes numériques d'approximation de solution (et suffit très souvent en ingénieurie...)

mais surtout ça permet aussi (comme je l'avais fait avec mes TS) de pouvoir les amener en salle info et qu'ils puissent "faire mumuse" avec un ordi.....

et malheureusement le manque de temps, le programme chargé, la faiblesse (relative) de certzains élèves ne permet guère de faire de développement qui permettrait de mieux comprendre et saisir l'intérêt du procédé

petite remarque : on se fout de combien vaut e.....

f(0) = 1 et f' = f permet de construire une courbe qui est une approximation de la courbe de exp

en prenant alors un epsilon de plus en plus epsilonesque, on remarque que f(1) tend vers un nombre particulier (qui existait bien avant nous, d'ailleurs beaucoup de plantes le connaissent bien....) et on la noté e (comme l'initiale de exponentielle, exposant...) et le développement des mathématiques a montré son rôle fondamental...

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

En physique, je crois savoir que les TS utilisent beaucoup la méthode d'Euler.

Posté par lucas951 lucas951

Je sais pas trop. En tous cas, je ne l'ai jamais utilisé. Mais c'est possible en électricité où il y a pas mal d'équations différentielles...
_{5001° message, à défaut de ne pas avoir vu que mon précédent était le 5000°}

Posté par totos totos

L'approximation affine locale est à la bas de toute la théorie du calcul différentiel, enseigné sérieusement à partir de la L3.

Tout dépend à quel niveau on se situe : pour un élève d epremière ou de terminale, c'est clair qu'il ne peut pas bien voir à quoi cela va servir.

Pour un étudiant de L3, les choses commencent à devenir clair, et on ne peut pas s'en passer dans certaines branches des maths.

Bref, un élève de terminale qui ne voit pas à quoi ça sert ne peut en aucun cas généraliser en disant que ça ne sert à rien, ou que ça ne servira jamais à rien ...

Pour extrapoler, sans maths, pas de satelitte, pas de portable, pas de PC, pas de produit éléctroménager, et la liste est infini.
Sans maths, pas de modernité.

A+
A+

Posté par verdurin verdurin

Juste une utilisation courante d'une approximation affine :
On parle de plan d'eau pour désigner une <<petite>> partie de la surface terrestre.
Et je ne crois pas qu'un architecte tienne compte du fait que la terre n'est pas plate quand il construit un bâtiment (de taille raisonnable).

Posté par infophile infophile

Bonjour,

Et moi qui pensais que lucas avait grandi...

Posté par lucas951 lucas951

Bah autant en physique, cette méthode a un grand intérêt parce qu'on peut l'utiliser pour faire une modélisation.
Mais en maths, je n'en ai pas vu le moindre...

Posté par verdurin verdurin

@lucas951
Encore quelques années d'études et ça viendra.

Posté par infophile infophile



Ceci montre que tu n'as pas compris, et donc forcément quand on a une vision erronée du problème il est plus facile de dire "ça sert à rien" que de se poser les bonnes questions.

D'ailleurs en voilà une : comment définis-tu (2,7)^x ?

Posté par lucas951 lucas951

Comme une approximation graphique de la fonction exponentielle en fixant un epsilon qui est la différence de e^x par 2,7^x ?

Posté par lucas951 lucas951

(ce epsilon serait fixé pour un intervalle fermé évidemment...)

Posté par verdurin verdurin

En latin de cuisine :
Ad absurdia per absurium

Posté par infophile infophile

Mais en quoi tracer (2,7)^x est-il plus simple que de tracer e^x ? Car (2,7)^x = e^(xln(2,7)) ...

Posté par lucas951 lucas951

Ca me paraît assez évident... Déjà parce que c'est un nombre qui a peu de chiffres significatifs, ensuite parce que les élèves n'ont pas forcément une idée concrète de ce qu'est e^x, alors que 2,7^x...